В математике , то максимальный оператор Харди-Литлвуда М является существенным нелинейным оператором используется в режиме реального анализа и гармонического анализа . Он берет локально интегрируемую функцию f : R d → C и возвращает другую функцию Mf, которая в каждой точке x ∈ R d дает максимальное среднее значение, которое f может иметь на шарах с центром в этой точке. Точнее,
где B ( x , r ) - шар радиуса r с центром в точке x , а | E | обозначает д - мерную меру Лебега на E ⊂ R D .
Средние значения непрерывны вместе по x и r , поэтому максимальная функция Mf , являющаяся супремумом по r > 0, измерима . Неочевидно, что Mf почти всюду конечно. Это следствие максимального неравенства Харди – Литтлвуда .
Максимальное неравенство Харди – Литтлвуда
Эта теорема Харди и JE Литтлвуд утверждает , что М является ограниченным в качестве оператора сублинейного из L р ( R d ) к себе на р > 1. То есть, если F ∈ L р ( R d ) , то функция максимального Mf является слабая L 1 -ограниченная и Mf ∈ L p ( R d ). Прежде чем формулировать теорему более точно, для простоты пусть { f > t } обозначает множество { x | f ( x )> t }. Теперь у нас есть:
Теорема (оценка слабого типа). При d ≥ 1 существует постоянная C d > 0 такая, что для всех λ> 0 и f ∈ L 1 ( R d ) имеем:
С учетом максимального неравенства Харди – Литтлвуда следующая оценка сильного типа является непосредственным следствием интерполяционной теоремы Марцинкевича :
Теорема (оценка строгого типа). Для d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ и f ∈ L p ( R d )
существует постоянная C p, d > 0 такая, что
В оценке строгого типа наилучшие оценки для C p, d неизвестны. [1] Однако впоследствии Элиас М. Стейн использовал метод вращений Кальдерона-Зигмунда, чтобы доказать следующее:
Теорема (независимость размерности). Для 1 < p ≤ ∞ можно выбрать C p, d = C p независимо от d . [1] [2]
Доказательство
Несмотря на то, что существует несколько доказательств этой теоремы, ниже приводится общее: При p = ∞ неравенство тривиально (так как среднее значение функции не превышает ее существенную верхнюю грань ). При 1 < p <∞ сначала мы воспользуемся следующей версией леммы Витали о покрытии для доказательства оценки слабого типа. (См. Статью с доказательством леммы.)
Лемма. Пусть X - сепарабельное метрическое пространство исемейство открытых шаров ограниченного диаметра. потом имеет счетное подсемейство состоящий из непересекающихся шаров таких, что
где 5 B - это B с пятикратным радиусом.
Если Mf ( x )> t , то по определению можно найти шар B x с центром в x такой, что
По лемме среди таких шаров можно найти последовательность непересекающихся шаров B j такую, что объединение 5 B j покрывает { Mf > t }. Следует:
Это завершает доказательство оценки слабого типа. Далее мы выводим из этого границы L p . Определим b как b ( x ) = f ( x ), если | f ( x ) | > t / 2 и 0 в противном случае. По оценке слабого типа, примененной к b , имеем:
с C = 5 дн . потом
По вышеприведенной оценке имеем:
где постоянная C p зависит только от p и d . Это завершает доказательство теоремы.
Обратите внимание, что постоянная в доказательстве можно улучшить до используя внутреннюю закономерность в меру Лебега , а конечный вариант накрытия леммы Витали . См. Раздел « Обсуждение» ниже, чтобы узнать больше об оптимизации константы.
Приложения
Некоторые приложения максимального неравенства Харди – Литтлвуда включают доказательство следующих результатов:
- Теорема Лебега дифференцирования
- Теорема Радемахера о дифференцировании
- Теорема Фату о некасательной сходимости.
- Теорема о дробном интегрировании
Здесь мы используем стандартный прием с использованием максимальной функции, чтобы быстро доказать теорему Лебега о дифференцировании. (Но помните, что при доказательстве максимальной теоремы мы использовали лемму Витали о покрытии.) Пусть f ∈ L 1 ( R n ) и
где
Мы пишем f = h + g, где h непрерывна и имеет компактный носитель, а g ∈ L 1 ( R n ) с нормой, которую можно сделать сколь угодно малой. потом
по преемственности. Теперь Ω g ≤ 2 Mg и поэтому по теореме имеем:
Теперь мы можем позволить и заключаем, что Ω f = 0 почти всюду; это,существует почти для всех x . Осталось показать, что предел действительно равен f ( x ). Но это легко: известно, что( приближение к тождеству ) и, следовательно, существует подпоследовательностьпочти всюду. Тогда по единственности предела f r → f почти всюду.
Обсуждение
Пока неизвестно, каковы наименьшие константы C p, d и C d в приведенных выше неравенствах. Однако результат Элиаса Стейна о сферических максимальных функциях можно использовать, чтобы показать, что для 1 < p <∞ мы можем удалить зависимость C p, d от размерности, то есть C p, d = C p для некоторая константа C p > 0 только зависящая от p . Неизвестно, существует ли слабая граница, не зависящая от размерности.
Существует несколько распространенных вариантов максимального оператора Харди-Литтлвуда, которые заменяют средние по центрированным шарам средними по разным семействам множеств. Например, можно определить нецентрированный максимальный оператор HL (используя обозначения Штейна-Шакарчи)
где шары B x должны просто содержать x, а не быть центрированными в x. Существует также диадический максимальный оператор HL
где Q x пробегает все двоичные кубы, содержащие точку x . Оба этих оператора удовлетворяют максимальному неравенству HL.
Рекомендации
- ^ а б Тао, Теренс. «Сферическая максимальная теорема Штейна» . Что нового . Проверено 22 мая 2011 года .
- ^ Штейн, Э.М. (S 1982). «Развитие квадратных функций в творчестве А. Зигмунда» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 7 (2): 359–376. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1982-15040-6 . Проверить значения даты в:
|date=
( помощь )
- Джон Б. Гарнетт , Ограниченные аналитические функции . Springer-Verlag, 2006 г.
- Антониос Д. Мелас, Наилучшая константа для центрированного максимального неравенства Харди – Литтлвуда , Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
- Рами Шакарчи и Элиас М. Стейн , Принстонские лекции по анализу III: Реальный анализ . Издательство Принстонского университета, 2005 г.
- Элиас М. Штейн, Максимальные функции: сферические средние , Proc. Natl. Акад. Sci. США 73 (1976), 2174–2175
- Элиас М. Стейн, Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета, 1971 г.
- Джеральд Тешл , Темы реального и функционального анализа (конспекты лекций)