Двумерное евклидово пространство

Двумерная декартова система координат

Геометрия
Проецирование сферы на плоскость _
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия проективный аффинный Синтетический Аналитический алгебраический Арифметика Диофант Дифференциал римановский симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный/комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительный фрактал Заболеваемость Некоммутативная геометрия Некоммутативная алгебраическая геометрия
Концепции Функции Измерение Строения линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельно Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Область Полигон Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Площадь Прямоугольник Ромб Ромбовидный четырехугольник Трапеция Летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Область
Трехмерный Объем куб прямоугольный Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / иномерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атия Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Коксетер Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберт Джьештхадева Катьяяна Хайям Клейн Лобачевский Манава Минковски Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабе Сийзи ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду до нашей эры Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 с Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Сийзи Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700-е гг. Джьештхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабе Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Клейн Пуанкаре Гильберт Минковски Картан Веблен Коксетер Сегодняшний день Атия Громов
в т е

Двумерное евклидово пространство или просто двумерное пространство (также известное как 2D-пространство , 2-пространство или двумерное пространство ) представляет собой геометрическую настройку, в которой два значения (называемые параметрами ) требуются для определения положения элемента ( т . е. точка ) на плоскости . Набор пар действительных чисел ( вещественное координатное пространство ) с соответствующей структурой часто служит каноническим примером евклидовой плоскости , двумерного евклидова пространства ; для обобщения концепции см. Размер${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$. Двумерное пространство можно рассматривать как проекцию физической вселенной на плоскость. Обычно его считают евклидовым пространством, а два измерения называют длиной и шириной.

История

Книги с I по IV и VI « Начал» Евклида касались двумерной геометрии, развивая такие понятия, как подобие форм, теорема Пифагора (предложение 47), равенство углов и площадей , параллелизм, сумма углов в треугольнике и три случая, когда треугольники «равны» (имеют одинаковую площадь), среди многих других тем.

Позже плоскость была описана в так называемой декартовой системе координат , системе координат , однозначно задающей каждую точку на плоскости парой числовых координат , которые представляют собой расстояния со знаком от точки до двух фиксированных перпендикулярно направленных линий, измеренных в одна и та же единица длины . Каждая опорная линия называется координатной осью или просто осью системы, а точка их пересечения является ее началом , обычно в упорядоченной паре (0, 0). Координаты также могут быть определены как позицииперпендикулярные проекции точки на две оси, выраженные как расстояния со знаком от начала координат.

Идея этой системы была развита в 1637 году в трудах Декарта и независимо Пьера де Ферма , хотя Ферма также работал в трех измерениях и не опубликовал открытие. ^[1] Оба автора использовали одну ось в своих обработках ^{[ необходима ссылка ]} и имеют переменную длину, измеренную по отношению к этой оси. Концепция использования пары топоров была введена позже, после того как «Геометрия» Декарта была переведена на латынь в 1649 году Франсом ван Шотеном и его учениками. Эти комментаторы ввели несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, содержащиеся в работах Декарта. ^[2]

Позже плоскость мыслилась как поле , где любые две точки можно было перемножить и, кроме 0, разделить. Это было известно как комплексная плоскость . Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана, потому что она используется в диаграммах Аргана. Они названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые они были описаны датско-норвежским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). ^[3] Диаграммы Аргана часто используются для построения позиций полюсов и нулей функции на комплексной плоскости.

В геометрии

Системы координат

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку в двумерном пространстве с помощью двух координат. Даны две перпендикулярные оси координат , пересекающиеся в начале координат . Обычно они обозначаются x и y . Относительно этих осей положение любой точки в двумерном пространстве задается упорядоченной парой действительных чисел, каждое из которых задает расстояние этой точки от начала координат , измеренное вдоль данной оси, равное расстоянию этой точки. точку от другой оси.

Другой широко используемой системой координат является полярная система координат , которая определяет точку с точки зрения ее расстояния от начала координат и ее угла относительно правого опорного луча.

• Декартова система координат

• Полярная система координат

Многогранники

В двух измерениях существует бесконечно много многогранников: многоугольников. Первые несколько обычных показаны ниже:

Выпуклый

Символ Шлефли {p} представляет правильный p - угольник .

Вырожденный (сферический)

Правильный многоугольник (или многоугольник) {1} и правильный двуугольник {2} можно считать вырожденными правильными многоугольниками и существовать невырожденно в неевклидовых пространствах, таких как 2-сфера , 2-тор или правильный круговой цилиндр .

Невыпуклый

Существует бесконечно много невыпуклых правильных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел {n/m}. Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют то же расположение вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем, для любого натурального числа n существуют n-конечные невыпуклые правильные многоугольные звезды с символами Шлефли { n / m } для всех m , таких что m < n /2 (строго говоря, { n / m } = { n / ( n − m )}) и m и n взаимно просты .

Круг

Гиперсфера в 2- х измерениях представляет собой круг , иногда называемый 1-сферой ( ^S1 ) , потому что это одномерное многообразие . На евклидовой плоскости он имеет длину 2π r , а площадь его внутренней части равна

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

где радиус.${\displaystyle r}$

Другие формы

Существует бесконечное множество других изогнутых форм в двух измерениях, включая конические сечения : эллипс , парабола и гипербола .

В линейной алгебре

Другой математический способ рассмотрения двумерного пространства можно найти в линейной алгебре , где идея независимости имеет решающее значение. Плоскость имеет два измерения, потому что длина прямоугольника не зависит от его ширины. На техническом языке линейной алгебры плоскость двумерна, потому что каждая точка на плоскости может быть описана линейной комбинацией двух независимых векторов .

Скалярный продукт, угол и длина

Скалярное произведение двух векторов _A = [ A1 , _A2 ] и B = [ B1 , B2 ] определяется _как : [ ₄ ^]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$

Вектор можно изобразить в виде стрелки. Его величина — это его длина, а его направление — это направление, на которое указывает стрелка. Величина вектора A обозначается . С этой точки зрения скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется формулой ^[5]${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

где θ — угол между A и B.

Скалярное произведение вектора A само по себе равно

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

который дает

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

формула евклидовой длины вектора.

В исчислении

Градиент

В прямоугольной системе координат градиент определяется выражением

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} }$

Линейные интегралы и двойные интегралы

Для некоторого скалярного поля f  : U ⊆ R ² → R линейный интеграл по кусочно-гладкой кривой C ⊂ U определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

где r : [a, b] → C — произвольная биективная параметризация кривой C такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы C и .${\displaystyle a<b}$

Для векторного поля F  : U ⊆ R ² → R ² линейный интеграл вдоль кусочно-гладкой кривой C ⊂ U в направлении r определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

где · — скалярное произведение , а r : [a, b] → C — биективная параметризация кривой C , такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы кривой C.

Двойной интеграл относится к интегралу в области D в R ² функции и обычно записывается как:${\displaystyle f(x,y),}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Основная теорема линейных интегралов

Фундаментальная теорема линейных интегралов гласит, что линейный интеграл через поле градиента можно вычислить, оценивая исходное скалярное поле в конечных точках кривой.

Пусть . затем${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

Теорема Грина

Пусть C -- положительно ориентированная кусочно гладкая простая замкнутая кривая на плоскости и пусть D -- область, ограниченная C . Если L и M являются функциями ( x , y ), определенными на открытой области , содержащей D , и имеют там непрерывные частные производные , то ^{[6] [7]}

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

где путь интегрирования по C направлен против часовой стрелки .

В топологии

В топологии плоскость характеризуется как единственное стягиваемое 2-многообразие .

Его размерность характеризуется тем, что удаление точки с плоскости оставляет пространство связным, но не просто связным .

В теории графов

В теории графов планарный граф — это граф , который можно вложить в плоскость, т. е. его можно нарисовать на плоскости таким образом, что его ребра пересекаются только в своих концах. Другими словами, его можно нарисовать так, чтобы ни одно ребро не пересекалось. ^[8] Такой рисунок называется плоским графом или планарным вложением графа . Плоский граф можно определить как планарный граф с отображением каждого узла в точку на плоскости и каждого ребра в плоскую кривую на этой плоскости, так что крайние точки каждой кривой являются точками, отображаемыми с ее конца. узлы, и все кривые не пересекаются, кроме их крайних точек.

Смотрите также

• Функция изображения
• Планиметрия

использованная литература