В философии математики , интуитивизма , или neointuitionism ( в отличие от preintuitionism ), является подход , при котором математика считается исключительно результатом конструктивной умственной деятельности человека , а не открытия фундаментальных принципов утверждали, что существует в объективной реальности. То есть логика и математика не считаются аналитической деятельностью, в которой раскрываются и применяются глубокие свойства объективной реальности, а вместо этого рассматриваются как применение внутренне согласованных методов, используемых для реализации более сложных мысленных конструкций, независимо от их возможного независимого существования в объективной реальности. .
Правда и доказательство
Основной отличительной чертой интуиционизма является его интерпретация того, что означает истинность математического утверждения. В первоначальном интуиционизме Брауэра истинность математического утверждения является субъективным утверждением: математическое утверждение соответствует ментальной конструкции, и математик может утверждать истинность утверждения только путем проверки действительности этой конструкции интуитивно . Расплывчатость интуиционистского представления об истине часто приводит к неправильному толкованию ее значения. Клини формально определил интуиционистскую истину с реалистической позиции, однако Брауэр, вероятно, отверг бы эту формализацию как бессмысленную, учитывая его отказ от реалистической / платонистской позиции. Поэтому интуиционистская истина остается несколько неопределенной. Однако, поскольку интуиционистское понятие истины более ограничено, чем у классической математики, интуиционист должен отвергнуть некоторые допущения классической логики, чтобы убедиться, что все, что они доказывают, на самом деле интуиционистски верно. Это порождает интуиционистскую логику .
Для интуициониста утверждение, что объект с определенными свойствами существует, является утверждением, что объект с этими свойствами может быть сконструирован. Любой математический объект считается продуктом конструкции разума , и поэтому существование объекта эквивалентно возможности его построения. Это контрастирует с классическим подходом, который утверждает, что существование объекта можно доказать, опровергнув его несуществование. Для интуициониста это неверно; опровержение несуществования не означает, что можно найти конструкцию для предполагаемого объекта, которая требуется для утверждения его существования. По сути, интуиционизм - это разновидность математического конструктивизма ; но это не единственный вид.
Интерпретация отрицания в интуиционистской логике отличается от классической логики. В классической логике отрицание утверждения утверждает, что утверждение ложно ; для интуициониста это означает, что утверждение можно опровергнуть . [1] Таким образом, в интуиционизме существует асимметрия между положительным и отрицательным утверждениями. Если утверждение P доказуемо, то P определенно не может быть опровергнуто. Но даже если это может быть доказано , что P не может быть опровергнуто, это не является доказательством P . Таким образом, P - более сильное утверждение, чем не-не-P .
Точно так же для интуициониста утверждать, что A или B верны, значит утверждать, что либо A, либо B могут быть доказаны . В частности, закон исключенного мидла « А или не А » не принимается в качестве действующего принципа. Например, если некоторое математическое утверждение , что интуиционист еще не доказано или опровергнуто, то , что интуиционист не будет утверждать истинность « А или не А ». Однако интуиционист согласится с тем, что « А, а не А » не может быть правдой. Таким образом, связки «и» и «или» интуиционистской логики не удовлетворяют законам де Моргана, как в классической логике.
Интуиционистская логика заменяет абстрактную истину конструктивностью и связана с переходом от доказательства теории моделей к абстрактной истине в современной математике . Логическое исчисление сохраняет обоснование, а не истину, в преобразованиях, приводящих к производным суждениям. Это было принято как давать философскую поддержку нескольких школ философии, в первую очередь в борьбе с реализмом в Даммит . Таким образом, вопреки первому впечатлению, которое может произвести его название, и, как это реализовано в конкретных подходах и дисциплинах (например, нечеткие множества и системы), интуиционистская математика более строгая, чем математика, основанная на традиционных принципах, где, по иронии судьбы, основополагающие элементы, которые интуиционизм пытается построить / опровергнуть / восстановить принимаются интуитивно.
бесконечность
Среди различных формулировок интуиционизма есть несколько различных позиций относительно значения и реальности бесконечности.
Термин потенциальная бесконечность относится к математической процедуре, в которой есть бесконечная серия шагов. После завершения каждого шага всегда остается выполнить еще один шаг. Например, рассмотрим процесс подсчета: 1, 2, 3, ...
Термин актуальная бесконечность относится к завершенному математическому объекту, который содержит бесконечное количество элементов. Примером является множество натуральных чисел , N = {1, 2, ...}.
В формулировке теории множеств Кантора существует множество различных бесконечных множеств, некоторые из которых больше других. Например, набор всех действительных чисел R больше, чем N , потому что любая процедура, которую вы пытаетесь использовать, чтобы привести натуральные числа во взаимно однозначное соответствие с действительными числами, всегда будет терпеть неудачу: всегда будет бесконечное число действительных чисел "осталось". Любое бесконечное множество, которое может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, называется «счетным» или «счетным». Бесконечные множества, превышающие это, называются «несчетными». [2]
Теория множеств Кантора привела к аксиоматической системе теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC), которая сейчас является наиболее распространенной основой современной математики . Отчасти интуиционизм возник как реакция на теорию множеств Кантора.
Современная конструктивная теория множеств включает аксиому бесконечности из ZFC (или исправленную версию этой аксиомы) и множество N натуральных чисел. Большинство современных конструктивных математиков признают реальность счетно бесконечных множеств (однако, см. Контрпример Александра Есенина-Вольпина ).
Брауэр отверг концепцию актуальной бесконечности, но признал идею потенциальной бесконечности.
- «Согласно Вейлю 1946 года» Брауэр ясно дал понять, что я считаю вне всяких сомнений, что нет никаких доказательств, подтверждающих веру в экзистенциальный характер совокупности всех натуральных чисел ... последовательности чисел, которая выходит за пределы любой стадии. уже достигнутый переходом к следующему числу, представляет собой множество возможностей, открывающихся к бесконечности; он остается навсегда в статусе творения, но не является закрытым царством вещей, существующих в себе. То, что мы слепо преобразовали одно в другое, является истинным источник наших трудностей, включая антиномии - источник более фундаментального характера, чем указывал принцип порочного круга Рассела. Брауэр открыл нам глаза и заставил нас увидеть, как далеко классическая математика, питаемая верой в «абсолют», которая превосходит все человеческие возможности реализация, выходит за рамки таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на доказательствах " (Клини (1952): Введение в метаматематику , стр. 48-49)
История
Историю интуиционизма можно проследить до двух противоречий в математике девятнадцатого века.
Первым из них было изобретение трансфинитного арифметики по Георга Кантора и его последующего отказа от ряда выдающихся математиков , в том числе наиболее известный его учитель Леопольда Кронекера -a подтвердил finitist .
Вторым из них была попытка Готтлоба Фреге свести всю математику к логической формулировке с помощью теории множеств и ее разрушение молодым Бертраном Расселом , открывшим парадокс Рассела . Фреге планировал выпустить трехтомный окончательный труд, но как раз перед выходом второго тома Рассел послал Фреге письмо, в котором излагал свой парадокс, который демонстрировал, что одно из правил Фреге самоотнесения противоречиво. В приложении ко второму тому Фреге признал, что одна из аксиом его системы действительно привела к парадоксу Рассела. [3]
Рассказывают, что Фреге впал в депрессию и не опубликовал третий том своей работы, как планировал. Подробнее см. Дэвис (2000), главы 3 и 4: Фреге: от прорыва к отчаянию и Кантор: обход через бесконечность. См. Ван Хейенорт для оригинальных работ и комментариев ван Хейенурта.
Эти разногласия тесно связаны, поскольку логические методы, использованные Кантором для доказательства своих результатов в трансфинитной арифметике, по существу такие же, как те, которые использовал Рассел при построении своего парадокса. Следовательно, решение парадокса Рассела напрямую влияет на статус трансфинитной арифметики Кантора.
В начале двадцатого века Л.Дж. Брауэр представлял интуиционистскую позицию, а Давид Гильберт - формалистическую позицию - см. Van Heijenoort. Курт Гёдель высказал мнение, называемое платоником (см. Различные источники о Гёделе). Алан Тьюринг считает: «неконструктивные системы логики, в которых не все шаги в доказательстве являются механическими, а некоторые интуитивно понятны». (Turing 1939, перепечатано в Davis 2004, p. 210). Позднее Стивен Коул Клини в своем «Введении в метаматематику» (1952) высказал более рациональное рассмотрение интуиционизма.
Авторы
- Анри Пуанкаре ( преинтуиционизм / конвенционализм )
- Лей Брауэр
- Майкл Даммит
- Аренд Хейтинг
- Стивен Клини
Отрасли интуиционистской математики
- Интуиционистская логика
- Интуиционистская арифметика
- Интуиционистская теория типов
- Интуиционистская теория множеств
- Интуиционистский анализ
Смотрите также
- Антиреализм
- Толкование BHK
- Противоречие Брауэра-Гильберта
- Логика вычислимости
- Конструктивная логика
- Изоморфизм Карри – Ховарда
- Основы математики
- Нечеткая логика
- Семантика игры
- Интуиция (знание)
- Теория моделей
- Теория топоса
- Ультраинтуиционизм
Рекомендации
- ^ Лакатос (2015) [1976]. Доказательства и опровержения. Логика математических открытий . Кембриджская философская классика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-11346-6.
- ^ объяснено в мощности континуума
- ↑ См. «Фреге о парадоксе Рассела» в « Переводах философских сочинений Готлоба Фреге» под редакцией Питера Гича и Макса Блэка, Бэзил Блэквелл, Оксфорд, 1960, стр. 234–44; перевод с Grudgesetze der Arithmetik , Vol. II, Приложение, стр. 253–65
дальнейшее чтение
- "Анализ." Британская энциклопедия . 2006. Encyclopædia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite DVD 15 июня 2006 г., « Конструктивный анализ » ( Ян Стюарт , автор)
- У. С. Энглин , Математика: краткая история и философия , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994.
- В главе 39 «Основы» , относящейся к 20-му веку, Энглин дает очень точные и краткие описания платонизма (по отношению к Гёделю), формализма (по отношению к Гильберту) и интуиционизма (по отношению к Брауэру).
- Мартин Дэвис (редактор) (1965), Неразрешимый , Raven Press, Hewlett, NY. Сборник оригинальных работ Гёделя, Черча, Клини, Тьюринга, Россера и Поста. Переиздано как Дэвис, Мартин, изд. (2004). Неразрешимое . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-43228-1.
- Мартин Дэвис (2000). Двигатели логики: математики и происхождение компьютера (1-е изд.). WW Norton & Company, Нью-Йорк. ISBN 0-393-32229-7.
- Джон У. Доусон- младший, Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя , А.К. Петерс, Уэлсли, Массачусетс, 1997.
- Менее читабельный, чем Гольдштейн, но в главе III Excursis Доусон дает превосходную «Капсульную историю развития логики до 1928 года».
- Ребекка Голдштейн , Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя , Atlas Books, WW Norton, Нью-Йорк, 2005.
- В главе II «Гильберт и формалисты» Гольдштейн дает дальнейший исторический контекст. Как платоник Гёдель был сдержан в присутствии логического позитивизма Венского кружка. Гольдштейн обсуждает влияние Витгенштейна и влияние формалистов. Гольдштейн отмечает, что интуиционисты были даже более противниками платонизма, чем формализма .
- ван Хейеноорт, Дж. , От Фреге до Гёделя, Справочник по математической логике, 1879–1931 , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1967. Перепечатано с исправлениями, 1977 г. Следующие статьи опубликованы у ван Хейеноорта:
- LEJ Brouwer , 1923, О значении принципа исключенного третьего в математике, особенно в теории функций [перепечатано с комментарием, стр. 334, ван Хейеноорт]
- Андрей Николаевич Колмогоров , 1925, О принципе исключенного среднего , [перепечатано с комментарием, с. 414, van Heijenoort]
- LEJ Brouwer , 1927, Об областях определения функций , [перепечатано с комментарием, с. 446, van Heijenoort]
- Хотя это и не имеет прямого отношения, в своей работе (1923) Брауэр использует определенные слова, определенные в этой статье.
- LEJ Brouwer , 1927 (2), Интуиционистские размышления о формализме , [перепечатано с комментарием, с. 490, van Heijenoort]
- Жак Эрбран, (1931b), «О непротиворечивости арифметики», [перепечатано с комментарием, стр. 618ff, van Heijenoort]
- Из комментария ван Хейенурта неясно, был ли Гербранд настоящим «интуиционистом»; Гёдель (1963) утверждал, что действительно «... Хербранд был интуиционистом». Но ван Хейеноорт говорит, что концепция Гербранда была «в целом намного ближе к концепции слова Гильберта« конечный »(« конечный »), чем к« интуиционистской »в применении к доктрине Брауэра».
- Хесселинг, Деннис Э. (2003). Гномы в тумане. Рецепция интуиционизма Брауэра в 1920-е гг . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6536-6.
- Аренд Хейтинг : Хейтинг, Аренд (1971) [1956]. Интуиционизм: Введение (3-е изд. Ред.). Амстердам: паб Северной Голландии. Co. ISBN 0-7204-2239-6.
- Клини, Стивен С. (1991) [1952]. Введение в мета-математику (Десятое впечатление, изд. 1991 г.). Амстердам, штат Нью-Йорк: паб Северной Голландии. Co. ISBN 0-7204-2103-9.
- В главе III «Критика математических рассуждений», §11. Парадоксы , Клини подробно обсуждает интуиционизм и формализм . На протяжении всей остальной части книги он рассматривает и сравнивает как формалистскую (классическую), так и интуиционистскую логику с упором на первую.
- Стивен Коул Клини и Ричард Юджин Веслей , «Основы интуиционистской математики» , издательство North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1965. В первом предложении говорится: «Конструктивная тенденция в математике ...». Текст для специалистов, но написанный в удивительно ясном стиле Клини.
- Хилари Патнэм и Пол Бенасерраф , Философия математики: Избранные материалы , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1964. 2-е изд., Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1983. ISBN 0-521-29648-X
- Часть I. Основы математики , Симпозиум по основам математики.
- Рудольф Карнап , Логицистские основы математики , стр. 41 год
- Аренд Хейтинг , Интуиционистские основы математики , с. 52
- Иоганн фон Нейман , Формалистические основы математики , стр. 61
- Аренд Хейтинг, Диспут , стр. 66
- LEJ Brouwer, Интуиционизм и формализм , стр. 77
- LEJ Brouwer, Сознание, философия и математика , с. 90
- Констанс Рид , Гильберт , Коперник - Springer-Verlag, 1-е издание 1970 г., 2-е издание 1996 г.
- Окончательная биография Гильберта помещает его «Программу» в исторический контекст вместе с последующей борьбой, иногда злобной, между интуиционистами и формалистами.
- Пол Розенблум , Элементы математической логики , Dover Publications Inc., Минеола, Нью-Йорк, 1950.
- В стиле Principia Mathematica - много символов, некоторые из них старинные, некоторые из немецких шрифтов. Очень хорошее обсуждение интуиционизма в следующих местах: страницы 51–58 в Разделе 4 «Многозначная логика», «Модальная логика», «Интуиционизм»; страницы 69–73 Глава III Логика предполагаемых функций Раздел 1 Неформальное введение; и п. 146-151 Раздел 7 Аксиома выбора.
- (на французском языке) Жак Хартонг и Жорж Риб , Intuitionnisme 84 (впервые опубликовано в La Mathématique Non-standard , éditions du CNRS)
- Переоценка интуиционизма с точки зрения (среди прочего) конструктивной математики и нестандартного анализа .
Вторичные ссылки
- Марков А.А. (1954) Теория алгоритмов . [Перевод Жака Шорр-Кона и сотрудников PST] Выходные данные Москва, Академия наук СССР, 1954 [т.е. Иерусалим, Израильская программа научных переводов, 1961; можно получить в Управлении технических служб Министерства торговли США, Вашингтон] Описание 444 p. 28 см. Добавлен тп в русском переводе трудов Математического института АН СССР, т. 42. Первоначальное название: Теория алгоритмов. [QA248.M2943 Библиотека Дартмутского колледжа. Министерство торговли США, Управление технических служб, номер OTS 60–51085.]
- Второстепенная ссылка для специалистов: Марков высказал мнение, что «все значение для математики уточнения концепции алгоритма проявляется, однако, в связи с проблемой конструктивного основания математики ... [с. 3, курсив добавлен. ] Марков считал, что дальнейшее применение его работы «заслуживает специальной книги, которую автор надеется написать в будущем» (стр. 3). К сожалению, эта работа, по-видимому, так и не появилась.
- Тьюринг, Алан М. (1939). «Системы логики, основанные на порядковых числах» . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )
Внешние ссылки
- Десять вопросов об интуиционизме