История теории топосов

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Август 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В этой статье дается очень общее представление о математической идее топоса . Это аспект теории категорий , имеющий репутацию непонятного. Уровень абстракции не может быть снижен за пределы определенной точки; но, с другой стороны, можно дать контекст. Отчасти это связано с историческим развитием, но также до некоторой степени с объяснением различного отношения к теории категорий. ^{[ необходима цитата ]}

В школе Гротендика [ править ]

Во второй половине 1950-х годов основы алгебраической геометрии переписывались; и именно здесь следует искать истоки концепции топоса . В то время гипотезы Вейля были выдающимся стимулом для исследований. Как мы теперь знаем, путь к их доказательству и другим достижениям лежал в построении этальных когомологий .

Оглядываясь назад, можно сказать, что алгебраическая геометрия долгое время боролась с двумя проблемами. Первая была связана с ее точками : еще во времена проективной геометрии было ясно, что отсутствие `` достаточного количества '' точек на алгебраическом многообразии было препятствием к созданию хорошей геометрической теории (в которой оно было чем-то вроде компактного многообразия). ). Была также трудность, которая стала очевидной, как только топология сформировалась в первой половине двадцатого века, что топология алгебраических многообразий имеет «слишком мало» открытых множеств.

К 1950 г. вопрос о баллах был близок к разрешению; Александр Гротендик предпринял радикальный шаг ( применив лемму Йонеды ), избавившись от него - естественно, ценой того, что каждое разнообразие или более общая схема должна стать функтором . Однако добавить открытые наборы не удалось . Путь вперед был другим.

Определение топоса впервые появилось несколько косвенно, примерно в 1960 году. Были рассмотрены общие проблемы так называемого « спуска » в алгебраической геометрии в тот же период, когда фундаментальная группа была обобщена для случая алгебраической геометрии (как про-конечная группа ). В свете более поздних работ (ок. 1970 г.) «происхождение» является частью теории комонад ; здесь мы можем увидеть один способ, которым школа Гротендика в своем подходе отделяется от теоретиков «чистых» категорий, - тема, которая важна для понимания того, как позже трактовалась концепция топоса.

Возможно, существовал более прямой путь: понятие абелевой категории было введено Гротендиком в его основополагающей работе по гомологической алгебре для унификации категорий пучков абелевых групп и модулей . Предполагается, что абелева категория замкнута при определенных теоретико-категориальных операциях - используя такое определение, можно полностью сосредоточиться на структуре, ничего не говоря о природе задействованных объектов. Этот тип определения можно проследить одной строкой до концепции решетки 1930-х годов. Это было возможно задать вопрос, вокруг 1957, для чисто категории теоретико-характеризации категорий пучков из множеств, случай пучков абелевых групп был включен в работу Гротендика ( статья Тохоку ).

Такое определение топоса в конечном итоге было дано пятью годами позже, примерно в 1962 году, Гротендиком и Вердье (см. Семинар Вердье Николя Бурбаки Analysis Situs ). Характеристика была произведена с помощью категорий «с достаточным количеством копределов » и применена к тому, что сейчас называется топосом Гротендика . Теория была завершена установлением, что топос Гротендика был категорией пучков, где теперь слово пучок приобрело расширенное значение, поскольку оно включает топологию Гротендика .

Идея топологии Гротендика (также известной как сайт ) была охарактеризована Джоном Тейтом как смелая игра слов на двух смыслах римановой поверхности . ^{[ необходима цитата ] С} технической точки зрения это позволило построить востребованные этальные когомологии (а также другие усовершенствованные теории, такие как плоские когомологии и кристаллические когомологии ). К этому моменту - примерно в 1964 году - разработки, основанные на алгебраической геометрии, в основном исчерпали себя. Обсуждение «открытое множество» было фактически было подведено в заключении , что сорта имели достаточно богатый сайта открытых множеств в неразветвленных обложках их (обычный)Зарисский-открытые множества .

От чистой теории категорий к категориальной логике [ править ]

Текущее определение топоса восходит к Уильяму Ловеру и Майлсу Тирни . Хотя выбор времени во многом следует из описанного выше, исторически сложилось другое отношение, и определение является более всеобъемлющим. То есть есть примеры топосов , которые не являются топосами Гротендика . Более того, они могут представлять интерес для ряда логических дисциплин.

Определение Ловера и Тирни подчеркивает центральную роль в теории топосов классификатора подобъектов . В обычной категории наборов это двухэлементный набор логических значений истинности , истина и ложь . Почти тавтологично говорить, что подмножества данного множества X являются такими же (так же хорошо, как) функции на X для любого такого данного двухэлементного набора: зафиксируйте `` первый '' элемент и сделайте подмножество Y соответствующим функция, отправляющая Y туда и его дополнение в X другому элементу.

Теперь классификаторы подобъектов можно найти в теории пучков . Тем не менее tautologously, хотя , конечно , более абстрактно, для топологического пространства X есть прямое описание пучка на X , который играет роль в отношении всех пучков множеств на X . Его множество сечений над открытым множеством U из X является только множество открытых подмножеств U . Пространство , ассоциированное с пучком , для него, более трудно описать.

Поэтому Ловер и Тирни сформулировали аксиомы для топоса , предполагающего классификатор подобъектов и некоторые предельные условия (по крайней мере, для создания декартово-замкнутой категории ). Некоторое время это понятие топосов называлось «элементарными топосами».

После того, как идея связи с логикой была сформулирована, было несколько разработок, «проверяющих» новую теорию:

• модели теории множеств , соответствующие доказательства независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума по Пол Коэн методом «s от принуждения .
• признание связи с семантикой Крипке , интуиционистским квантором существования и интуиционистской теорией типов .
• объединяя их, обсуждение интуиционистской теории действительных чисел с помощью моделей пучков.

Положение теории топосов [ править ]

Была некоторая ирония в том, что в ходе реализации долгосрочной программы Дэвида Гильберта был найден естественный дом для центральных идей интуиционистской логики : Гильберт ненавидел школу Л. Дж . Брауэра . Существование как «локальное» существование в теоретико-пучковом смысле, теперь известное как семантика Крипке – Джояла , является хорошим совпадением. С другой стороны, длительные усилия Брауэра по «видам», как он называл интуиционистскую теорию реального, предположительно каким-то образом отнесены к категории и лишены статуса, выходящего за рамки исторического. В каждом топосе существует теория действительных чисел, поэтому никто не владеет интуиционистской теорией.

Более поздние работы по этальным когомологиям имели тенденцию предполагать, что полная общая теория топосов не требуется. С другой стороны, используются другие сайты, и топос Гротендика занял свое место в гомологической алгебре.

Программа Ловера заключалась в написании логики высшего порядка в терминах теории категорий. То, что это можно сделать чисто, показывает трактовка книги Иоахима Ламбека и П. Дж. Скотта . Результатом является, по сути, интуиционистская (т. Е. Конструктивная логика ) теория, содержание которой проясняется существованием свободных топосов . Это теория множеств в широком смысле слова, но она также относится к области чистого синтаксиса . Его классификатор подобъектов имеет структуру алгебры Гейтинга . Чтобы получить более классическую теорию множеств, можно взглянуть на топозы, в которых, кроме того, это булева алгебра, или еще больше специализируясь на тех, у кого всего два значения истинности. В этой книге речь идет о конструктивной математике ; но на самом деле это можно рассматривать как фундаментальную информатику (о которой не упоминается). Если кто-то хочет обсудить теоретико-множественные операции, такие как формирование образа (диапазона) функции, топос гарантированно сможет выразить это полностью конструктивно.

Это также привело к появлению более доступного побочного продукта в бессмысленной топологии , где концепция локали изолирует некоторые идеи, полученные при рассмотрении топосов как значительного развития топологического пространства . Слоган: «Очки придут позже»: это завершает обсуждение на этой странице. Точка зрения написана в Питер Джонстон «s Stone пространств , который был назван лидером в области информатики» трактат о объемности'. Экстенсиональное рассматривается в математике как окружающее - это не то, о чем математики на самом деле ожидают иметь теорию. Возможно, именно поэтому теория топоса рассматривалась как странность; это выходит за рамки того, что позволяет традиционный геометрический образ мышления. Потребности полностью интенсиональных теорий, таких как нетипизированное лямбда-исчисление , были удовлетворены в денотационной семантике . Теория Топоса долгое время выглядела как возможная «основная теория» в этой области.

Резюме [ править ]

Концепция топоса возникла в алгебраической геометрии как следствие объединения понятий пучка и замыкания при категориальных операциях . Он играет определенную роль в теориях когомологий. «Убийственное приложение» - этальная когомология .

Последующие разработки, связанные с логикой, носят более междисциплинарный характер. Они включают примеры, основанные на теории гомотопии ( классифицирующие топосы ). Они включают связи между теорией категорий и математической логикой, а также (в качестве организационного обсуждения высокого уровня) между теорией категорий и теоретической информатикой, основанной на теории типов . Учитывая общий взгляд Сондерса Мак Лейна на повсеместность концепций, это придает им определенный статус. Использование топосов в качестве соединительных мостов в математике впервые использовала Оливия Карамелло в своей книге 2017 года. ^[1]

Ссылки [ править ]

• http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/