Формальное доказательство леммы основано на пределе последовательности случайных величин. Этот подход здесь не представлен, поскольку он включает в себя ряд технических деталей. Вместо этого мы даем набросок того, как можно вывести лемму Ито, расширяя ряд Тейлора и применяя правила стохастического исчисления.
где B t - винеровский процесс . Если f ( t , x ) - дважды дифференцируемая скалярная функция, ее разложение в ряд Тейлора имеет вид
Подставляя X т в х и , следовательно , μ т дт + σ т дБ т для дх дает
В пределе dt → 0 члены dt 2 и dt дБ t стремятся к нулю быстрее, чем дБ 2 , что составляет O ( dt ) . Установка DT 2 и DT дБ т условия к нулю, заменив DT для дБ 2 (из - за квадратичной дисперсии в процессе Wiener ), и собирая DT и дБ члены, получим
как требуется.
Математическая формулировка леммы Ито
В следующих подразделах мы обсудим версии леммы Ито для различных типов случайных процессов.
Дрейфово-диффузионные процессы Ито (причастен: Кунита – Ватанабэ)
Мы также можем определять функции на разрывных случайных процессах.
Пусть h - интенсивность скачка. Модель процесса Пуассона для скачков состоит в том, что вероятность одного скачка в интервале [ t , t + Δ t ] равна h Δ t плюс члены более высокого порядка. h может быть константой, детерминированной функцией времени или случайным процессом. Вероятность выживания p s ( t ) - это вероятность того, что скачок не произошел в интервале [0, t ] . Изменение вероятности выживания равно
Так
Пусть S ( t ) - прерывный случайный процесс. Писатьдля значения S при приближении к t слева. Писатьдля не бесконечно малого изменения S ( t ) в результате скачка. потом
Пусть z - величина скачка, и пустьбыть распределение по г . Ожидаемая величина скачка составляет
Определять , компенсированный процесс и мартингейл , так как
потом
Рассмотрим функцию скачкообразного процесса dS ( t ) . Если S ( t ) перескакивает на Δ s, то g ( t ) перескакивает на Δ g . Δ g берется из распределения что может зависеть от , dg и. Прыжковая часть является
Если содержит части сноса, диффузии и скачка, то лемма Ито для является
Лемма Ито для процесса, который является суммой процесса дрейфа-диффузии и процесса скачка, является просто суммой леммы Ито для отдельных частей.
Непрерывные семимартингалы
Лемма Ито также может быть применена к общим d- мерным семимартингалам , которые не обязательно должны быть непрерывными. В общем, семимартингал - это процесс càdlàg , и в формулу необходимо добавить дополнительный член, чтобы гарантировать, что скачки процесса правильно задаются леммой Ито. Для любого кадлаг-процесса Y t левый предел по t обозначается Y t− , который является непрерывным слева процессом. Скачки записываются как Δ Y t = Y t - Y t− . Тогда лемма Ито утверждает, что если X = ( X 1 , X 2 , ..., X d ) - d -мерный семимартингал, а f - дважды непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция на R d, то f ( X ) - семимартингал , а также
Это отличается от формулы для непрерывных полумартингалов дополнительным членом, суммирующим скачки X , который гарантирует, что скачок правой части в момент времени t равен Δ f ( X t ).
Множественные прерывистые скачкообразные процессы
[ необходимая цитата ] Существует также версия этого для дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве один раз во времени функции f, оцениваемой в (потенциально разных) прерывистых полумартингалах, которую можно записать следующим образом:
где обозначает непрерывную часть i- го полумартингала.
Срок коррекции -σ 2/2соответствует разнице между медианой и средним логнормальным распределением , или, что эквивалентно для этого распределения, средним геометрическим и средним арифметическим, при этом медиана (среднее геометрическое) ниже. Это связано с неравенством AM – GM и соответствует тому, что логарифм является вогнутым (или выпуклым вверх), поэтому поправочный член можно соответственно интерпретировать как поправку на выпуклость . Это бесконечно малая версия того факта, что годовая доходность меньше средней доходности с разницей, пропорциональной дисперсии. См. Геометрические моменты логнормального распределения для дальнейшего обсуждения.
Экспоненциальная Долеан-Дейд (или стохастические экспоненциальный) непрерывного семимартингал X может быть определен как решения СД д = Y йХ с начальным условием У 0 = 1 . Иногда его обозначают Ɛ ( X ) . Применение леммы Ито с f ( Y ) = log ( Y ) дает
Возведение в степень дает решение
Формула Блэка – Шоулза
Лемму Ито можно использовать для вывода уравнения Блэка – Шоулза для опциона . [1] Предположим, что цена акции следует геометрическому броуновскому движению, заданному стохастическим дифференциальным уравнением dS = S ( σdB + μ dt ) . Тогда, если стоимость опциона в момент t равна f ( t , S t ), лемма Ито дает
Термин ∂ f/∂ SdS представляет собой изменение стоимости во времени dt торговой стратегии, состоящей в удержании суммы∂ f/∂ Sна складе. Если следовать этой торговой стратегии и предполагается, что любые имеющиеся денежные средства будут расти безрисковой скоростью r , то общая стоимость V этого портфеля удовлетворяет SDE.
Эта стратегия повторяет вариант, если V = f ( t , S ). Объединение этих уравнений дает знаменитое уравнение Блэка – Шоулза
Правило продукта для процессов Itô
Позволять быть двумерным процессом Ито с SDE:
Тогда мы можем использовать многомерную форму леммы Ито, чтобы найти выражение для .
У нас есть а также .
Мы установили и обратите внимание, что а также
Подстановка этих значений в многомерную версию леммы дает нам: