В векторном исчислении , то градиент из скалярной дифференцируемой функции F от нескольких переменных является векторное поле (или вектор-функция ) чья ценность в точке это вектор [а] , компонентами которого являются частными производными от в . [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] » То есть для, его градиент определяется в точке в n- мерном пространстве как вектор: [b]
Символ набла , записанный как перевернутый треугольник и произносимый "del", обозначает векторный дифференциальный оператор .
Градиент двойственен полной производной : значение градиента в точке - это касательный вектор - вектор в каждой точке; в то время как значение производной в точке является ко касательным вектором - линейной функцией от векторов. [c] Они связаны тем, что скалярное произведение градиента f в точке p с другим касательным вектором v равно производной по направлению f в точке p функции вдоль v ; это,.
Вектор градиента можно интерпретировать как «направление и скорость наиболее быстрого увеличения». Если градиент функции не равен нулю в точке p , направление градиента - это направление, в котором функция увеличивается наиболее быстро от p , а величина градиента - это скорость увеличения в этом направлении, наибольшая абсолютная производная по направлению. [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] Кроме того, градиент является нулевым вектором в точке тогда и только тогда, когда это стационарная точка (где производная обращается в нуль). Таким образом, градиент играет фундаментальную роль в теории оптимизации , где он используется для максимизации функции путем подъема градиента .
Градиент допускает множественные обобщения на более общие функции на многообразиях ; см. § Обобщения .
Мотивация
Рассмотрим комнату , где температура задается скалярным полем , Т , так что в каждой точке ( х , у , г ) температура Т ( х , у , г ) , не зависит от времени. В каждой точке комнаты градиент T в этой точке покажет направление, в котором температура растет быстрее всего, удаляясь от ( x , y , z ) . Величина градиента будет определять, насколько быстро температура повышается в этом направлении.
Рассмотрим поверхность, высота которой над уровнем моря в точке ( x , y ) равна H ( x , y ) . Градиент H в точке представляет собой плоскость , вектор , указывающий в направлении крутого склона или класса в этой точке. Крутизна наклона в этой точке определяется величиной вектора градиента.
Градиент также можно использовать для измерения того, как скалярное поле изменяется в других направлениях, а не только в направлении наибольшего изменения, путем вычисления скалярного произведения . Предположим, что самый крутой уклон холма составляет 40%. Дорога, идущая прямо в гору, имеет уклон 40%, но дорога, огибающая холм под углом, будет иметь более пологий уклон. Например, если дорога находится под углом 60 ° к направлению подъема (когда оба направления проецируются на горизонтальную плоскость), то уклон вдоль дороги будет скалярным произведением между вектором градиента и единичным вектором вдоль дороги. , а именно 40% от косинуса 60 °, или 20%.
В более общем смысле , если холм функция высоты Н является дифференцируемой , то градиент H пунктир с единичным вектором дает наклон холма в направлении вектора, в производной по направлению от Н вдоль единичного вектора.
Обозначение
Градиент функции в точке обычно пишется как . Это также может обозначаться любым из следующих:
- : чтобы подчеркнуть векторность результата.
- град f
- а также : Обозначения Эйнштейна .
Определение
Градиент (или векторное поле градиента) скалярной функции f ( x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n ) обозначается ∇ f или ∇ → f, где ∇ ( nabla ) обозначает векторный дифференциальный оператор , del . Обозначение grad f также обычно используется для представления градиента. Градиент f определяется как уникальное векторное поле, скалярное произведение которого с любым вектором v в каждой точке x является производной f вдоль v по направлению . Это,
Формально градиент двойственен производной; увидеть связь с производной .
Когда функция также зависит от параметра, такого как время, градиент часто относится просто к вектору только его пространственных производных (см. Пространственный градиент ).
Величина и направление вектора градиента не зависят от конкретного координатного представления . [17] [18]
Декартовы координаты
В трехмерной декартовой системе координат с евклидовой метрикой градиент, если он существует, задается следующим образом:
где i , j , k - стандартные единичные векторы в направлениях координат x , y и z соответственно. Например, градиент функции
является
В некоторых приложениях принято представлять градиент как вектор-строку или вектор-столбец его компонентов в прямоугольной системе координат; в этой статье принято, что градиент является вектором-столбцом, а производная - вектором-строкой.
Цилиндрические и сферические координаты
В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент задается следующим образом: [19]
где ρ - осевое расстояние, φ - азимутальный или азимутальный угол, z - осевая координата, а e ρ , e φ и e z - единичные векторы, указывающие вдоль координатных направлений.
В сферических координатах градиент задается следующим образом: [19]
где r - радиальное расстояние, φ - азимутальный угол, θ - полярный угол, а e r , e θ и e φ снова являются локальными единичными векторами, указывающими в направлениях координат (то есть нормализованным ковариантным базисом ).
Для градиента в других ортогональных системах координат см. Ортогональные координаты (Дифференциальные операторы в трех измерениях) .
Общие координаты
Мы рассматриваем общие координаты , которые мы записываем как x 1 ,…, x i ,…, x n , где n - количество измерений области. Здесь верхний индекс относится к позиции в списке координаты или компонента, поэтому x 2 относится ко второму компоненту, а не к величине x в квадрате. Индексная переменная i относится к произвольному элементу x i . Используя обозначения Эйнштейна , градиент можно записать как:
- (Обратите внимание , что его двойной является ),
где а также относятся к ненормализованному локальному ковариантному и контравариантному базисам соответственно,- обратный метрический тензор , а соглашение Эйнштейна о суммировании подразумевает суммирование по i и j .
Если координаты ортогональны, мы можем легко выразить градиент (и дифференциал ) в терминах нормализованных базисов, которые мы называем а также , используя масштабные коэффициенты (также известные как коэффициенты Ламе ) :
- ( а также ),
где нельзя использовать обозначения Эйнштейна, так как невозможно избежать повторения более двух индексов. Несмотря на использование верхних и нижних индексов,, , а также не являются ни контравариантными, ни ковариантными.
Последнее выражение соответствует приведенным выше выражениям для цилиндрических и сферических координат.
Градиент и производная или дифференциал
Градиент тесно связан с (полной) производной ( (полным) дифференциалом ): они транспонированы ( двойственны ) друг другу. Используя соглашение, что векторы впредставлены векторами-столбцами , и ковекторы (линейные карты) представлены векторами-строками , [a] градиент и производная выражаются как вектор-столбец и вектор-строка, соответственно, с одними и теми же компонентами, но транспонированы друг в друга:
Хотя оба они имеют одинаковые компоненты, они различаются типом математического объекта, который они представляют: в каждой точке производная представляет собой котангенс-вектор , линейную форму ( ковектор ), которая выражает, насколько (скалярный) результат изменяется для данного бесконечно малого изменение входного (векторного), в то время как в каждой точке градиент является касательным вектором , который представляет бесконечно малое изменение входного (векторного). В символах градиент - это элемент касательного пространства в точке,, а производная - это отображение касательного пространства на действительные числа, . Касательные пространства в каждой точкеможно «естественным образом» отождествить [d] с векторным пространствомсамо по себе, и аналогично котангенсное пространство в каждой точке можно естественным образом отождествить с двойственным векторным пространством ковекторов; таким образом, значение градиента в точке можно представить как вектор в исходном, а не только как касательный вектор.
С вычислительной точки зрения, учитывая касательный вектор, вектор можно умножить на производную (в виде матриц), что равносильно взятию скалярного произведения с градиентом:
Дифференциальная или (внешняя) производная
Наилучшее линейное приближение дифференцируемой функции
в точке х в R п является линейное отображение из R п к R , который часто обозначается ф.р. х или Df ( х ) и называется дифференциальной или (всего) производную от F в х . Функция DF , которая отображает й в ДФЕ х , называется (всего) дифференциальным или внешней производной от F и является примером дифференциальной 1-формы .
Подобно тому , как производная функции одного переменный представляет собой наклон от касательной к графику функции, [20] производная по направлению функции несколько переменных представляет собой наклон касательной гиперплоскости в направлении вектора.
Градиент связан с дифференциалом формулой
для любого v ∈ R n , гдеявляется скалярным произведением : получение скалярного произведения вектора с градиентом аналогично взятию производной по направлению вдоль вектора.
Если R n рассматривается как пространство векторов-столбцов (размерности n ) (действительных чисел), то можно рассматривать df как вектор-строку с компонентами
так что df x ( v ) задается умножением матриц . Если принять стандартную евклидову метрику на R n , тогда градиент будет соответствующим вектором-столбцом, то есть
Линейное приближение к функции
Наилучшее линейное приближение к функции можно выразить через градиент, а не через производную. Градиент функции f из евклидова пространства R n в R в любой конкретной точке x 0 в R n характеризует наилучшее линейное приближение к f в точке x 0 . Приближение выглядит следующим образом:
для x, близкого к x 0 , где (∇ f ) x 0 - градиент f, вычисленный в x 0 , а точка обозначает скалярное произведение на R n . Это уравнение эквивалентно первым двум членам в многомерном разложении функции f в ряд Тейлора в точке x 0 .
Градиент как «производная»
Пусть U - открытое множество в R n . Если функция F : U → R является дифференцируемой , то дифференциал F является (Фреше) производная F . Таким образом, ∇ f - функция из U в пространство R n такая, что
где · - скалярное произведение.
Как следствие, обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной:
Линейность
Градиент является линейным в том смысле, что если f и g - две действительные функции, дифференцируемые в точке a ∈ R n , а α и β - две константы, то αf + βg дифференцируем в точке a , и, более того,
Правило продукта
Если f и g - действительные функции, дифференцируемые в точке a ∈ R n , то правило произведения утверждает, что произведение fg дифференцируемо в точке a , и
Правило цепи
Предположим, что f : A → R - вещественная функция, определенная на подмножестве A в R n , и что f дифференцируема в точке a . Есть две формы цепного правила, применяемого к градиенту. Сначала предположим, что функция g - параметрическая кривая ; то есть функция g : I → R n отображает подмножество I ⊂ R в R n . Если g дифференцируема в такой точке c ∈ I , что g ( c ) = a , то
где ∘ - оператор композиции : ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x )) .
В более общем смысле, если вместо этого I ⊂ R k , то имеет место следующее:
где ( Dg ) T обозначает транспонированную матрицу Якоби .
Во второй форме правило цепи, предположим , что час : Я → R является действительная функция на подмножестве I в R , и что ч дифференцируема в точке F ( ) ∈ I . потом
Другие свойства и применения
Наборы уровней
Поверхность уровня или изоповерхность - это набор всех точек, в которых некоторая функция имеет заданное значение.
Если f дифференцируема, то скалярное произведение (∇ f ) x ⋅ v градиента в точке x с вектором v дает производную f по направлению в точке x в направлении v . Из этого следует , что в этом случае градиент F является ортогональным к множествам уровня из F . Например, поверхность уровня в трехмерном пространстве определяется уравнением вида F ( x , y , z ) = c . Тогда градиент F перпендикулярен поверхности.
В более общем смысле, любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть вырезана уравнением вида F ( P ) = 0 таким, что dF нигде не равно нулю. Тогда градиент F нормален к гиперповерхности.
Точно так же аффинная алгебраическая гиперповерхность может быть определена уравнением F ( x 1 , ..., x n ) = 0 , где F - многочлен. Градиент F равен нулю в особой точке гиперповерхности (это определение особой точки). В неособой точке это ненулевой нормальный вектор.
Консервативные векторные поля и градиентная теорема
Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) поле градиента всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть вычислен по градиентной теореме (основная теорема исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.
Обобщения
Якобиан
Матрица Якоби является обобщением градиента для вектора-функций нескольких переменных и дифференцируемых отображений между евклидовыми пространствами или, в более общем плане , многообразие . [21] [22] Дальнейшим обобщением функции между банаховыми пространствами является производная Фреше .
Предположим , что функция f : ℝ n → ℝ m такая, что каждая из ее частных производных первого порядка существует на ℝ n . Тогда матрица Якоби функции f определяется как матрица размера m × n , обозначаемая как или просто . ( Я , J ) я запись является. Явно
Градиент векторного поля
Поскольку полная производная векторного поля является линейным отображением векторов в векторы, это тензорная величина.
В прямоугольных координатах градиент векторного поля f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) определяется следующим образом:
(где используется обозначение суммирования Эйнштейна, а тензорное произведение векторов e i и e k является диадическим тензором типа (2,0)). В целом это выражение равно транспонированной матрице Якоби:
В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на изогнутом многообразии градиент включает символы Кристоффеля :
где g jk - компоненты обратного метрического тензора, а e i - координатные базисные векторы.
Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f может быть определен связностью Леви-Чивиты и метрическим тензором: [23]
где ∇ c - связь.
Римановы многообразия
Для любой гладкой функции F на риманова многообразия ( М , г ) , градиент F векторное поле ∇ F такое , что для любого векторного поля X ,
это,
где g x (,) обозначает скалярное произведение касательных векторов в точке x, определяемых метрикой g, а ∂ X f - функция, которая переводит любую точку x ∈ M в производную f по направлению в направлении X , вычисленную в x . Другими словами, в координатной карте φ от открытого подмножества M к открытому подмножеству R n , (∂ X f ) ( x ) задается следующим образом:
где X j обозначает j- й компонент X в этой координатной карте.
Итак, локальная форма градиента принимает вид:
Обобщая случай M = R n , градиент функции связан с ее внешней производной, поскольку
Точнее, градиент ∇ f - это векторное поле, связанное с дифференциальной 1-формой df с помощью музыкального изоморфизма
(называемые «точными»), определяемые метрикой g . Связь между внешней производной и градиентом функции на R n является частным случаем этого, в котором метрика является плоской метрикой, заданной скалярным произведением.
Смотрите также
- Завиток
- Расхождение
- Четыре градиента
- Матрица Гессе
- Наклон градиента
Заметки
- ^ a b В этой статье используется соглашение о том, что векторы-столбцы представляют векторы, а векторы-строки представляют ковекторы, но также распространено противоположное соглашение.
- ^ Строго говоря, градиент - это векторное поле , а значение градиента в точке является касательным вектором в касательном пространстве в этой точке,, а не вектор в исходном пространстве . Однако все касательные пространства можно естественным образом отождествить с исходным пространством, поэтому их не нужно различать; см. § Определение и связь с производной .
- ^ Значение градиента в точке можно рассматривать как вектор в исходном пространстве., в то время как значение производной в точке можно рассматривать как ковектор на исходном пространстве: линейную карту .
- ^ Неформально «естественно» обозначение означает, что это может быть сделано без каких-либо произвольных выборов. Это можно формализовать естественным преобразованием .
Рекомендации
- ↑ Бахман (2007 , с. 76)
- ^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 84)
- ↑ Даунинг (2010 , стр. 316)
- ↑ Харпер (1976 , стр.15)
- ^ Kreyszig (1972 , стр. 307)
- ↑ McGraw-Hill (2007 , стр. 196)
- ↑ Moise (1967 , стр. 683)
- ^ Проттер & Моррите, младший (1970 , стр. 714)
- ^ Своковски и др. (1994 , с. 1038)
- ↑ Бахман (2007 , с. 77)
- ↑ Даунинг (2010 , стр. 316–317)
- ^ Kreyszig (1972 , стр. 309)
- ↑ McGraw-Hill (2007 , стр. 196)
- ↑ Moise (1967 , стр. 684)
- ^ Проттер & Моррите, младший (1970 , стр. 715)
- ^ Своковски и др. (1994 , стр. 1036,1038–1039).
- ^ Kreyszig (1972 , стр. 308-309)
- ↑ Стокер (1969 , стр. 292)
- ^ a b Schey 1992 , стр. 139–142.
- ^ Проттер & Моррите, младший (1970 , стр. 21,88)
- ^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 87248)
- ^ Kreyszig (1972 , стр. 333353496)
- ↑ Дубровин, Фоменко и Новиков 1991 , стр. 348–349.
- Бахман, Дэвид (2007), Advanced Calculus Demystified , New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-148121-2
- Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
- Даунинг, Дуглас, доктор философии (2010), Расчет EZ Баррона , Нью-Йорк: Barron's , ISBN 978-0-7641-4461-5
- Дубровин Б.А.; Фоменко АТ; Новиков, СП (1991). Современная геометрия - методы и приложения: Часть I: Геометрия поверхностей, группы преобразований и поля . Тексты для выпускников по математике (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
- Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN 0-13-487538-9
- Крейсциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
- "Энциклопедия науки и технологий Макгроу Хилла". Энциклопедия науки и технологий Макгроу-Хилла (10-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
- Мойс, Эдвин Э. (1967), Исчисление: Полное , Чтение: Аддисон-Уэсли
- Protter, Murray H .; Морри младший, Чарльз Б. (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN 76087042
- Шей, HM (1992). Div, Grad, Curl и все такое (2-е изд.). WW Нортон. ISBN 0-393-96251-2. OCLC 25048561 .
- Стокер, Дж. Дж. (1969), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-82825-4
- Swokowski, Earl W .; Олиник, Майкл; Пенс, Деннис; Коул, Джеффри А. (1994), Calculus (6-е изд.), Бостон: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5
дальнейшее чтение
- Корн, Тереза М .; Корн, Гранино Артур (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора . Dover Publications. С. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234 .
Внешние ссылки
- «Градиент» . Ханская академия .
- Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Градиент» , Энциклопедия математики , EMS Press..
- Вайсштейн, Эрик В. «Градиент» . MathWorld .