В математической области теории представлений , вес из алгебры A над полем F является гомоморфизмом алгебры от А до F , или , что эквивалентно, в одномерном представлении от А над F . Это алгебра аналог мультипликативного характера в виде группы . Важность этой концепции, однако, проистекает из ее применения к представлениям о алгебрах Ли и , следовательно , также представления оалгебраические группы и группы Ли . В этом контексте вес представления является обобщением понятия собственного значения , а соответствующее собственное подпространство называется весовым пространством .
Мотивация и общая концепция
Учитывая набор S из матриц над одной и той же области, каждая из которых является диагонализируемы , и любые два из которых коммутируют , то всегда можно одновременно диагонализовать все элементы S . [примечание 1] Эквивалентно, для любого множества S взаимно коммутирующих полупростых линейных преобразований конечномерного векторного пространства V существует базис V, состоящий изодновременные собственные векторы всех элементов S . Каждый из этих общих собственных векторов v ∈ V определяет линейный функционал на подалгебре U в End ( V ), порожденный множеством эндоморфизмов S ; этот функционал определяется как отображение, которое сопоставляет каждому элементу U его собственное значение на собственном векторе v . Эта карта также является мультипликативной и отправляет идентичность в 1; таким образом, это гомоморфизм алгебры из U в базовое поле. Это «обобщенное собственное значение» является прототипом понятия веса.
Понятие тесно связано с идеей мультипликативный характер в теории групп , которая является гомоморфизмом χ из группы G в мультипликативную группу из в поле F . Таким образом, для χ : G → F × выполнено χ ( e ) = 1 (где e - единица группы G ) и
- для всех г , ч в G .
Действительно, если G действует в векторном пространстве V над F , каждое одновременное собственное подпространство для каждого элемента G , если таковое существует, определяет мультипликативный характер на G : собственное значение на этом общем собственном подпространстве каждого элемента группы.
Понятие мультипликативный характер может быть распространен на любой алгебры A над F , заменив χ : G → F × с помощью линейного отображения х : A → F с:
для всех а , б , в A . Если алгебра A действует в векторном пространстве V над F для любого одновременного собственного подпространства, это соответствует гомоморфизму алгебры из A в F, присваивающему каждому элементу A его собственное значение.
Если A - алгебра Ли (которая, как правило, не является ассоциативной алгеброй), то вместо требования мультипликативности характера требуется, чтобы она отображала любую скобку Ли в соответствующий коммутатор ; но поскольку F коммутативно, это просто означает, что это отображение должно обращаться в нуль на скобках Ли: χ ([a, b]) = 0. Вес на алгебру Ли д над полем F является линейным отображением λ: г → Р с λ ([ х , у ]) = 0 для всех х , у в г . Любой вес на алгебре Ли g равен нулю на производной алгебре [ g , g ] и, следовательно, спускается до веса на абелевой алгебре Ли g / [ g , g ]. Таким образом, веса в первую очередь представляют интерес для абелевых алгебр Ли, где они сводятся к простому понятию обобщенного собственного значения для пространства коммутирующих линейных преобразований.
Если G является группой Ли или алгебраическая группа , то мультипликативный характер θ: G → F × индуцирует вес х = dθ: г → F на ее алгебре Ли путем дифференцирования. (Для групп Ли это дифференцирование на единичном элементе группы G , а случай алгебраической группы - это абстракция, использующая понятие дифференцирования.)
Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли
Позволять комплексная полупростая алгебра Ли и подалгебра Картана в . В этом разделе мы описываем концепции, необходимые для формулировки «теоремы о старшем весе», классифицирующей конечномерные представления. В частности, мы объясним понятие «доминирующий интегральный элемент». Сами представления описаны в статье по ссылке выше.
Вес представительства
Пусть V - представление алгебры Линад C и пусть λ - линейный функционал на. Тогдавес пространства изVс весом Х является подпространством дано
- .
Вес представления V представляет собой линейный функционал λ такой , что соответствующий вес пространства не равен нулю. Ненулевые элементы весового пространства называются весовыми векторами . Другими словами, весовой вектор является одновременным собственным вектором действия элементов, с соответствующими собственными значениями, заданными λ.
Если V - прямая сумма своих весовых пространств
тогда это называется весовой модуль ; это соответствуетналичиюобщего собственногобазиса(базиса одновременных собственных векторов) для всех представленных элементов алгебры, то есть того, что они являются одновременно диагонализуемыми матрицами (см.диагонализуемую матрицу).
Если G группа с алгеброй Ли, всякое конечномерное представление группы G индуцирует представление. Тогда вес представления группы G является просто весом ассоциированного представления группы. Существует тонкое различие между весами представлений групп и представлений алгебры Ли, которое состоит в том, что в этих двух случаях существует различное понятие условия целостности; см. ниже. (Условие целочисленности является более строгим в случае группы, отражая, что не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы.)
Действие корневых векторов
Если V является присоединенным представлением о, ненулевые веса V называются корнями , весовые пространства называются корневыми пространствами, а весовые векторы называются корневыми векторами. Явно линейный функционал на называется корнем, если и существует ненулевое в такой, что
для всех в . Сбор корней образует корневую систему .
С точки зрения теории представлений, значение корней и корневых векторов является следующим элементарным, но важным результатом: если V является представлением, v - весовой вектор с весома X - корневой вектор с корнем, тогда
для всех H в. Это, является либо нулевым вектором, либо вектором весов с весом . Таким образом, действие отображает весовое пространство с весом в весовое пространство с грузом .
Составной элемент
Позволять быть действительным подпространством порожденный корнями . Для вычислений удобно выбрать скалярное произведение, инвариантное относительно группы Вейля, то есть относительно отражений о гиперплоскостях, ортогональных корням. Затем мы можем использовать этот внутренний продукт для идентификации с подпространством из . При этом отождествлении кокорень связан с корнем дается как
- .
Теперь определим два разных понятия целостности для элементов . Мотивация для этих определений проста: веса конечномерных представленийудовлетворяют первому условию целочисленности, а если G - группа с алгеброй Ли, веса конечномерных представлений группы G удовлетворяют второму условию целочисленности.
Элемент является алгебраически интеграл , если
для всех корней . Мотивация для этого условия заключается в том, что кореньможно отождествить с элементом H в стандартномбазис sl (2, C ) -подалгебры алгебры g . [1] По элементарным результатам для sl (2, C ) собственные значенияв любом конечномерном представлении должно быть целым числом. Мы заключаем, что, как указано выше, вес любого конечномерного представленияалгебраически целое. [2]
В фундаментальных весах определяются тем свойством, что они составляют основу двойственный множеству коронок, связанных с простыми корнями . То есть фундаментальные веса определяются условием
где простые корни. Элементтогда является алгебраически целым тогда и только тогда, когда это целая комбинация фундаментальных весов. [3] Множество всего-интегральные веса представляет собой решетку вназывается решеткой весов для, обозначаемый .
На рисунке показан пример алгебры Ли sl (3, C), корневой системой которой является корневая система. Есть два простых корня, а также . Первый фундаментальный вес,, должен быть ортогонален и должен выступать перпендикулярно половине , и аналогично для . Решетка весов тогда является треугольной решеткой.
Предположим теперь, что алгебра Ли алгебра Ли группы Ли G . Тогда мы говорим, чтоявляется аналитически целым ( G-интегральным ), если для каждого t в такой, что у нас есть . Причина для этого определения заключается в том, что если представлениевозникает из представления группы G , то веса представления будут G -интегральными. [4] Для G полупростого, множество всех G -интегральных весов является подрешетка Р ( G ) ⊂ P (). Если G является односвязной , то Р ( О ) = P (). Если G не односвязна, то решетка P ( G ) меньше P () И их отношение изоморфно фундаментальной группе из G . [5]
Частичное упорядочение в пространстве весов
Теперь мы введем частичный порядок на множестве весов, который будет использован для формулировки теоремы о старшем весе, описывающей представления g . Напомним, что R - множество корней; мы сейчас исправляем набориз положительных корней .
Рассмотрим два элемента а также из . Нас в основном интересует случай, когда а также являются интегральными, но это предположение не обязательно для определения, которое мы собираемся ввести. Затем мы говорим, чтоэто выше , чем, который мы запишем как , если выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами. [6] Это означает, грубо говоря, что «выше» означает в направлении положительных корней. Мы эквивалентно говорим, что "ниже" чем , который мы запишем как .
Это только частичный заказ; это может легко случиться, что не выше и не ниже чем .
Доминирующий вес
Целый элемент λ является доминирующим, еслидля каждого положительного корня γ . Эквивалентно, λ является доминирующей, если это неотрицательная целочисленная комбинация основных весов. вВ этом случае доминирующие интегральные элементы живут в секторе с 60 градусами. Идея доминирования - это не то же самое, что быть выше нуля.
Множество всех λ (не обязательно целых) таких, что называется фундаментальной камерой Вейля, связанной с данным набором положительных корней.
Теорема старшего веса
Вес представительства из называется старшим весом, если любой другой вес ниже чем .
Теория классификации конечномерных неприводимых представлений оосуществляется посредством «теоремы о наивысшем весе». Теорема гласит, что [7]
- (1) каждое неприводимое (конечномерное) представление имеет старший вес,
- (2) старший вес всегда является доминантным, алгебраически целостным элементом,
- (3) два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны, и
- (4) каждый доминирующий алгебраически целостный элемент является старшим весом неприводимого представления.
Последний пункт самый сложный; представления могут быть построены с использованием модулей Верма .
Модуль наибольшего веса
Представление (не обязательно конечномерное) V изназывается модулем старшего веса, если он порождается весовым вектором v ∈ V, который аннулируется действием всех положительных корневых пространств в. Каждый неприводимый-модуль со старшим весом обязательно является модулем старшего веса, но в бесконечномерном случае модуль старшего веса не обязательно должен быть неприводимым. Для каждого- не обязательно доминантный или целочисленный - существует единственный (с точностью до изоморфизма) простой старший вес-модуль со старшим весом λ, который обозначается L (λ), но этот модуль бесконечномерен, если λ не является доминантным целым. Можно показать , что каждый старший вес модуля со старшим весом А , является частное от модуля Верма M (X). Это просто подтверждение свойства универсальности в определении модуля Верма.
Всякий конечномерный модуль старшего веса неприводим. [8]
Смотрите также
- Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
- Теория представлений связной компактной группы Ли
- Высшая весовая категория
- Корневая система
Заметки
- ^ Фактически, учитывая набор коммутирующих матриц над алгебраически замкнутым полем, они одновременно являются треугольными , без необходимости предполагать, что они диагонализуемы.
Рекомендации
- ^ Холл 2015 Теорема 7.19 и уравнение. (7.9)
- ^ Зал 2015 Предложение 9.2
- ^ Hall 2015 Предложение 8,36
- ^ Зал 2015 Предложение 12.5
- ^ Холл 2015 Следствие 13.8 и следствие 13.20
- ^ Холл 2015 Определение 8,39
- ^ Холл 2015 Теоремы 9.4 и 9.5
- ^ Это следует из (доказательства) предложения 6.13 в Холле 2015 вместе с общим результатом о полной приводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 ..
- Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7.
- Хамфрис, Джеймс Э. (1972b), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, 21 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
- Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения (2-е изд.), Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4259-4.