В математике , А корневая система является конфигурацией векторов в евклидове пространства , удовлетворяющие определенные геометрические свойства. Это понятие является фундаментальным в теории групп и алгебр Ли , особенно в теории классификации и представлений полупростых алгебр Ли . Поскольку группы Ли (и некоторые аналоги, такие как алгебраические группы ) и алгебры Ли стали важными во многих областях математики в течение двадцатого века, очевидно особая природа корневых систем противоречит количеству областей, в которых они применяются. Далее схема классификации корневых систем по диаграммам Дынкина, встречается в разделах математики, не имеющих явной связи с теорией Ли (например, в теории сингулярностей ). Наконец, корневые системы важны сами по себе, как в спектральной теории графов . [1]
Определения и примеры
В качестве первого примера, рассмотрим шесть векторов в 2-мерном евклидовом пространстве , R 2 , как показано на изображении в правом; назовите их корнями . Эти векторы охватывают все пространство. Если рассматривать линию , перпендикулярную к любому корню, скажем , β , то отражение R 2 в этой строке отправляет любой другой корень, скажем , α , к другому корню. Более того, корень, в который он отправляется, равен α + nβ , где n - целое число (в данном случае n равно 1). Эти шесть векторов удовлетворяют следующему определению и, следовательно, образуют корневую систему; этот известен как A 2 .
Определение
Пусть E - конечномерное евклидово векторное пространство со стандартным евклидовым скалярным произведением, обозначенным как. Корневая система в E - конечный набор ненулевых векторов (называемых корнями ), которые удовлетворяют следующим условиям: [2] [3]
- Корни охватывают E .
- Единственные скалярные числа, кратные корню которые принадлежат находятся сам и .
- Для каждого корня , набор замыкается при отражении через гиперплоскость, перпендикулярную.
- ( Целостность ) Если а также корни в , то проекция на линию через является целым или полуцелым числом, кратным.
Эквивалентный способ записи условий 3 и 4 следующий:
- Для любых двух корней , набор содержит элемент
- Для любых двух корней , номер является целым числом .
Некоторые авторы включают в определение корневой системы только условия 1–3. [4] В этом контексте корневая система, которая также удовлетворяет условию целостности, называется кристаллографической корневой системой . [5] Другие авторы опускают условие 2; тогда они называют корневые системы, удовлетворяющие условию 2, редуцированными . [6] В этой статье предполагается, что все корневые системы являются редуцированными и кристаллографическими.
Ввиду свойства 3 условие целостности эквивалентно утверждению, что β и его отражение σ α ( β ) различаются на целое число, кратное α . Обратите внимание, что оператор
Корневая система | Корневая система |
Корневая система | Корневая система |
Корневая система | Корневая система |
Оценка корневой системы Ф есть размерность Е . Две корневые системы можно объединить, рассматривая евклидовы пространства, которые они охватывают, как взаимно ортогональные подпространства общего евклидова пространства. Корневая система, которая не возникает в результате такой комбинации, например системы A 2 , B 2 и G 2, изображенные справа, называется неприводимой .
Две системы корней ( E 1 , Φ 1 ) и ( E 2 , Φ 2 ) называются изоморфными, если существует обратимое линейное преобразование E 1 → E 2, переводящее Φ 1 в Φ 2 такое, что для каждой пары корней числосохраняется. [7]
В Решетка корней корневой системы Φ - этоZ-подмодульE,порожденный Φ. Эторешеткав Е.
Группа Вейля
Группа из изометрии в Е , порожденных отражениями через гиперплоскости , ассоциированные с корнями Ф называется группой Вейля Ф. Поскольку она точно действует на конечном множестве Φ, группа Вейля всегда конечна. Плоскости отражения - это гиперплоскости, перпендикулярные корням, обозначенные дляпунктирными линиями на рисунке ниже. Группа Вейля - это группа симметрии равностороннего треугольника, состоящего из шести элементов. В этом случае группа Вейля не является полной группой симметрии корневой системы (например, поворот на 60 градусов является симметрией корневой системы, но не элементом группы Вейля).
Оцените один пример
Имеется только одна корневая система ранга 1, состоящая из двух ненулевых векторов . Эта корневая система называется.
Оцените два примера
В ранге 2 есть четыре возможности, соответствующие , где . [8] На рисунке справа показаны эти возможности, но с некоторыми сокращениями: изоморфен а также изоморфен .
Обратите внимание, что корневая система не определяется решеткой, которую она порождает: а также оба образуют квадратную решетку, в то время как а также генерируют гексагональную решетку только два из пяти возможных типов решеток в двух измерениях .
Всякий раз , когда Φ является системой корней в Е , и S представляет собой подпространство в Е , порожденное Ф = Ф П S , то Ψ является системой корней в S . Таким образом, исчерпывающий список четырех корневых систем ранга 2 показывает геометрические возможности для любых двух корней, выбранных из корневой системы произвольного ранга. В частности, два таких корня должны встречаться под углом 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 или 180 градусов.
Системы корней, возникающие из полупростых алгебр Ли
Если является комплексной полупростой алгеброй Ли иявляется подалгеброй Картана , мы можем построить корневую систему следующим образом. Мы говорим чтоявляется корнем из относительно если и есть некоторые такой, что
История
Концепция корневой системы была впервые введена Вильгельмом Киллингом около 1889 года (на немецком языке Wurzelsystem [10] ). [11] Он использовал их в своей попытке классифицировать все простые алгебры Ли над полем из комплексных чисел . Изначально Киллинг допустил ошибку в классификации, перечислив две исключительные корневые системы ранга 4, хотя на самом деле существует только одна, теперь известная как F 4 . Позже Картан исправил эту ошибку, показав, что две корневые системы Киллинга изоморфны. [12]
Киллинг исследовал структуру алгебры Ли , рассматривая то, что теперь называется подалгеброй Картана . Затем он изучил корни характеристического многочлена , где . Здесь корень рассматривается как функция, или действительно как элемент дуального векторного пространства . Этот набор корней образуют внутри корневую систему, как определено выше, где внутренним продуктом является форма убийства . [11]
Элементарные следствия аксиом корневой системы
Косинус угла между двумя корнями должен составлять половину квадратного корня из положительного целого числа. Это потому что а также оба являются целыми числами, по предположению, и
С , единственные возможные значения для находятся а также , что соответствует углам 90 °, 60 ° или 120 °, 45 ° или 135 °, 30 ° или 150 ° и 0 ° или 180 °. Условие 2 говорит, что никакие скалярные числа, кратные α, кроме 1 и −1, не могут быть корнями, поэтому 0 или 180 °, которые соответствовали бы 2 α или −2 α , отсутствуют. На диаграмме справа показано, что угол 60 ° или 120 ° соответствует корням одинаковой длины, а угол 45 ° или 135 ° соответствует соотношению длин а угол 30 ° или 150 ° соответствует отношению длины .
Таким образом, вот единственные возможности для каждой пары корней. [13]
- Угол 90 градусов; в этом случае отношение длины не ограничено.
- Угол 60 или 120 градусов при соотношении длин 1.
- Угол 45 или 135 градусов при соотношении длины .
- Угол 30 или 150 градусов при соотношении длины .
Положительные корни и простые корни
Учитывая корневую систему мы всегда можем выбрать (разными способами) набор положительных корней . Это подмножество из такой, что
- Для каждого корня ровно один из корней , содержится в .
- Для любых двух различных такой, что это корень, .
Если набор положительных корней выбран, элементы называются отрицательными корнями . Набор положительных корней можно построить, выбрав гиперплоскость не содержащий никакого корня и настройки чтобы все корни лежали на фиксированной стороне . Более того, таким образом возникает каждый набор положительных корней. [14]
Элемент называется простым корнем, если он не может быть записан как сумма двух элементов. (Набор простых корней также называют базой для.) Набор простых корней - основа со следующими дополнительными специальными свойствами: [15]
- Каждый корень представляет собой линейную комбинацию элементов с целыми коэффициентами.
- Для каждого , коэффициенты в предыдущем пункте либо все неотрицательны, либо все неотрицательны.
Для каждой корневой системы существует множество различных вариантов набора положительных корней или, что то же самое, простых корней, но любые два набора положительных корней отличаются действием группы Вейля. [16]
Двойная корневая система, корень и интегральные элементы
Двойная корневая система
Если Φ является системой корней в Е , то кокорень & alpha ; ∨ из корня а определяется
Набор коронок также образует корневую систему Φ ∨ в E , называемую двойной корневой системой (или иногда обратной корневой системой ). По определению α ∨ ∨ = α, так что Φ - двойственная система корней к Φ ∨ . Решетка в E, натянутая на Φ ∨ , называется решеткой корорутов . Оба Φ и Φ ∨ имеют ту же группу Вейля W , а для S в W ,
Если Δ - это набор простых корней для Φ, то Δ ∨ - это набор простых корней для Φ ∨ . [17]
В описанной ниже классификации корневые системы типа а также наряду с исключительной корневой системой все самодуальные, что означает, что двойная корневая система изоморфна исходной корневой системе. Напротив, а также корневые системы двойственны друг другу, но не изоморфны (кроме случаев, когда ).
Составные элементы
Вектор в E называется интегральным [18], если его скалярное произведение на каждый корень является целым числом:
Набор интегральных элементов называется решеткой весов, связанной с данной корневой системой. Этот термин происходит из теории представлений полупростых алгебр Ли , где целые элементы образуют возможные веса конечномерных представлений.
Определение корневой системы гарантирует, что сами корни являются неотъемлемыми элементами. Таким образом, всякая целочисленная линейная комбинация корней также является целой. Однако в большинстве случаев будут целые элементы, которые не являются целочисленными комбинациями корней. То есть в общем случае решетка весов не совпадает с решеткой корней.
Классификация корневых систем по диаграммам Дынкина
Корневая система неприводима, если ее нельзя разбить на объединение двух собственных подмножеств. , такое что для всех а также .
Неприводимые системы корней соответствуют определенным графам , диаграммам Дынкина имени Евгения Дынкина . Классификация этих графов представляет собой простой вопрос комбинаторики и индуцирует классификацию неприводимых корневых систем.
Построение диаграммы Дынкина
Для данной корневой системы выберите набор Δ простых корней, как в предыдущем разделе. Вершины присоединенной диаграммы Дынкина соответствуют корням в Δ. Между вершинами рисуются ребра в соответствии с углами следующим образом. (Обратите внимание, что угол между простыми корнями всегда составляет не менее 90 градусов.)
- Нет ребра, если векторы ортогональны,
- Ненаправленный одиночный край, если они составляют угол 120 градусов,
- Направленный двойной край, если они составляют угол 135 градусов, и
- Направленная тройная кромка, если они составляют угол 150 градусов.
Термин «направленная кромка» означает, что двойные и тройные кромки отмечены стрелкой, указывающей на более короткий вектор. (Думая о стрелке как о знаке «больше», становится ясно, в какую сторону должна указывать стрелка.)
Обратите внимание, что по отмеченным выше элементарным свойствам корней правила построения диаграммы Дынкина также можно описать следующим образом. Без ребра, если корни ортогональны; для неортогональных корней - одинарное, двойное или тройное ребро в зависимости от того, составляет ли отношение длины более длинного к короткому 1,, . В случае Например, корневая система состоит из двух простых корней, расположенных под углом 150 градусов (при соотношении длин ). Таким образом, диаграмма Дынкина имеет две вершины, соединенные тройным ребром, со стрелкой, направленной от вершины, связанной с более длинным корнем, к другой вершине. (В этом случае стрелка немного избыточна, поскольку диаграмма эквивалентна в зависимости от направления стрелки.)
Классификация корневых систем
Хотя данная корневая система имеет более одного возможного набора простых корней, группа Вейля действует транзитивно при таком выборе. [19] Следовательно, диаграмма Дынкина не зависит от выбора простых корней; определяется самой корневой системой. И наоборот, имея две корневые системы с одинаковой диаграммой Дынкина, можно сопоставить корни, начиная с корней в основании, и показать, что системы на самом деле одинаковы. [20]
Таким образом, проблема классификации корневых систем сводится к проблеме классификации возможных диаграмм Дынкина. Корневая система неприводима тогда и только тогда, когда ее диаграммы Дынкина связны. [21] Возможные схемы подключения указаны на рисунке. Индексы указывают количество вершин на диаграмме (и, следовательно, ранг соответствующей неприводимой корневой системы).
Если - корневая система, диаграмма Дынкина для двойственной корневой системы получается из диаграммы Дынкина сохраняя все те же вершины и ребра, но меняя направления всех стрелок. Таким образом, из их диаграмм Дынкина видно, что а также двойственны друг другу.
Камеры Вейля и группа Вейля
Если является корневой системой, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню . Напомним, чтообозначает отражение относительно гиперплоскости и что группа Вейля является группой преобразований генерируется всеми с. Дополнение набора гиперплоскостей разъединено, и каждый компонент связности называется камерой Вейля . Если мы зафиксировали конкретный набор простых корней Δ, мы можем определить фундаментальную камеру Вейля, связанную с Δ, как набор точек такой, что для всех .
Поскольку размышления сохранять , они также сохраняют набор гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет камеры Вейля.
На рисунке показан случай корневая система. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть секторов под углом 60 градусов - это камеры Вейля, а заштрихованная область - основная камера Вейля, связанная с указанным основанием.
Основная общая теорема о камерах Вейля такова: [22]
- Теорема : группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен количеству камер Вейля.
в Например, в случае группы Вейля шесть элементов и шесть камер Вейля.
Связанный результат следующий: [23]
- Теорема : зафиксируйте камеру Вейля . Тогда для всех , вейлевская орбита содержит ровно одну точку в замыкании из .
Корневые системы и теория Ли
Неприводимые корневые системы классифицируют ряд связанных объектов в теории Ли, в частности следующие:
- простые комплексные алгебры Ли (см. обсуждение корневых систем, возникающих из полупростых алгебр Ли выше),
- односвязные комплексные группы Ли, которые являются простыми по модулю центров, и
- односвязные компактные группы Ли , простые по модулю центров.
В каждом случае, корни ненулевые веса этого присоединенного представления .
Теперь дадим краткое указание на то, как неприводимые корневые системы классифицируют простые алгебры Ли над , следуя аргументам Хамфриса. [24] Предварительный результат говорит, что полупростая алгебра Ли проста тогда и только тогда, когда ассоциированная система корней неприводима. [25] Таким образом, мы ограничиваем внимание неприводимыми корневыми системами и простыми алгебрами Ли.
- Во-первых, мы должны установить, что для каждой простой алгебры есть только одна корневая система. Это утверждение следует из того, что подалгебра Картана вединственна с точностью до автоморфизма [26], откуда следует, что любые две подалгебры Картана дают изоморфные системы корней.
- Далее нам нужно показать, что для каждой неприводимой корневой системы может быть не более одной алгебры Ли, то есть что корневая система определяет алгебру Ли с точностью до изоморфизма. [27]
- Наконец, мы должны показать, что для каждой неприводимой корневой системы существует ассоциированная простая алгебра Ли. Это утверждение очевидно для корневых систем типов A, B, C и D, для которых ассоциированные алгебры Ли являются классическими алгебрами. Затем можно анализировать исключительные алгебры в индивидуальном порядке. В качестве альтернативы можно разработать систематическую процедуру построения алгебры Ли из корневой системы, используя отношения Серра . [28]
О связях между исключительными системами корней и их группами Ли и алгебрами Ли см. E 8 , E 7 , E 6 , F 4 и G 2 .
Свойства неприводимых корневых систем
я | D | ||||
---|---|---|---|---|---|
А п ( п ≥ 1) | п ( п + 1) | п + 1 | ( п + 1)! | ||
B n ( n ≥ 2) | 2 п 2 | 2 п | 2 | 2 | 2 н н ! |
C n ( n ≥ 3) | 2 п 2 | 2 п ( п - 1) | 2 п −1 | 2 | 2 н н ! |
D n ( n ≥ 4) | 2 п ( п - 1) | 4 | 2 н - 1 н ! | ||
E 6 | 72 | 3 | 51840 | ||
E 7 | 126 | 2 | 2903040 | ||
E 8 | 240 | 1 | 696729600 | ||
П 4 | 48 | 24 | 4 | 1 | 1152 |
G 2 | 12 | 6 | 3 | 1 | 12 |
Неприводимые корневые системы названы в соответствии с соответствующими им связными диаграммами Дынкина. Существует четыре бесконечных семейства (A n , B n , C n и D n , называемые классическими системами корней ) и пять исключительных случаев ( исключительные системы корней ). Нижний индекс указывает ранг корневой системы.
В неприводимой корневой системе может быть не более двух значений длины ( α , α ) 1/2 , соответствующих короткому и длинному корням. Если все корни имеют одинаковую длину, они по определению считаются длинными, а корневая система называется просто переплетенной ; это происходит в случаях A, D и E. Любые два корня одинаковой длины лежат на одной орбите группы Вейля. В неодносвязном пронизаны случаях В, С, G и F, корень решетка натянуто на короткие корни и длинные корни охватывают подрешетки, инвариантный относительно группы Вейля, равный г 2 /2 раза кокорня решетки, где r - длина длинного корня.
В соседней таблице | Φ < | обозначает количество коротких корней, I обозначает индекс в решетке корней подрешетки, порожденной длинными корнями, D обозначает определитель матрицы Картана , а | W | обозначает порядок группы Вейля .
Явное построение неприводимых корневых систем.
А п
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | −1 |
Пусть E будет подпространством R n +1, для которого сумма координат равна 0, и пусть Φ будет набором векторов в E длины √ 2, которые являются целочисленными векторами, т.е. имеют целые координаты в R n +1 . Такой вектор должен иметь все координаты, кроме двух, равные 0, одну координату, равную 1, и одну, равную -1, так что всего имеется n 2 + n корней. Один из вариантов простых корней, выраженных в стандартном базисе , следующий: α i = e i - e i +1 , для 1 ≤ i ≤ n.
Отражения σ I через гиперплоский перпендикуляр к & alpha ; I таких же , как перестановка смежному я -й и ( я + 1 ) -го координаты . Такие перестановки порождают полную группу перестановок . Для смежных простых корней σ i ( α i +1 ) = α i +1 + α i = σ i +1 ( α i ) = α i + α i +1 , то есть отражение эквивалентно сложению числа, кратного 1; но отражение простого корня, перпендикулярного несмежному простому корню, оставляет его неизменным, отличаясь кратным 0.
П решетка корней - то есть, решетка порождается А п корней - наиболее легко описывается как множество целочисленных векторов в R п + 1 , компоненты которого сумма к нулю.
2 корня решетка является расположением вершин из треугольной черепицы .
Решетка корня A 3 известна кристаллографам как гранецентрированная кубическая (или кубическая плотноупакованная ) решетка. [29] Это расположение вершин тетраэдрально-октаэдрических сот .
Корневая система A 3 (как и другие корневые системы третьего ранга) может быть смоделирована в наборе Zometool Construction . [30]
В общем случае решетка корней A n представляет собой расположение вершин n- мерной простой соты .
B n
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | −1 |
α 4 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Пусть E = R n , и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов в E длины 1 или √ 2 . Общее количество корней 2 n 2 . Один из вариантов простых корней: α i = e i - e i +1 , для 1 ≤ i ≤ n - 1 (вышеуказанный выбор простых корней для A n −1 ), и более короткий корень α n = e n .
Отражение σ n через гиперплоскость, перпендикулярную короткому корню α n, конечно, просто отрицание n- й координаты. Для длинного простого корня α n −1 , σ n −1 ( α n ) = α n + α n −1 , но для отражения, перпендикулярного короткому корню, σ n ( α n −1 ) = α n −1 + 2 α n , разница кратна 2 вместо 1.
В п решетка корней - то есть, решетка , порожденная В п корни - состоит из всех целочисленных векторов.
B 1 изоморфен A 1 посредством масштабирования на √ 2 , и поэтому не является отдельной корневой системой.
C n
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | −1 |
α 4 | 0 | 0 | 0 | 2 |
Пусть E = R n , и пусть Φ состоит из всех целых векторов в E длины √ 2 вместе со всеми векторами формы 2 λ , где λ - целочисленный вектор длины 1. Общее количество корней равно 2 n 2 . Один из вариантов выбора простых корней: α i = e i - e i +1 , для 1 ≤ i ≤ n - 1 (выбор простых корней выше для A n −1 ), и более длинный корень α n = 2 e n . Отражение σ n ( α n −1 ) = α n −1 + α n , но σ n −1 ( α n ) = α n + 2 α n −1 .
С п корневой решетки - то есть, решетка , порожденной C п корнями - состоит из всех целочисленных векторов, компоненты которых сумма четного целого числа.
C 2 изоморфен B 2 посредством масштабирования на √ 2 и поворота на 45 градусов, и поэтому не является отдельной корневой системой.
D n
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | −1 |
α 4 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Пусть E = R n , и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов в E длины √ 2 . Общее количество корней 2 n ( n - 1). Один из вариантов простых корней: α i = e i - e i +1 , для 1 ≤ i ≤ n - 1 (выбор простых корней для A n −1 выше ) плюс α n = e n + e n −1 .
Отражение через гиперплоскость, перпендикулярную α n, аналогично переносу и отрицанию соседних n -й и ( n - 1) -й координат. Любой простой корень и его отражение, перпендикулярное другому простому корню, отличаются от второго корня кратным 0 или 1, а не большим кратным.
D п решетка корней - то есть, решетка , порожденная D п корней - состоит из всех целочисленных векторов, компоненты которых сумма четного целого числа. Это то же самое, что и решетка корней C n .
В D п корни выражаются в виде вершин выпрямленного п - orthoplex , Кокстер-Дынкин :.... 2 n ( n - 1) вершины находятся в середине ребер n -ортоплекса.
D 3 совпадает с A 3 и поэтому не является отдельной корневой системой. 12 корневых векторов D 3 выражаются как вершины, конструкция нижней симметрии кубооктаэдра .
D 4 обладает дополнительной симметрией, называемой тройственностью . 24 корневых вектора D 4 выражаются как вершины, конструкция с более низкой симметрией 24-ячейки .
E 6 , E 7 , E 8
72 вершины из 1 22 представляют собой корневые векторы E 6 (зеленые узлы удвоены в этой проекции плоскости Кокстера E6) | 126 вершин из 2 31 представляют корневые векторы E 7 | 240 вершин из 4 21 представляют собой корневые векторы E 8 |
- Е 8 Корневая система любой набор векторов в R 8 , который конгруэнтны к следующему набору:
Корневая система насчитывает 240 корней. Только что перечисленный набор представляет собой набор векторов длины √ 2 в корневой решетке E8, также известной как решетка E8 или Γ 8 . Это набор точек в R 8, таких что:
- все координаты являются целыми числами или все координаты являются полуцелыми числами (сочетание целых и полуцелых чисел не допускается), и
- сумма восьми координат является четным целым числом .
Таким образом,
- Корневая система E 7 - это набор векторов в E 8 , перпендикулярных фиксированному корню в E 8 . Корневая система E 7 насчитывает 126 корней.
- Корневая система E 6 не является набором векторов в E 7 , которые перпендикулярны фиксированному корню в E 7 , действительно, таким образом получается D 6 . Однако E 6 является подсистемой E 8, перпендикулярной двум соответствующим образом выбранным корням E 8 . Корневая система E 6 насчитывает 72 корня.
1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
−1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 |
Альтернативное описание решетки E 8, которое иногда бывает удобным, представляет собой множество Γ ' 8 всех точек в R 8 таких, что
- все координаты целые числа, а сумма координат четная, или
- все координаты полуцелые, а сумма координат нечетная.
Решетки Г 8 и Г» 8 являются изоморфными ; можно переходить от одного к другому, меняя знаки любого нечетного числа координат. Решетку Γ 8 иногда называют четной системой координат для E 8, а решетку Γ ' 8 - нечетной системой координат .
Один из вариантов простых корней для E 8 в четной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (выше):
- α i = e i - e i +1 , для 1 ≤ i ≤ 6, и
- а 7 = е 7 + е 6
(вышеупомянутый выбор простых корней для D 7 ) вместе с
1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 |
−1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/2 |
Один из вариантов простых корней для E 8 в нечетной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (выше):
- α i = e i - e i +1 , для 1 ≤ i ≤ 7
(вышеупомянутый выбор простых корней для A 7 ) вместе с
- α 8 = β 5 , где
- β j =
(Использование β 3 даст изоморфный результат. Использование β 1,7 или β 2,6 просто даст A 8 или D 8. Что касается β 4 , его координаты в сумме равны 0, и то же самое верно для α 1 .. .7 , поэтому они охватывают только 7-мерное подпространство, для которого сумма координат равна 0; на самом деле −2 β 4 имеет координаты (1,2,3,4,3,2,1) в базисе ( α i ) .)
Поскольку перпендикулярность к α 1 означает, что первые две координаты равны, тогда E 7 является подмножеством E 8, где первые две координаты равны, и аналогично E 6 является подмножеством E 8, где первые три координаты равны. Это облегчает четкое определение E 7 и E 6 как:
- E 7 = { α ∈ Z 7 ∪ ( Z +1/2) 7 : ∑ α i 2 + α 1 2 = 2, ∑ α i + α 1 ∈ 2 Z },
- E 6 = { α ∈ Z 6 ∪ ( Z +1/2) 6 : ∑ α i 2 + 2 α 1 2 = 2, ∑ α i + 2 α 1 ∈ 2 Z }.
Обратите внимание, что удаление α 1, а затем α 2 дает наборы простых корней для E 7 и E 6 . Однако эти наборы простых корней находятся в подпространствах E 7 и E 6 пространства E 8, отличных от указанных выше, поскольку они не ортогональны α 1 или α 2 .
П 4
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | 0 |
α 4 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 |
Для F 4 пусть E = R 4 , и пусть Φ обозначает набор векторов α длины 1 или √ 2 таких, что все координаты 2α являются целыми числами и либо все четные, либо все нечетные. В этой системе 48 корней. Один из вариантов выбора простых корней: выбор простых корней, приведенный выше для B 3 , плюс.
Корневая решетка F 4, то есть решетка, порожденная корневой системой F 4 , представляет собой набор точек в R 4 , в котором либо все координаты являются целыми числами, либо все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых и половинных чисел). -целые числа не допускаются). Эта решетка изоморфна решетке кватернионов Гурвица .
G 2
e 1 | e 2 | e 3 | |
---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 |
β | −1 | 2 | −1 |
Корневая система G 2 имеет 12 корней, которые образуют вершины гексаграммы . См. Картинку выше .
Один из вариантов выбора простых корней: ( α 1 , β = α 2 - α 1 ), где α i = e i - e i +1 для i = 1, 2 - вышеуказанный выбор простых корней для A 2 .
G 2 решетка корней - то есть, решетка , порожденная G 2 корней - это то же самое, 2 корневой решетки.
Корневой позет
Множество положительных корней естественно упорядочить, сказав, что если и только если является неотрицательной линейной комбинацией простых корней. Это посет является градуированным по, и имеет много замечательных комбинаторных свойств, одно из которых состоит в том, что можно определить степени фундаментальных инвариантов соответствующей группы Вейля из этого чугуна. [31] Граф Хассе представляет собой визуализацию порядка корневого множества.
Смотрите также
- Классификация ADE
- Аффинная корневая система
- Диаграмма Кокстера – Дынкина
- Группа Кокстера
- Матрица Кокстера
- Диаграмма Дынкина
- корень
- Полупростая алгебра Ли
- Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли
- Система корней полупростой алгебры Ли
- Группа Вейля
Заметки
- ^ Cvetković Драгосит (2002). «Графы с наименьшим собственным значением −2; исторический обзор и недавние разработки максимальных исключительных графов» . Линейная алгебра и ее приложения . 356 (1–3): 189–210. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (02) 00377-4 .
- ^ Бурбаки, глава VI, раздел 1
- Перейти ↑ Humphreys 1972 , p. 42
- Перейти ↑ Humphreys 1992 , p. 6
- Перейти ↑ Humphreys 1992 , p. 39
- Перейти ↑ Humphreys 1992 , p. 41 год
- Перейти ↑ Humphreys 1972 , p. 43 год
- ^ Зал 2015 Предложение 8.8
- ^ Зал 2015 , Раздел 7.5
- ^ Убийство 1889 г.
- ^ a b Бурбаки 1998 , стр. 270
- Перейти ↑ Coleman 1989 , p. 34
- ^ Зал 2015 Предложение 8.6
- ^ Холл 2015 , теоремы 8.16 и 8.17
- ^ Холл 2015 , теорема 8.16
- ^ Холл 2015 , Предложение 8.28
- ^ Холл 2015 , Предложение 8.18
- ^ Холл 2015 , Раздел 8.7
- ^ Это следует из Hall 2015 , Proposition 8.23.
- ^ Холл 2015 , Предложение 8.32
- ^ Холл 2015 , Предложение 8.23
- ^ Холл 2015 , Предложения 8.23 и 8.27
- ^ Холл 2015 , Предложение 8.29
- ↑ См. Различные части глав III, IV и V Хамфриса 1972 г. , кульминацией которых является раздел 19 главы V.
- ^ Холл 2015 , теорема 7.35
- ^ Хамфрис 1972 , раздел 16
- ^ Хамфрис 1972 , часть (b) теоремы 18.4
- ^ Хамфрис 1972 Раздел 18.3 и Теорема 18.4
- ^ Конвей, Джон ; Слоан, Нил Дж. А. (1998). «Раздел 6.3». Сферические упаковки, решетки и группы . Springer. ISBN 978-0-387-98585-5.
- ^ Зал 2015 Раздел 8.9
- ^ Хамфрис 1992 , теорема 3.20
Рекомендации
- Адамс, JF (1983), Лекции о группах Ли , University of Chicago Press, ISBN 0-226-00530-5
- Бурбаки, Николас (2002), Группы Ли и алгебры Ли, главы 4–6 (переведены с французского оригинала 1968 года Эндрю Прессли) , Elements of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7. Классический эталон для корневых систем.
- Бурбаки, Николас (1998). Элементы истории математики . Springer. ISBN 3540647678.
- Коулман, AJ (лето 1989 г.), «Величайшая математическая статья всех времен», The Mathematical Intelligencer , 11 (3): 29–38, doi : 10.1007 / bf03025189
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Хамфрис, Джеймс (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Springer. ISBN 0387900535.
- Хамфрис, Джеймс (1992). Группы отражений и группы Кокстера . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521436133.
- Убийство, Вильгельм (июнь 1888 г.). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" . Mathematische Annalen . 31 (2): 252–290. DOI : 10.1007 / BF01211904 . S2CID 120501356 . Архивировано из оригинала на 2016-03-05.
- - (март 1888 г.). «Часть 2» . Математика. Энн . 33 (1): 1–48. DOI : 10.1007 / BF01444109 .
- - (март 1889 г.). «Часть 3» . Математика. Энн . 34 (1): 57–122. DOI : 10.1007 / BF01446792 . Архивировано из оригинала на 2015-02-21.
- - (июнь 1890 г.). «Часть 4» . Математика. Энн . 36 (2): 161–189. DOI : 10.1007 / BF01207837 .
- Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46693-6.
- Спрингер, Т.А. (1998). Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 0817640215.
дальнейшее чтение
- Дынкин, Е.Б. (1947). «Строение полупростых алгебр» . Успехи матем. Наук . 2 с. 4 (20): 59–127. Руководство по ремонту 0027752 .