В математике , то дискриминант из поля алгебраических чисел является числовым инвариантом , что, грубо говоря, измеряет размер ( кольца целых чисел в) поля алгебраических чисел. Более конкретно, она пропорциональна квадрат объема фундаментальной области кольца целых чисел, и регулирует , которые простые числа имеют разветвленные .
Дискриминант является одним из самых основных инвариантов числового поля, и происходит в нескольких важных аналитических формулах , такие как функциональное уравнение в дедекиндовым дзете функции из K , и формула аналитического числа классов для K . Теорема о Эрмите утверждает , что существует лишь конечное число числа полех ограниченного дискриминанта, однако определение этого количество по - прежнему является открытой проблема , и предмет текущих исследований. [1]
Дискриминант K может быть называют абсолютный дискриминант из K , чтобы отличить его от относительного дискриминанта из с расширением K / L числовых полей. Последний является идеальным в кольце целых чисел L , и подобно абсолютному дискриминант это указывает , какие штрихи разветвленное в K / L . Это обобщение абсолютного дискриминанта, позволяющее L быть больше Q ; В самом деле, когда L = Q , относительный дискриминант K / Q является главным идеалом из Z , порожденной абсолютным дискриминантом K .
Определение
Пусть K - поле алгебраических чисел, а O K - его кольцо целых чисел . Пусть Ь 1 , ..., б п быть целый базис из O K (т.е. основе в качестве Z - модуль ), и пусть {σ 1 , ..., σ п } множество вложений К в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец K → C ). Дискриминант из K представляет собой квадрат из определителя из п по п матрицы B , чей ( я , J ) -Посещение является σ я ( Ь J ). Символично,
Эквивалентно, то след от K до Q может быть использован. В частности, определите форму следа как матрицу, чья ( i , j ) -запись равна Tr K / Q ( b i b j ). Эта матрица равна B T B , поэтому дискриминант K является определителем этой матрицы.
Примеры
- Поля квадратичных чисел : пусть d - целое число без квадратов , тогда дискриминантэто [2]
- Целое число, которое встречается как дискриминант поля квадратичных чисел, называется фундаментальным дискриминантом . [3]
- Циклотомические поля : пусть n > 2 - целое число, пусть ζ n - примитивный корень n- й степени из единицы , и пусть K n = Q (ζ n ) - n- е круговое поле. Дискриминант K n определяется формулой [2] [4]
- где - функция Эйлера , а произведение в знаменателе - на простые числа p, делящие n .
- Силовые блоки: В случае , когда кольцо целых чисел имеет мощность целочисленный базис , то есть, может быть записано в виде O K = Z [α], дискриминант K равен дискриминант от минимального многочлена от а. Чтобы убедиться в этом, можно выбрать интегральный базис O K следующим образом: b 1 = 1, b 2 = α, b 3 = α 2 , ..., b n = α n −1 . Тогда матрица в определении - это матрица Вандермонда, связанная с α i = σ i (α), квадрат определителя которой равен
- что и есть определение дискриминанта минимального многочлена.
- Пусть K = Q (α) числовое поле, полученное присоединением к корню α многочлена x 3 - x 2 - 2 x - 8. Это оригинальный пример числового поля Ричарда Дедекинда , кольцо целых чисел которого не имеет энергетическая основа. Целочисленный базис равен {1, α, α (α + 1) / 2}, а дискриминант K равен −503. [5] [6]
- Повторяющиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля однозначно идентифицирует его, но в общем случае это неверно для числовых полей более высокой степени . Например, есть два неизоморфных кубических поля дискриминанта 3969. Они получаются присоединением корня многочлена x 3 - 21 x + 28 или x 3 - 21 x - 35 соответственно. [7]
Основные результаты
- Теорема Бриля : [8] знак дискриминанта (-1) г 2 , где R 2 является число комплексных точек из K . [9]
- Штрих р разветвляется в K тогда и только тогда , когда р делит Д К . [10]
- Теорема Штикельбергера : [11]
- Оценка Минковского : [12] Пусть n обозначает степень расширения K / Q, а r 2 - количество комплексных точек K , тогда
- Теорема Минковского : [13] Если K не является Q , то | Δ K | > 1 (это непосредственно следует из оценки Минковского).
- Теорема Эрмита – Минковского : [14] Пусть N - натуральное число. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизмов) полей алгебраических чисел K с | ∆ K | < N . Опять же, это следует из оценки Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует только конечное число полей алгебраических чисел с заданным дискриминантом).
История
Определение дискриминанта общего поля алгебраических чисел, K , было дано Дедекиндом в 1871 году [15]. К этому моменту он уже знал взаимосвязь между дискриминантом и ветвлением. [16]
Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта, доказательство которого было опубликовано Чарльзом Эрмитом в 1857 году. [17] В 1877 году Александр фон Бриль определил знак дискриминанта. [18] Леопольд Кронекер впервые сформулировал теорему Минковского в 1882 году, [19] хотя первое доказательство было дано Германом Минковским в 1891 году. [20] В том же году Минковский опубликовал свою оценку дискриминанта. [21] Ближе к концу девятнадцатого века Людвиг Штикельбергер получил свою теорему о вычете дискриминанта по модулю четыре. [22] [23]
Относительный дискриминант
Дискриминант определено выше , иногда называют как абсолютный дискриминант К , чтобы отличить его от относительного дискриминанта Δ K / L от расширения числового полого K / L , который является идеальным в O L . Относительно дискриминант определяется способом , аналогичного абсолютного дискриминант, но необходимо учитывать , что идеалы в O L не могут быть главными , и что не могут представлять собой O L основы O K . Пусть {σ 1 , ..., σ п } множество вложений К Into C , которые являются тождественно на L . Если b 1 , ..., b n - любой базис K над L , пусть d ( b 1 , ..., b n ) - квадрат определителя матрицы n на n, для которой ( i , j ) - запись - это σ i ( b j ). Затем относительный дискриминант K / L является идеал , порожденный г ( б 1 , ..., б п ) как { Ь 1 , ..., б п } пробегает все целые базы K / L . (т.е. основания с тем свойством , что б я ∈ О К для всех I ) . В качестве альтернативы, относительный дискриминант K / L является нормой из различных по K / L . [24] При L = Q , относительный дискриминант Δ K / Q является главным идеалом Z , порожденный абсолютной дискриминант Δ K . В башне полей K / L / F относительные дискриминанты связаны соотношением
где обозначает относительную норму . [25]
Разветвление
Относительный дискриминант регулирует ветвление данных на дополнительном поле K / L . Простой идеал р из L разветвляется в K , если, и только если, он делит относительный дискриминант Δ K / L . Расширение неразветвлено тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом. [24] Минковский связаны выше показывает , что нет ни одного нетривиальных неразветвленных расширений Q . Поля больше Q могут иметь неразветвленные расширения: например, для любого поля с номером класса больше единицы его поле класса Гильберта является нетривиальным неразветвленным расширением.
Корневой дискриминант
Корень дискриминант из степени п числового поля K определяется по формуле
- [26]
Связь между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не изменяется в неразветвленном расширении.
Асимптотические нижние оценки
Даны неотрицательные рациональные числа ρ и σ , не одновременно 0, и натуральное число n такое, что пара ( r , 2 s ) = ( ρn , σn ) принадлежит Z × 2 Z , пусть α n ( ρ , σ ) - точная нижняя грань rd K, поскольку K пробегает числовые поля степени n с r действительными вложениями и 2 s комплексными вложениями, и пусть α ( ρ , σ ) = liminf n → ∞ α n ( ρ , σ ). потом
- ,
а из обобщенной гипотезы Римана следует более сильная оценка
- [27]
Существует также нижняя граница, которая выполняется во всех степенях, а не только асимптотически: для полностью вещественных полей корневой дискриминант> 14, за 1229 исключениями. [28]
Асимптотические оценки сверху
С другой стороны, существование бесконечной башни полей классов может дать оценки сверху значений α ( ρ , σ ). Например, башня бесконечных полей классов над Q ( √ - m ) с m = 3 · 5 · 7 · 11 · 19 дает поля сколь угодно большой степени с корневым дискриминантом 2 √ m ≈ 296.276, [27] так что α (0, 1) <296,276. Используя аккуратно разветвленные башни, Хаджир и Мэр показали, что α (1,0) <954,3 и α (0,1) <82,2, [26] улучшая предыдущие оценки Мартине. [27] [29]
Отношение к другим величинам
- При встраивании в , объем фундаментальной области O K равен(иногда используется другая мера и получается объем, где r 2 - количество сложных мест K ).
- Из-за своего появления в этом томе дискриминант также фигурирует в функциональном уравнении дзета-функции Дедекинда для K и, следовательно, в формуле аналитического числа классов и теореме Брауэра – Зигеля .
- Относительно дискриминант K / L является артинами проводником из регулярного представления в группе Галуа из K / L . Это обеспечивает связь с проводниками Артина характеров группы Галуа K / L , называемую формулой проводника-дискриминанта . [30]
Заметки
- ^ Коэн, Диас и Диас и Оливье 2002
- ^ а б Манин Ю. I .; Панчишкин А.А. (2007), Введение в современную теорию чисел , Энциклопедия математических наук, 49 (Второе изд.), С. 130, ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396 , Zbl 1079.11002
- ^ Определение 5.1.2 Коэна 1993
- ↑ Предложение 2.7 Вашингтона 1997 г.
- Перейти ↑ Dedekind 1878 , pp. 30–31
- ^ Narkiewicz 2004 , стр. 64
- ^ Коэн 1993 , теорема 6.4.6
- Перейти ↑ Koch 1997 , p. 11
- ↑ Лемма 2.2 Вашингтона 1997 г.
- ^ Следствие III.2.12 из Neukirch 1999
- ^ Упражнение I.2.7 из Neukirch 1999
- ^ Предложение III.2.14 Нойкирх 1999
- ^ Теорема III.2.17 Нойкирх 1999
- ^ Теорема III.2.16 Нойкирх 1999
- ^ a b Приложение X Дедекинда ко второму изданию « Vorlesungen über Zahlentheorie» Питера Густава Лежена Дирихле ( Dedekind 1871 )
- ^ Бурбаки 1994
- ^ Эрмит 1857 .
- ^ Брилл 1877 .
- ^ Кронекер 1882 .
- ^ Минковский 1891a .
- ^ Минковский 1891b .
- ^ Stickelberger 1897 .
- ↑ Все факты в этом абзаце можно найти в Narkiewicz 2004 , pp. 59, 81.
- ^ a b Нойкирх 1999 , §III.2
- ^ Следствие III.2.10 из Neukirch 1999 или предложение III.2.15 из Фрёлихом & Taylor 1993
- ^ а б Хаджир, Фаршид; Мэр, Кристиан (2002). «Прирученные разветвленные башни и дискриминантные границы для числовых полей. II» . J. Symbolic Comput. 33 : 415–423. DOI : 10,1023 / A: 1017537415688 .
- ^ a b c Koch 1997 , стр. 181–182
- ^ Войт 2008
- ^ Мартине, Жак (1978). "Корпоративные классы и оценки дискриминантов". Inventiones Mathematicae (на французском языке). 44 : 65–73. Bibcode : 1978InMat..44 ... 65M . DOI : 10.1007 / bf01389902 . Zbl 0369.12007 .
- ^ Раздел 4.4 Серра 1967
Рекомендации
Основные источники
- Brill, Александр фон (1877 г.), "Ueber умирают Discriminante" , Mathematische Annalen , 12 (1): 87-89, DOI : 10.1007 / BF01442468 , СУЛ 09.0059.02 , МР 1509928 , извлекаются 2009-08-22
- Дедекинд, Ричард (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2-е изд.), Vieweg , получено 5 августа 2009 г.
- Дедекиндово, Ричард (1878), "Über ден Zusammenhang Zwischen дер Теорье дер Ideale унд дер Теорье дер höheren Congruenzen" , Abhandlungen дер Königlichen Gesellschaft дер Wissenschaften цу Гёттинген , 23 (1) , извлекаются 2009-08-20
- Эрмит, Чарльз (1857 г.), «Extrait d'une lettre de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers entiers complex d'un degré et d'un discriminant donnés» , Журнал Crelle в , 1857 (53): 182-192, DOI : 10,1515 / crll.1857.53.182 , извлекаются 2009-08-20
- Кронекера, Leopold (1882), "Grundzüge етег arithmetischen Теорье дер algebraischen Größen" , журнал Crelle в , 92 : 1-122, JFM 14.0038.02 , извлекаться 2009-08-20
- Минковский Герман (1891a), "Ueber умереть positiven quadratischen Formen унд über kettenbruchähnliche Algorithmen" , журнал Crelle в , 1891 (107): 278-297, DOI : 10,1515 / crll.1891.107.278 , JFM 23.0212.01 , извлекаться 2009-08 -20
- Минковский, Hermann (1891b), "Théorèmes d'arithmétiques", Comptes Rendus де l'Академии наук , 112 : 209-212, JFM 23.0214.01
- Штикельбергером, Людвиг (1897), "Über Neue Eigenschaft сделайте дер Diskriminanten algebraischer Zahlkörper", Труды Первого Международного конгресса математиков, Zürich , стр. 182-193, JFM 29.0172.03
Вторичные источники
- Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрам, Джон. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. Руководство по ремонту 1290116 .
- Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Тексты для выпускников по математике, 138 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, Руководство по ремонту 1228206
- Коэн, Анри ; Диас-и-Диас, Франсиско; Оливье, Мишель (2002), «Обзор дискриминантного подсчета», в Фикере, Клаус; Коэль, Дэвид Р. (ред.), Алгоритмическая теория чисел, Труды, 5-й Международный симпозиум, ANTS-V, Сиднейский университет, июль 2002 г. , Лекционные заметки по компьютерным наукам, 2369 , Берлин: Springer-Verlag, стр. 80–94 , DOI : 10.1007 / 3-540-45455-1_7 , ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN 0302-9743 , MR 2041075
- Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования в области высшей математики, 27 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, Руководство по ремонту 1215934
- Кох, Гельмут (1997), Алгебраическая теория чисел , Энцикл. Математика. Sci., 62 (2-е издание 1-го изд.), Springer-Verlag , ISBN 3-540-63003-1, Zbl 0819,11044
- Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел , Монографии Springer по математике (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, Руководство по ремонту 2078267
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Серр, Жан-Пьер (1967), "Локальная теория поля классов", в Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел, Труды учебной конференции в Университете Сассекса, Брайтон, 1965 , Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701
- Войт, Джон (2008), «Перечисление вполне вещественных числовых полей ограниченной корневой дискриминанта», в ван - дер - Poorten, Alfred J. ; Штейн, Андреас (ред.), Алгоритмическая теория чисел. Proceedings, 8-й международный симпозиум, ANTS-VIII, Банф, Канада, май 2008 г. , Lecture Notes in Computer Science, 5011 , Berlin: Springer-Verlag, pp. 268–281, arXiv : 0802.0194 , doi : 10.1007 / 978-3-540 -79456-1_18 , ISBN 978-3-540-79455-4, Руководство по ремонту 2467853 , Zbl 1205.11125
- Вашингтон, Лоуренс (1997), Введение в циклотомические поля , Тексты для выпускников по математике, 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, Руководство по ремонту 1421575 , Zbl 0966.11047
дальнейшее чтение
- Милн, Джеймс С. (1998), алгебраическая теория чисел , получено 20 августа 2008 г.