Разрешимая алгебра Ли

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Точечная симметрия Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , А алгебра Ли является разрешимой , если ее производным ряд оканчивается в нулевой подалгебре. Производная алгебра Ли алгебры Ли является подалгеброй алгебры Ли , обозначаемой${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$

который состоит из всех линейных комбинаций скобок Ли пар элементов . Производный ряд - это последовательность подалгебр${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Если производный ряд в конце концов приходит к нулевой подалгебре, то алгебра Ли называется разрешимой. ^[1] Производный ряд для алгебр Ли аналогичен производному ряду для коммутаторных подгрупп в теории групп , а разрешимые алгебры Ли являются аналогами разрешимых групп .

Любая нильпотентная алгебра Ли является подавно разрешима , но обратное не верно. Как показывает разложение Леви, разрешимые алгебры Ли и полупростые алгебры Ли образуют два больших и, как правило, дополнительных класса . Разрешаемые алгебры Ли - это в точности те, которые могут быть получены из полупрямых произведений , начиная с 0 и добавляя по одному измерению за раз. ^[2]

Максимальная разрешимая подалгебра называется борелевской подалгеброй . Наибольший разрешимый идеал алгебры Ли называется радикалом .

Характеристики [ править ]

Пусть - конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0 . Следующие варианты эквивалентны.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• (i) разрешима.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (II) , то присоединенное представление о , разрешимо.${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (III) Существует конечная последовательность идеалов из :${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• (iv) нильпотентен. ^[3]${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• (v) Для -мерном, существует конечная последовательность подалгебр из :${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

с каждым идеалом . ^[4] Последовательность этого типа называется элементарной последовательностью .${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

• (vi) Существует конечная последовательность подалгебр в ,${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

такое, что является идеалом в и является абелевым. ^[5]${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$

• (VII) Killing форма из удовлетворяет для всех X в и Y в . ^[6] Это критерий Картана разрешимости .${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B(X,Y)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

Свойства [ править ]

Теорема Ли утверждает , что , если это конечно-мерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль , и это разрешимая алгебра Ли, и если это представление о более , то существует одновременно собственный вектор эндоморфизмов для всех элементов . ^[7]${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi (X)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

• Всякая подалгебра Ли и фактор разрешимой алгебры Ли разрешимы. ^[8]
• Учитывая алгебру Ли и идеал в ней,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$разрешимо тогда и только тогда, когда оба и разрешимы. ^{[8] [2]}${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

Аналогичное утверждение верно для нильпотентных алгебр Ли, если они содержатся в центре. Таким образом, расширение разрешимой алгебры с помощью разрешимой алгебры разрешимо, а центральное расширение нильпотентной алгебры с помощью нильпотентной алгебры нильпотентно.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• У разрешимой ненулевой алгебры Ли есть ненулевой абелев идеал, последний ненулевой член производного ряда. ^[2]
• Если идеалы разрешимы, значит, так и есть . ^[1] Следовательно, если оно конечномерно, то существует единственный разрешимый идеал, содержащий все разрешимые идеалы в . Этот идеал является радикалом из . ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• У разрешимой алгебры Ли есть единственный наибольший нильпотентный идеал , множество всех таких, которые являются нильпотентными. Если D является производным от , то . ^[9]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$

Полностью разрешимые алгебры Ли [ править ]

Алгебра Ли называется полностью разрешимой или расщепляемой, если она имеет элементарную последовательность идеалов {(V) согласно определению выше} в от до . Конечномерная нильпотентная алгебра Ли вполне разрешима, а вполне разрешимая алгебра Ли разрешима. Над алгебраически замкнутым полем разрешимая алгебра Ли вполне разрешима, но -мерная вещественная алгебра Ли группы евклидовых изометрий плоскости разрешима, но не разрешима полностью.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 3}$

Разрешаемая алгебра Ли расщепима тогда и только тогда, когда собственные значения входят в все в . ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры [ править ]

Абелевы алгебры Ли [ править ]

Всякая абелева алгебра Ли разрешима по определению, поскольку ее коммутатор . Сюда входит алгебра Ли диагональных матриц в , которые имеют вид${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

для . Другой пример - структура алгебры Ли на векторном пространстве, заданная тривиальной скобкой для любых двух матриц .${\displaystyle n=3}$${\displaystyle V}$${\displaystyle [m,n]=0}$${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$

Нильпотентные алгебры Ли [ править ]

Другой класс примеров исходит из нильпотентных алгебр Ли, поскольку присоединенное представление разрешимо. Некоторые примеры включают верхнодиагональные матрицы, такие как класс матриц вида

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

называется алгеброй Ли строго верхнетреугольных матриц . Кроме того, алгебра Ли верхних диагональных матриц по форме является разрешимой алгеброй Ли. Сюда входят матрицы вида${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

и обозначается .${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$

Решаемо, но не разрешимо [ править ]

Пусть - множество матриц вида${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

Тогда разрешимо, но нельзя разделить. ^[2] Она изоморфна алгебре Ли группы сдвигов и поворотов на плоскости.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Не пример [ править ]

Полупростая алгебра Ли никогда не разрешима , так как его радикал , который является самым крупным разрешимым идеалом в тривиальна. ^{[1] стр. 11}${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$

Разрешаемые группы Ли [ править ]

Поскольку термин «разрешимая» также используется для разрешимых групп в теории групп , существует несколько возможных определений разрешимой группы Ли . Для группы Ли существует${\displaystyle G}$

• завершение обычного производного ряда группы (как абстрактной группы);${\displaystyle G}$
• прекращение закрытия производной серии;
• имеющий разрешимую алгебру Ли

См. Также [ править ]

• Критерий Картана
• Форма убийства
• Теорема Ли-Колчина
• Сольвмногообразие
• Отображение Диксмье

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Статья EoM Алгебра Ли, разрешимая
• Статья EoM Группа Ли, разрешимая

Ссылки [ править ]

• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. Руководство по ремонту  1153249 .
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для выпускников по математике. 9 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Успехи в математике. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
• Жан-Пьер Серр: Комплексные полупростые алгебры Ли, Springer, Берлин, 2001. ISBN 3-5406-7827-1