Коэффициент теплоемкости

Термодинамика
Классический тепловой двигатель Карно
ветви Классический Статистический Химическая Квантовая термодинамика Равновесие  / Неравновесие
Законы Zeroth Первый Второй В третьих
Системы Закрытая система Изолированная система Состояние Уравнение состояния Идеальный газ Настоящий газ Состояние вопроса Равновесие Контрольный объем Инструменты Процессы Изобарический Изохорический Изотермический Адиабатический Изэнтропический Изентальпический Квазистатический Политропный Бесплатное расширение Обратимость Необратимость Необратимость Циклы Тепловые двигатели Тепловые насосы Тепловая эффективность
Свойства системы Примечание: Сопряженные переменные в курсивом Диаграммы свойств Интенсивные и обширные свойства Функции процесса Работа Высокая температура Функции государства Температура  / энтропия  ( введение ) Давление  / Объем Химический потенциал  / число частиц Качество пара Сниженные свойства
Свойства материала Базы данных недвижимости Удельная теплоемкость  ${\ displaystyle c =}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ partial S}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ partial T}$ Сжимаемость  ${\ displaystyle \ beta = -}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ partial V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ partial p}$ Тепловое расширение  ${\ Displaystyle \ альфа =}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ partial V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ partial T}$
Уравнения Теорема Карно Теорема Клаузиуса Фундаментальное отношение Закон идеального газа Максвелл отношения Взаимные отношения Онзагера Уравнения Бриджмена Таблица термодинамических уравнений
Потенциал Свободная энергия Свободная энтропия Внутренняя энергия ${\ Displaystyle U (S, V)}$ Энтальпия ${\ Displaystyle H (S, p) = U + pV}$ Свободная энергия Гельмгольца ${\displaystyle A(T,V)=U-TS}$ Свободная энергия Гиббса ${\displaystyle G(T,p)=H-TS}$
История Культура История Общий Энтропия Газовые законы Машины "вечный двигатель" Философия Энтропия и время Энтропия и жизнь Броуновская трещотка Демон Максвелла Парадокс тепловой смерти Парадокс лошмидта Синергетика Теории Теория калорийности Теория тепла Vis viva («живая сила») Механический эквивалент тепла Сила мотивации Ключевые публикации " Экспериментальное исследование ... тепла " « О равновесии гетерогенных веществ » « Размышления о движущей силе огня » Сроки Термодинамика Тепловые двигатели Изобразительное искусство Образование Термодинамическая поверхность Максвелла Энтропия как рассеивание энергии
Ученые Бернулли Больцман Карно Клапейрон Клаузиус Каратеодори Duhem Гиббс фон Гельмгольц Джоуль Максвелл фон Майер Онсагер Ренкин Смитон Шталь Томпсон Томсон ван дер Ваальс Waterston
Книга Категория
v т е

В теплофизике и термодинамике коэффициент теплоемкости , также известный как показатель адиабаты , отношение удельной теплоемкости или коэффициент Лапласа , представляет собой отношение теплоемкости при постоянном давлении ( C _P ) к теплоемкости при постоянном объеме ( C _V ). Иногда он также известен как коэффициент изоэнтропического расширения и обозначается γ ( гамма ) для идеального газа ^{[примечание 1]} или κ ( каппа), показатель изоэнтропы для реального газа. Символ γ используется инженерами-авиакосмическими компаниями и химиками.

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {{\bar {C}}_{P}}{{\bar {C}}_{V}}}={\frac {c_{P}}{c_{V}}},}$

где С представляет собой теплоемкость, молярная теплоемкость (теплоемкость на моль), а также с в емкости удельной теплоемкости (теплоемкость на единицу массы) газа. Суффиксы P и V относятся к условиям постоянного давления и постоянного объема соответственно.${\displaystyle {\bar {C}}}$

Коэффициент теплоемкости важен для его применения в термодинамических обратимых процессах , особенно с участием идеальных газов ; скорость звука зависит от этого фактора.

Чтобы понять эту связь, рассмотрим следующий мысленный эксперимент . Закрытый пневмоцилиндр содержит воздух. Поршень заблокирован. Давление внутри равно атмосферному. Этот цилиндр нагревается до определенной целевой температуры. Поскольку поршень не может двигаться, объем остается постоянным. Температура и давление поднимутся. По достижении заданной температуры нагрев прекращается. Количество добавленной энергии равно C _V Δ T , при Δ Tпредставляющий изменение температуры. Теперь поршень высвобождается и движется наружу, останавливаясь, когда давление внутри камеры достигает атмосферного. Мы предполагаем, что расширение происходит без теплообмена ( адиабатическое расширение ). При выполнении этой работы воздух внутри цилиндра остынет до температуры ниже заданной. Чтобы вернуться к целевой температуре (все еще со свободным поршнем), воздух должен быть нагрет, но уже не в постоянном объеме, поскольку поршень может свободно перемещаться при повторном нагреве газа. Это дополнительное тепло составляет примерно на 40% больше, чем добавленное ранее количество. В этом примере количество тепла, добавляемого при заблокированном поршне, пропорционально C _V , тогда как общее количество добавленного тепла пропорционально C _P. Следовательно, коэффициент теплоемкости в этом примере равен 1,4.

Другой способ понять разницу между C _P и C _V состоит в том, что C _P применяется, если в системе выполняется работа, которая вызывает изменение объема (например, путем перемещения поршня для сжатия содержимого цилиндра) или если работа выполняется системой, которая изменяет свою температуру (например, нагревает газ в цилиндре, чтобы заставить поршень двигаться). C _V применяется, только если${\displaystyle PdV=0}$, то есть никаких работ не выполняется. Рассмотрим разницу между добавлением тепла к газу при заблокированном поршне и добавлением тепла при свободном перемещении поршня, чтобы давление оставалось постоянным. Во втором случае газ будет нагреваться и расширяться, заставляя поршень выполнять механическую работу с атмосферой. Тепло, добавляемое к газу, лишь частично уходит на нагрев газа, а остальное преобразуется в механическую работу, выполняемую поршнем. В первом случае с постоянным объемом (заблокированный поршень) отсутствует внешнее движение, и, таким образом, с атмосферой не производится никаких механических воздействий; C _V используется. Во втором случае при изменении объема выполняется дополнительная работа, поэтому количество тепла, необходимое для повышения температуры газа (удельная теплоемкость), больше для этого случая постоянного давления.

Идеально-газовые отношения [ править ]

У идеального газа теплоемкость зависит от температуры. Соответственно, мы можем выразить энтальпию как H = C _P T и внутренняя энергия в виде U = C _V T . Таким образом, можно также сказать, что коэффициент теплоемкости - это отношение энтальпии к внутренней энергии:

${\displaystyle \gamma ={\frac {H}{U}}.}$

Кроме того, теплоемкость может быть выражена через коэффициент теплоемкости ( γ ) и газовую постоянную ( R ):

${\displaystyle C_{P}={\frac {\gamma nR}{\gamma -1}}\quad {\text{and}}\quad C_{V}={\frac {nR}{\gamma -1}},}$

где n - количество вещества в молях.

Соотношение Майера позволяет вывести значение C _V из более часто табулируемого значения C _P :

${\displaystyle C_{V}=C_{P}-nR.}$

Связь со степенями свободы [ править ]

Отношение теплоемкости ( γ ) для идеального газа можно связать со степенями свободы ( f ) молекулы следующим образом:

${\displaystyle \gamma =1+{\frac {2}{f}},\quad {\text{or}}\quad f={\frac {2}{\gamma {\text{ - 1}}}}.}$

Таким образом, мы наблюдаем, что для одноатомного газа с 3 степенями свободы:

${\displaystyle \gamma ={\frac {5}{3}}=1.6666\ldots ,}$

в то время как для двухатомного газа с 5 степенями свободы (при комнатной температуре: 3 поступательные и 2 вращательные степени свободы ; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур):

${\displaystyle \gamma ={\frac {7}{5}}=1.4.}$

Например, земной воздух в основном состоит из двухатомных газов (около 78% азота , N ₂ и 21% кислорода , O ₂ ), и при стандартных условиях его можно рассматривать как идеальный газ. Вышеуказанное значение 1,4 хорошо согласуется с измеренными показателями адиабаты для сухого воздуха в диапазоне температур 0–200 ° C, демонстрируя отклонение всего 0,2% (см. Таблицу выше).

Для неколинеарного трехатомного газа в виде водяного пара, имеющего 6 степеней свободы:

${\displaystyle \gamma ={\frac {8}{6}}=1.3333\ldots .}$

Для коллинеарной трехатомной молекулы, такой как CO2, существует только 5 степеней свободы, если предположить, что колебательные моды не возбуждаются. В целом, однако, когда масса увеличивается, а частота колебательных мод уменьшается, колебательные степени свободы начинают входить в уравнение при гораздо более низких температурах. Например, для возбуждения колебательных мод для H2 требуется гораздо более высокая температура, для которых один квант колебаний имеет гораздо большую энергию, чем для CO2.

Отношения с реальным газом [ править ]

При повышении температуры молекулярным газам становятся доступны вращательные и колебательные состояния с более высокой энергией, что увеличивает число степеней свободы и снижает γ . Для реального газа C _P и C _V увеличиваются с повышением температуры, продолжая отличаться друг от друга фиксированной константой (как указано выше, C _P = C _V + nR ), что отражает относительно постоянную разницу PV в выполненной работе при расширении при постоянном давлении и постоянном объеме. Таким образом, отношение двух величин γ, уменьшается с повышением температуры. Дополнительные сведения о механизмах хранения тепла в газах см. В разделе удельная теплоемкость газа . При 273 K (0 ° C) одноатомные газы, такие как благородные газы He, Ne и Ar, имеют одинаковое значение γ , равное 1,664.

Термодинамические выражения [ править ]

Значения, основанные на приближении (особенно C _P - C _V = nR ), во многих случаях недостаточно точны для практических инженерных расчетов, таких как скорости потока через трубы и клапаны. По возможности следует использовать экспериментальное значение, а не значение, основанное на этом приближении. Строгое значение коэффициентаC _P/C _Vтакже может быть рассчитан путем определения C _V из остаточных свойств, выраженных как

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=-T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}=-T{\frac {\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}^{2}}{\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}}}.}$

Значения для C _P легко доступны и записываются, но значения для C _V необходимо определять с помощью таких отношений. См. Отношения между удельной теплотой для вывода термодинамических соотношений между теплоемкостями.

Приведенное выше определение - это подход, используемый для разработки строгих выражений из уравнений состояния (таких как Пенг – Робинсон ), которые настолько близко соответствуют экспериментальным значениям, что нет необходимости в разработке базы данных соотношений или значений C _V. Значения также можно определить с помощью конечно-разностной аппроксимации .

Адиабатический процесс [ править ]

Это соотношение дает важное соотношение для изоэнтропического ( квазистатического , обратимого , адиабатического процесса ) процесса простого сжимаемого идеального с точки зрения калорийности газа :

${\displaystyle PV^{\gamma }}$ постоянно

Используя закон идеального газа :${\displaystyle PV=nRT}$

${\displaystyle P^{1-\gamma }T^{\gamma }}$ постоянно

${\displaystyle TV^{\gamma -1}}$ постоянно

где P - давление в Па, V - объем газа в, а T - температура в К.${\displaystyle m^{3}}$

В газовой динамике нас больше интересуют локальные отношения между давлением, плотностью и температурой, чем рассмотрение фиксированного количества газа. Рассматривая плотность как величину, обратную объему для единицы массы, мы можем принять эти соотношения. Поскольку для постоянной энтропии, имеем , или , то следует, что${\displaystyle \rho =M/V}$${\displaystyle \rho =1/V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P\propto \rho ^{\gamma }}$${\displaystyle \ln P=\gamma \ln \rho +constant}$

${\displaystyle \gamma =\left.{\frac {\partial \ln P}{\partial \ln \rho }}\right|_{S}.}$

Для несовершенного или неидеального газа Чандрасекар ^[3] определил три различных показателя адиабаты, так что адиабатические соотношения могут быть записаны в той же форме, что и выше; они используются в теории звездной структуры :

${\displaystyle \Gamma _{1}=\left.{\frac {\partial \ln P}{\partial \ln \rho }}\right|_{S},}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma _{2}-1}{\Gamma _{2}}}=\left.{\frac {\partial \ln T}{\partial \ln P}}\right|_{S},}$

${\displaystyle \Gamma _{3}-1=\left.{\frac {\partial \ln T}{\partial \ln \rho }}\right|_{S}.}$

Все они равны в случае идеального газа.${\displaystyle \gamma }$

См. Также [ править ]

• Соотношение теплоемкостей
• Теплоемкость
• Удельная теплоемкость
• Скорость звука
• Термодинамические уравнения
• Термодинамика
• Объемная теплоемкость

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]