В физике и математике размерность математического пространства (или объекта ) неформально определяется как минимальное количество координат , необходимых для указания любой точки внутри него. [1] [2] Таким образом, линия имеет размерность единица (1D), поскольку для указания точки на ней необходима только одна координата — например, точка 5 на числовой прямой. Поверхность , например граница цилиндра или сферы ., имеет размерность два (2D), поскольку для указания точки на нем необходимы две координаты — например, для определения местоположения точки на поверхности сферы требуются как широта , так и долгота . Двумерное евклидово пространство — это двумерное пространство на плоскости . Внутренняя часть куба , цилиндра или сферы трехмерна ( 3D), поскольку для определения местоположения точки в этих пространствах необходимы три координаты.
В классической механике пространство и время представляют собой разные категории и относятся к абсолютному пространству и времени . Эта концепция мира представляет собой четырехмерное пространство , но не то, которое было признано необходимым для описания электромагнетизма . Четыре измерения (4D) пространства-времени состоят из событий , которые не абсолютно определены в пространстве и времени, а скорее известны относительно движения наблюдателя . Пространство Минковского сначала приближается к Вселенной без гравитации ; псевдоримановы многообразия общей теории относительностиописать пространство-время с помощью материи и гравитации. 10 измерений используются для описания теории суперструн (6D-гиперпространство + 4D), 11 измерений могут описывать супергравитацию и М-теорию (7D-гиперпространство + 4D), а пространство состояний квантовой механики представляет собой бесконечномерное функциональное пространство .
Понятие измерения не ограничивается физическими объектами.Многомерные пространства частовстречаются в математике иестественных науках. Это могут бытьевклидовы пространстваили более общиепространства параметровиликонфигурационные пространства, такие каклагранжеваилигамильтонова механика; этоабстрактные пространства, независимые отфизического пространства.
В математике размерность объекта — это, грубо говоря, количество степеней свободы точки, которая движется по этому объекту. Другими словами, размерность — это количество независимых параметров или координат , которые необходимы для определения положения точки, которая должна находиться на объекте. Например, размерность точки равна нулю; размерность линии равна единице, так как точка может двигаться по линии только в одном направлении (или противоположном ему); размерность плоскости равна двум и т. д.
Размерность — это внутреннее свойство объекта в том смысле, что оно не зависит от размерности пространства, в котором объект находится или может быть встроен. Например, кривая , такая как окружность , имеет размерность один, поскольку положение точки на кривой определяется ее знаковым расстоянием вдоль кривой до фиксированной точки на кривой. Это не зависит от того факта, что кривая не может быть вложена в евклидово пространство размерности меньше двух, если только она не является линией.
Размерность евклидова n - пространства En равна n . При попытке обобщить другие типы пространств возникает вопрос: «Что делает En n -мерным?» Один из ответов состоит в том, что для покрытия неподвижного шара в En маленькими шарами радиуса ε нужны такие маленькие шары порядка ε − n . Это наблюдение приводит к определению размерности Минковского и ее более сложного варианта, размерности Хаусдорфа. , но есть и другие ответы на этот вопрос. Например , граница шара в En локально выглядит как En -1 , и это приводит к понятию индуктивной размерности . Хотя эти понятия совпадают в отношении En , они оказываются разными, если взглянуть на более общие пространства.