В четырехмерной геометрии , A 16-клеток является правильным выпуклым 4-многогранник . Это один из шести правильных выпуклых 4-многогранников, впервые описанных швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. Его также называют С 16 , hexadecachoron , [1] или hexdecahedroid . [2]
Обычный гексадекахорон (16-клеточный) (4-ортоплекс) | |
---|---|
Тип | Выпуклый правильный 4-многогранник 4- ортоплекс 4- полукуб |
Символ Шлефли | {3,3,4} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | 16 {3,3} |
Лица | 32 {3} |
Края | 24 |
Вершины | 8 |
Фигура вершины | Октаэдр |
Многоугольник Петри | восьмиугольник |
Группа Кокстера | B 4 , [3,3,4], заказ 384 D 4 , заказ 192 |
Двойной | Тессеракт |
Характеристики | выпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный , квазирегулярный |
Единый индекс | 12 |
Он является частью бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-политопами или ортоплексами , и аналогичен октаэдру в трех измерениях. Это Кокстерамногогранник. [3] Конвей назвал кросс-многогранник « ортоплексом» , что означает « ортантный комплекс» . Двойной многогранник является тессерактом (4 куб ), который может быть объединен с , чтобы сформировать составную фигуру . У 16-ячеек есть 16 ячеек, так как у тессеракта 16 вершин.
Геометрия
Он ограничен 16 ячейками , все из которых являются правильными тетраэдрами . У него 32 треугольных грани , 24 ребра и 8 вершин . 24 ребра ограничивают 6 квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях.
Восемь вершин 16-ячейки: (± 1, 0, 0, 0), (0, ± 1, 0, 0), (0, 0, ± 1, 0), (0, 0, 0, ± 1). Все вершины соединены ребрами, кроме противоположных пар.
Символ Шлефли для 16 клеток - {3,3,4}. Его вершина - правильный октаэдр . В каждой вершине пересекаются 8 тетраэдров, 12 треугольников и 6 ребер. Его крайняя фигура - квадрат. На каждом ребре пересекаются 4 тетраэдра и 4 треугольника.
16-ячейка может быть разложена на две одинаковые непересекающиеся круговые цепочки по восемь тетраэдров в каждой, с четырьмя ребрами в длину. Каждая цепь в прямом растяжении образует спираль Бурдейка – Кокстера . Это разложение можно увидеть в конструкции из 4-4 дуоантипризмы из 16 клеток : или же , Символ Шлефли {2} ⨂ {2} или s {2} s {2}, симметрия 4,2 + , 4, порядок 64.
16-клетки можно разрезать на две октаэдрические пирамиды , которые разделяют новую октаэдр базу через центр 16-клеток.
Как конфигурация
Эта матрица конфигурации представляет собой 16 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 16 ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.
Изображений
Стереографическая проекция | Трехмерная проекция 16-ячеечной клетки, выполняющей простое вращение . Оригинальная трехмерная проекция 16-ти сот. |
У 16-ячеек есть две конструкции Wythoff , регулярная форма и чередующаяся форма, показанные здесь как сети , причем вторая представлена попеременно двумя цветами тетраэдрических ячеек. |
Ортогональные проекции
Самолет Кокстера | В 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [8] | [6] | [4] |
Самолет Кокстера | П 4 | А 3 | |
График | |||
Двугранная симметрия | [12/3] | [4] |
Мозаики
Можно разбить 4-мерное евклидово пространство правильными 16 ячейками. Это называется сотовой структурой с 16 ячейками и имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Следовательно, 16-элементная ячейка имеет двугранный угол 120 °. [4] Каждая 16-ячейка имеет 16 соседей, с которыми она имеет общий тетраэдр, 24 соседа, с которыми она имеет только одно ребро, и 72 соседа, с которыми она имеет общую только одну точку. Двадцать четыре 16-ячейки пересекаются в любой заданной вершине этой мозаики.
Двойная мозаика, 24- ячеечные соты , {3,4,3,3}, состоят из обычных 24-ячеек . Вместе с tesseractic сотами {4,3,3,4} только эти три регулярные мозаики из R 4 .
Спираль Бурдейка – Кокстера
16-клетки могут быть сконструированы из двух Boerdijk-кокстеровских спиралей из восьми тетраэдров, цепи , каждых сложить в 4-мерное кольцо. 16 треугольных граней можно увидеть в двумерной сети внутри треугольной мозаики с 6 треугольниками вокруг каждой вершины. Пурпурные края представляют собой многоугольник Петри из 16 ячеек.
Прогнозы
Параллельная проекция ячейки первая ячейка в 3-пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшие и самые дальние ячейки проецируются на вписанные тетраэдры внутри куба, что соответствует двум возможным способам вписать правильный тетраэдр в куб. Каждый из этих тетраэдров окружают 4 других (нерегулярных) тетраэдрических объема, которые являются изображениями 4 окружающих тетраэдрических ячеек, заполняя пространство между вписанным тетраэдром и кубом. Остальные 6 ячеек проецируются на квадратные грани куба. В этой проекции 16-ячейки все ее края лежат на гранях кубической оболочки.
Перспективная проекция 16-ячеек в трехмерное пространство по направлению к ячейке имеет тетраэдрическую оболочку триакиса . Расположение ячеек внутри этого конверта аналогично расположению параллельной проекции ячейка-первая.
Параллельная проекция 16-ячеек в 3-пространство с первой вершиной имеет октаэдрическую огибающую . Этот октаэдр можно разделить на 8 тетраэдрических объемов, разрезая его по координатным плоскостям. Каждый из этих объемов представляет собой изображение пары ячеек в 16 ячейке. Ближайшая к зрителю вершина 16-ячейки проецируется на центр октаэдра.
Наконец, параллельная проекция, обращенная сначала ребром, имеет укороченную октаэдрическую огибающую, а параллельная проекция, обращенная сначала лицом, имеет шестиугольную бипирамидальную оболочку.
4-сферная диаграмма Венна
Трехмерная проекция 16-клеточной и 4-х пересекающихся сфер ( диаграмма Венна из 4-х множеств) топологически эквивалентны.
|
Построения симметрии
Существует форма с более низкой симметрией 16-ячеек , называемая демитессеракт или 4-полукуб , член семейства полугиперкубов , представленная диаграммами h {4,3,3} и Кокстера. или же . Его можно нарисовать двухцветным с чередованием четырехгранных ячеек.
Его также можно увидеть в форме более низкой симметрии как тетраэдрическую антипризму , построенную из 2 параллельных тетраэдров в двойных конфигурациях, соединенных 8 (возможно, удлиненными) тетраэдрами. Он представлен s {2,4,3} и диаграммой Кокстера:.
Его также можно рассматривать как курносый 4- ортотоп , представленный s {2 1,1,1 } и диаграммой Кокстера: или же .
С тессерактом, построенным в виде 4-4 дуопризмы , 16 клеток можно рассматривать как двойную, 4-4 дуопирамиду .
Имя | Диаграмма Кокстера | Символ Шлефли | Обозначение Кокстера | Заказ | Фигура вершины |
---|---|---|---|---|---|
Обычная 16-ячеечная | {3,3,4} | [3,3,4] | 384 | ||
Demitesseract Quasiregular 16-элементный | знак равно знак равно | ч {4,3,3} {3,3 1,1 } | [3 1,1,1 ] = [1 + , 4,3,3] | 192 | |
Чередование 4-4 дуопризмы | 2 с {4,2,4} | [[4,2 + , 4]] | 64 | ||
Тетраэдрическая антипризма | с {2,4,3} | [ 2+ , 4,3] | 48 | ||
Переменная квадратная призма | ср {2,2,4} | [(2,2) + , 4] | 16 | ||
Курносый 4- ортотоп | знак равно | с {2 1,1,1 } | [2,2,2] + = [2 1,1,1 ] + | 8 | |
4- фузил | |||||
{3,3,4} | [3,3,4] | 384 | |||
{4} + {4} или 2 {4} | [[4,2,4]] = [8,2 + , 8] | 128 | |||
{3,4} + {} | [4,3,2] | 96 | |||
{4} +2 {} | [4,2,2] | 32 | |||
{} + {} + {} + {} или 4 {} | [2,2,2] | 16 |
Связанные сложные полигоны
Полигон Мёбиусово-Кантор является регулярный комплекс многоугольника 3 {3} 3 ,, в имеет те же вершины, что и 16-ячейка. У него 8 вершин и 8 3-ребер. [5] [6]
Правильный комплексный многоугольник 2 {4} 4 ,, в имеет реальное представление как 16-ячейка в 4-мерном пространстве с 8 вершинами, 16 2-ребрами, только половиной ребер 16-ячейки. Его симметрия 4 [4] 2 , порядок 32. [7]
В плоскости Кокстера B 4 , 2 {4} 4 имеет 8 вершин и 16 2-ребер, показанных здесь с 4 наборами цветов. | 8 вершин сгруппированы в 2 набора (показаны красным и синим), каждый из которых связан только ребрами с вершинами в другом наборе, что делает этот многоугольник полным двудольным графом , K 4,4 . [8] |
Связанные однородные многогранники и соты
Правильная 16-ячейка вместе с тессерактом существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией . Он также является частью однородных многогранников симметрии D 4 .
Этот 4-многогранник также связан с кубическими сотами , порядка 4 двенадцатигранных сот , и порядок-4 гексагональные плиточных сотам которые все имеют фигуры октаэдрических вершин .
Он находится в последовательности трех правильных 4-многогранников : 5-клеточного {3,3,3}, 600-клеточного {3,3,5} евклидова 4-мерного пространства и тетраэдрической соты порядка 6 {3, 3,6} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрические ячейки.
Он является первым в последовательности квазирегулярных многогранников и сот h {4, p, q} и последовательности полусимметрии для регулярных форм {p, 3,4}.
Смотрите также
- 24-элементный
- 4-многогранник
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный полихорон | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб. | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |
Рекомендации
- ^ NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр. 249
- ^ Матила Гика, Геометрия Искусство и жизнь (1977), с.68
- Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 121, §7.21. см иллюстрации рис 7.2 B .
- Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 293.
- ^ Коксетер Шеппард, 1991, с.30 и с.47
- ^ Коксетер Шеппард, 1992
- ^ Правильные комплексные многогранники, стр. 108
- ^ Правильные комплексные многогранники, стр.114
- Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
- HSM Coxeter :
- Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Hemicubes: 1 n1 )
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «16 ячеек» . MathWorld .
- Der 16-Zeller (16-клеточные) Регулярные многогранники Марко Мёллера в R 4 (немецкий)
- Описание и схемы 16-ячеечной проекции
- Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры) x3o3o4o - hex» .