В математике тождество Эйлера [n 1] (также известное как уравнение Эйлера ) - это равенство
где
- e - число Эйлера , основание натурального логарифма ,
- i - мнимая единица , которая по определению удовлетворяет i 2 = −1 , и
- π - это число пи , отношение длины окружности к ее диаметру.
Личность Эйлера названа в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера . Он считается образцом математической красоты, поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.
Математическая красота
Личность Эйлера часто приводится как пример глубокой математической красоты . [3] Три основных арифметических операции выполняются ровно один раз каждая: сложение , умножение и возведение в степень . Тождество также связывает пять фундаментальных математических констант : [4]
- Число 0 , то добавка идентичности .
- Номер 1 , то мультипликативная идентичность .
- Число π ( π = 3,141 ...), основной круг постоянная.
- Число е ( е = 2,718 ...), он же числа Эйлера, который широко распространен в математическом анализе .
- Число я , мнимая единица из комплексных чисел .
Кроме того, уравнение задается в виде выражения, равного нулю, что является обычной практикой в нескольких областях математики.
Профессор математики Стэнфордского университета Кейт Девлин сказал: «Подобно сонету Шекспира , отражающему саму суть любви, или картине, которая раскрывает красоту человеческой формы, которая намного больше, чем просто внешность, уравнение Эйлера проникает в самое сокровенное. глубины бытия ». [5] А Пол Нахин , почетный профессор Университета Нью-Гэмпшира , который написал книгу, посвященную формуле Эйлера и ее приложениям в анализе Фурье , описывает личность Эйлера как «исключительную красоту». [6]
Писатель-математик Констанс Рид высказала мнение, что личность Эйлера - «самая известная формула во всей математике». [7] А Бенджамин Пирс , американский философ , математик и профессор Гарвардского университета XIX века , после доказательства личности Эйлера во время лекции, заявил, что эта личность «абсолютно парадоксальна; мы не можем ее понять и не знаем. что это означает, но мы доказали это, и поэтому мы знаем, что это должна быть правда ". [8]
Опрос читателей, проведенный The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал личность Эйлера «самой красивой теоремой в математике». [9] В другом опросе читателей, проведенном Physics World в 2004 году, личность Эйлера была связана с уравнениями ( электромагнетизма ) Максвелла как «величайшим уравнением всех времен». [10]
Изучение мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная орбитофронтальная кора , которая загорается от красивой музыки, стихов, картинок и т. Д.) Освещает личность Эйлера более последовательно, чем любую другую формулу. [11]
О личности Эйлера опубликовано как минимум три книги по популярной математике :
- Сказочная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги , Пол Нахин (2011) [12]
- Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики , Дэвид Стипп (2017) [13]
- Новаторская Уравнение Эйлера: Самая красивая теорема в математике , по Робин Уилсон (2018). [14]
Пояснения
Мнимые показатели
По сути, тождество Эйлера утверждает, что равно -1. Выражение является частным случаем выражения , где z - любое комплексное число. В общем,определяется для комплексного z путем расширения одного из определений экспоненциальной функции от действительных показателей до комплексных показателей. Например, одно общее определение:
Таким образом, тождество Эйлера утверждает, что предел, когда n приближается к бесконечности,равно -1. Этот предел показан на анимации справа.
Тождество Эйлера является частным случаем из формулы Эйлера , в котором говорится , что для любого действительного числа х ,
где входы тригонометрических функций синуса и косинуса даны в радианах .
В частности, когда x = π ,
С
а также
следует, что
что дает тождество Эйлера:
Геометрическая интерпретация
Любое комплексное число можно представить точкой на комплексной плоскости . Эту точку также можно представить в полярных координатах как, где r - абсолютное значение z (расстояние от начала координат), а- аргумент z (угол против часовой стрелки от положительной оси x ). По определениям синуса и косинуса эта точка имеет декартовы координаты, подразумевая, что . Согласно формуле Эйлера это эквивалентно высказыванию.
Тождество Эйлера говорит, что . С является для r = 1 и, это можно интерпретировать как факт о числе −1 на комплексной плоскости: его расстояние от начала координат равно 1, а его угол относительно положительной оси x равен радианы.
Кроме того, когда любое комплексное число г будет умноженное на, он поворачивает z против часовой стрелки на уголна комплексной плоскости. Поскольку умножение на -1 отражает точку в начале координат, тождество Эйлера можно интерпретировать как утверждение, что вращение любой точки Радианы вокруг начала координат имеют тот же эффект, что и отражение точки через начало координат.
Обобщения
Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества, что корни n- й степени из единицы при n > 1 в сумме дают 0:
Тождество Эйлера - это случай, когда n = 2 .
В другой области математики, используя возведение в степень кватернионов , можно показать, что аналогичное тождество применимо и к кватернионам. Пусть { i , j , k } - базисные элементы; тогда,
В общем, если даны действительные a 1 , a 2 и a 3 такие, что a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , то
Для октонионов с вещественным a n таким, что a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , и с базисными элементами октониона { i 1 , i 2 , ..., i 7 } ,
История
Утверждалось, что личность Эйлера проявляется в его монументальной работе по математическому анализу, опубликованной в 1748 году, Introductio in analysin infinitorum . [15] Однако сомнительно, может ли эта конкретная концепция быть приписана самому Эйлеру, поскольку он, возможно, никогда не выражал ее. [16] Более того, в то время как Эйлер написал во Введении о том, что мы сегодня называем формулой Эйлера , [17] которая связывает e с членами косинуса и синуса в области комплексных чисел, английский математик Роджер Котес (умер в 1716 году, когда Эйлеру было всего 9 лет) тоже знал об этой формуле, и Эйлер, возможно, приобрел знания от своего швейцарского соотечественника Иоганна Бернулли . [16]
Робин Уилсон утверждает следующее. [18]
Мы видели, как это [тождество Эйлера] можно легко вывести из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котеса, но ни один из них, похоже, этого не сделал. Даже Эйлер, похоже, не записал это явно - и, конечно же, это не фигурирует ни в одной из его публикаций - хотя он наверняка осознавал, что это непосредственно следует из его идентичности [то есть формулы Эйлера ], e ix = cos x + я грешу х . Более того, кажется неизвестным, кто первым явным образом сформулировал результат….
Смотрите также
- Формула де Муавра
- Экспоненциальная функция
- Постоянная Гельфонда
Заметки
- ^ Термин «тождество Эйлера» (или «тождество Эйлера») также используется в других местах для обозначения других понятий, включая соответствующую общую формулу e ix = cos x + i sin x , [1] и формулу произведения Эйлера . [2]
Рекомендации
- Перейти ↑ Dunham, 1999, p. xxiv .
- ↑ Степанов, С.А. (7 февраля 2011 г.). «Тождество Эйлера» . Энциклопедия математики . Проверено 7 сентября 2018 года .
- ^ Галлахер, Джеймс (13 февраля 2014 г.). «Математика: почему мозг видит в математике красоту» . BBC News Online . Проверено 26 декабря 2017 года .
- ^ Paulos, 1992, стр. 117.
- ^ Nahin, 2006, стр. 1 .
- ^ Nahin, 2006, стр. xxxii.
- ^ Рид, глава е .
- ^ Maor, стр. 160 , и Kasner & Newman, стр. 103–104 .
- ^ Уэллс, 1990.
- ^ Криз, 2004.
- ^ Зекидр., 2014.
- ^ Нахин, Пол (2011). Невероятная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691118222.
- ^ Стипп, Дэвид (2017). Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики (Первое изд.). Основные книги. ISBN 978-0465093779.
- ^ Уилсон, Робин (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198794936.
- ^ Конвей и Гай, стр. 254–255.
- ^ a b Сандифер, стр. 4.
- ^ Эйлер, стр. 147.
- ^ Уилсон, стр. 151-152.
Источники
- Конвей, Джон Х. и Гай, Ричард К. (1996), Книга чисел , Springer ISBN 978-0-387-97993-9
- Криз, Роберт П. (10 мая 2004 г.), « Величайшие уравнения всех времен », Physics World [требуется регистрация]
- Данэм, Уильям (1999), Эйлер: Мастер всех нас , Математическая ассоциация АмерикиISBN 978-0-88385-328-3
- Эйлер, Леонард (1922), Леонхарди Эйлери, опера omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus , Лейпциг: BG Teubneri
- Каснер, Э. , и Ньюман, Дж. (1940), Математика и воображение , Саймон и Шустер
- Маор, Эли (1998), e : The Story of a number , Princeton University PressISBN 0-691-05854-7
- Нахин, Пол Дж. (2006), Невероятная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги , Princeton University PressISBN 978-0-691-11822-2
- Паулос, Джон Аллен (1992), Помимо умения считать: необычный математический словарь , Penguin BooksISBN 0-14-014574-5
- Рид, Констанс (различные издания), От нуля до бесконечности , Математическая ассоциация Америки
- Сандифер, К. Эдвард (2007), Лучшие хиты Эйлера , Математическая ассоциация АмерикиISBN 978-0-88385-563-8
- Стипп, Дэвид (2017), Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики , Основные книги
- Уэллс, Дэвид (1990). «Это самые красивые?». Математический интеллигент . 12 (3): 37–41. DOI : 10.1007 / BF03024015 .
- Уилсон, Робин (2018), Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике , Oxford University Press
- Зеки, С .; Romaya, JP; Бенинкаса, ДМТ; Атия, MF (2014), "Опыт математической красоты и его нейронные корреляты", Frontiers в человеческом Neuroscience , 8 : 68, DOI : 10,3389 / fnhum.2014.00068 , PMC 3923150 , PMID 24592230
Внешние ссылки
- Полный вывод тождества Эйлера
- Интуитивное понимание формулы Эйлера