В математике , особенно в алгебраической топологии , пространство Эйленберга – Маклейна [примечание 1] - это топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой . Таким образом, пространство Эйленберга – Маклейна представляет собой особый вид топологического пространства, которое можно рассматривать как строительный блок для теории гомотопий ; Общие топологические пространства могут быть построены из них с помощью системы Постникова . Эти пространства важны во многих контекстах алгебраической топологии , включая конструкции пространств, вычисления гомотопических групп сфер и определение операций когомологий.. Это имя произошло в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Мак-Лейна , которые представили такие помещения в конце 1940-х годов.
Пусть G группа и n натуральное число . Связано топологическое пространство X называется Эйленберг-Маклейна типа, если он имеет n -ю гомотопическую группу изоморфный в G и все остальные гомотопические группы тривиальны . Еслитогда G должна быть абелевой . Такое пространство существует, является CW-комплексом и единственно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности . Из-за злоупотребления языком любое такое пространство часто называют просто.
Обобщенное пространство Эйленберга – Маклейна - это пространство, которое имеет гомотопический тип произведения пространств Эйленберга – Маклейна..
Примеры
- Единичная окружность это .
- Бесконечномерное комплексное проективное пространство это модель . Его кольцо когомологий является, а именно свободное кольцо многочленов на одном двумерном образующем в степени 2. Генератор может быть представлена в когомологий де Рама по Фубини-Study 2-формы . Применениеописывается как абстрактная чушь .
- Бесконечномерное действительное проективное пространство это .
- Клин сумма из K единичных окружностей это , где является свободной группой на K - генераторов.
- Дополнение к любому узлу в трехмерной сфере относится к типу ; это называется « асферичностью узлов» и является теоремой Христоса Папакириакопулоса 1957 года . [1]
- Любое компактное связное многообразие неположительной кривизны M является , где это фундаментальная группа из М .
- Бесконечное линзовое пространство, заданное частным это . Это можно показать, используя длинную точную последовательность на гомотопических группах для расслоения поскольку потому что бесконечная сфера сжимаема . [2] Обратите внимание, что сюда входят как .
- Конфигурационное пространство из точек на плоскости - это , где является группой чистых кос на пряди.
Из них можно построить еще несколько элементарных примеров, используя тот факт, что продукт является .
А может быть построен этап-на-стадией, как комплекс CW , начиная с клином из п - сфер , по одному для каждого образующей группы G , и добавление клеток в (возможно бесконечном числе) более высоких размерами так, чтобы убить все дополнительные гомотопия. Соответствующий цепной комплекс задается соответствием Дольда – Кана .
Замечание о построении высших пространств Эйленберга-Маклейна
Существует несколько методов построения высших пространств Эйленберга-Маклейна. Один из них - построить пространство Мура. для абелевой группы и итеративно убивают высшие гомотопические группы поскольку нижние гомотопические группы все тривиально. Это следует из теоремы Гуревича .
Другой полезный прием - использование геометрической реализации симплициальных абелевых групп . [3] Это дает явное представление симплициальных абелевых групп, которые представляют пространства Эйленберга-Маклейна. Другая симплициальная конструкция в терминах классификации пространств и универсальных расслоений дана в книге Дж. Питера Мэя . [4]
Поскольку взятие пространства петель понижает гомотопические группы на один слот, мы имеем каноническую эквивалентность , следовательно, существует последовательность расслоений
- .
Обратите внимание, что это не последовательность кофибрации - пространство не гомотопический cofiber .
Эта последовательность расслоений может быть использована для изучения когомологий из с использованием спектральной последовательности Лере . Этим воспользовался Жан-Пьер Серр, когда он изучал гомотопические группы сфер с помощью системы Постникова и спектральных последовательностей.
Свойства пространств Эйленберга – Маклейна.
Биекция между гомотопическими классами отображений и когомологий
Важное свойство состоит в том, что для любой абелевой группы G и любого базируемого CW-комплекса X множествобазируемых гомотопических классов базисных отображений из X внаходится в естественном взаимно однозначном соответствии с N -й особой когомологий группыпространства X . Таким образом, говорят, чтоявляются представляющие пространства для когомологий с коэффициентами в G . С
- ,
есть выдающийся элемент соответствующий тождеству. Вышеупомянутая биекция дается откатом этого элемента -. Это похоже на Йонеды леммы из теории категорий .
Другой вариант этого результата, в связи с Питером Дж Huber, устанавливает взаимно однозначное соответствие с п -й группы когомологий Чеха , когда Х является Хаусдорфово и паракомпактной и G является счетно , или когда X отделима, паракомпактный и компактно порожден и G является произвольным. Еще одним результата Киити Морита устанавливает взаимно однозначное соответствие с N -й исчислимым Чехом группой для произвольного топологического пространства X и G произвольная абелева группа.
Пространства петель
Пространство петель пространства Эйленберга – Маклейна также является пространством Эйленберга – Маклейна:. Это свойство означает, что пространства Эйленберга – Маклейна с различными n образуют омега-спектр , называемый спектром Эйленберга – Маклейна. Этот спектр соответствует стандартной теории гомологий и когомологий.
Функциональность
Из теоремы об универсальных коэффициентах для когомологий следует, что пространство Эйленберга-Маклейна является квазифунктором группы; то есть для каждого положительного целого числа если - любой гомоморфизм абелевых групп, то существует непустое множество
удовлетворение где обозначает гомотопический класс непрерывного отображения а также
Связь с Постниковской башней
Каждый CW-комплекс обладает башней Постникова , т. Е. Гомотопически эквивалентен повторному расслоению, слои которого являются пространствами Эйленберга – Маклейна.
Когомологические операции
Группы когомологий пространств Эйленберга – Маклейна можно использовать для классификации всех операций когомологий .
Приложения
Пространство конструкция петли , описанная выше , используется в теории струн , чтобы получить, например, строку группа , то Пятьбрана группа и так далее, как башни Whitehead , вытекающих из короткой точной последовательности
с участием строка группы , испин группы . Актуальность состоит в том, что существуют гомотопические эквивалентности
для классифицирующего помещения , и факт . Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы
- ,
Группу струн можно рассматривать как «высшее» расширение комплексной спиновой группы в смысле теории высших групп, поскольку пространствоявляется примером более высокой группы. Можно представить себе топологическую реализацию группоида чей объект - единственная точка, а морфизмы - группа . Из-за этих гомотопических свойств конструкция обобщает: любое заданное пространство может использоваться для запуска короткой точной последовательности, которая убивает гомотопическую группу в топологической группе .
Смотрите также
- Теорема Брауна о представимости о пространствах представления
- Пространство Мура , аналог гомологии.
- Сфера гомологии
Заметки
- ^ Сондерс Мак Лейн первоначально написал свое имя «Маклейн» (без пробела) и стал соавтором статей, устанавливающих понятие пространств Эйленберга-Маклейна под этим именем. (См., Например, MR 13312 ) В этом контексте принято писать имя без пробела.
- ^ ( Papakyriakopoulos 1957 ) ошибка harv: несколько целей (2 ×): CITEREFPapakyriakopoulos1957 ( справка )
- ^ "общая топология - единичная сфера в $ \ mathbb {R} ^ \ infty $ стягиваема?" . Обмен математическими стеками . Проверено 1 сентября 2020 .
- ^ "gt.geometric topology - Явные конструкции K (G, 2)?" . MathOverflow . Проверено 28 октября 2020 .
- ^ Мэй, Дж. Питер . Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Глава 16, раздел 5: Издательство Чикагского университета .CS1 maint: location ( ссылка )
Рекомендации
Основополагающие статьи
- Эйленберг, Самуэль ; Маклеен, Сондерс (1945), "Отношения между гомологией и гомотопическими группами пространств", Анналы математики , (вторая серия), 46 (3): 480-509, DOI : 10,2307 / 1969165 , JSTOR 1969165 , МР 0013312
- Эйленберг, Самуэль ; Маклейн, Сондерс (1950). «Связь между гомологиями и гомотопическими группами пространств. II». Анналы математики . (Вторая серия). 51 (3): 514–533. DOI : 10.2307 / 1969365 . JSTOR 1969365 . Руководство по ремонту 0035435 .
- Эйленберг, Самуэль ; Маклейн, Сондерс (1954). "О группах ЧАС ( Π , п ) {\ Displaystyle Н (\ Пи, п)} . III. Операции и препятствия» . Анналы математики . 60 (3): 513-557. DOI : 10,2307 / 1969849 . JSTOR 1969849 . MR 0065163 .
Картанский семинар и приложения
Семинар Картана содержит множество фундаментальных результатов о пространствах Эйленберга-Маклейна, включая их гомологии и когомологии, а также приложения для вычисления гомотопических групп сфер.
- http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/
Вычисление целочисленных колец когомологий
- Производные функторы от функторов разделенной мощности
- (Ко) гомологии пространств Эйленберга-Маклейна K (G, n)
Приложения
- Хубер, Питер Дж. (1961). «Гомотопические когомологии и когомологии Чеха» . Mathematische Annalen . 144 (1): 73–76. DOI : 10.1007 / BF01396544 . Руководство по ремонту 0133821 . S2CID 123536395 .
- Морита, Киити (1975). «Когомологии Чеха и размерность покрытия для топологических пространств» . Fundamenta Mathematicae . 87 : 31–52. DOI : 10,4064 / фм-87-1-31-52 .
- Папакириакопулос, Христос Д. (1957). «О лемме Дена и асферичности узлов» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 43 (1): 169–172. DOI : 10.1073 / pnas.43.1.169 . PMC 528404 . PMID 16589993 .
- Папакириакопулос, Христос Д. (1957). «О лемме Дена и асферичности узлов» . Анналы математики . 66 (1): 1-26. DOI : 10.2307 / 1970113 . JSTOR 1970113 . PMC 528404 . PMID 16589993 .
Другие энциклопедические ссылки
- Рудяк, Ю.Б. (2001) [1994], "Пространство Эйленберга-Маклейна" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Пространство Эйленберга-Мака Лейна в nLab