K -теория

В математике , К-теория , грубо говоря, исследование в кольце , порожденного векторных расслоений над топологическим пространством или схемы . В алгебраической топологии это теория когомологий, известная как топологическая K-теория . В алгебре и алгебраической геометрии это называется алгебраической K-теорией . Это также фундаментальный инструмент в области операторных алгебр . Это можно рассматривать как изучение некоторых видов инвариантов больших матриц . ^[1]

K-теория предполагает построение семейств K - функторы , что отображение топологических пространств или схем для связанных колец; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и в случае с функторами групп в алгебраической топологии, причиной этого функториального отображения является то, что легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных с помощью подхода K-теории, включают теорему Гротендика – Римана – Роха , периодичность Ботта , теорему Атьи – Зингера об индексе и операции Адамса .

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, скрученная K-теория появились в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны , напряженности поля Рамона – Рамона, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях . В физике конденсированного состояния K-теория использовалась для классификации топологических изоляторов , сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми . Подробнее см. K-теория (физика) .

Завершение Гротендика [ править ]

Пополнение Гротендика абелевого моноида в абелеву группу является необходимым ингредиентом для определения K-теории, поскольку все определения начинаются с построения абелевого моноида из подходящей категории и превращения его в абелеву группу с помощью этой универсальной конструкции. Учитывая абелева Моноид LET быть отношение на определен${\ Displaystyle (А, + ')}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle A ^ {2}}$

${\ Displaystyle (а_ {1}, а_ {2}) \ sim (b_ {1}, b_ {2})}$

если существует такой, что Then, множество имеет структуру группы, где:${\ displaystyle c \ in A}$${\ displaystyle a_ {1} + 'b_ {2} +' c = a_ {2} + 'b_ {1} +' c.}$${\ Displaystyle G (A) = A ^ {2} / \ sim}$ ${\ Displaystyle (Г (А), +)}$

${\ displaystyle [(a_ {1}, a_ {2})] + [(b_ {1}, b_ {2})] = [(a_ {1} + 'b_ {1}, a_ {2} +' Би 2})]}$

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные различия элементов в абелевом моноиде.

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелевого моноида . Здесь мы будем обозначать единичный элемент через . Во-первых, для любого, поскольку мы можем установить и применить уравнение из отношения эквивалентности, чтобы получить . Из этого следует${\ Displaystyle (А, +)}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle (0,0) \ sim (п, п)}$${\ displaystyle n \ in A}$${\ displaystyle c = 0}$${\ Displaystyle п = п}$

${\ Displaystyle [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = 0}$

следовательно, у нас есть аддитивная инверсия для каждого элемента в . Это должно дать нам подсказку, что мы должны думать о классах эквивалентности как о формальных различиях . Еще одно полезное наблюдение - инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:${\ Displaystyle G (A)}$${\ Displaystyle [(а, б)]}$${\ displaystyle ab}$

${\ Displaystyle (а, Ь) \ сим (а + к, Ь + к)}$ для любой ${\ displaystyle k \ in A}$

Пополнение Гротендика можно рассматривать как функтор , и оно обладает тем свойством, что оно остается сопряженным с соответствующим забывчивым функтором . Это означает, что при данном морфизме абелевого моноида на лежащий в основе абелев моноид абелевой группы существует единственный морфизм абелевой группы .${\ Displaystyle G: \ mathbf {AbMon} \ to \ mathbf {AbGrp}}$ ${\ Displaystyle U: \ mathbf {AbGrp} \ to \ mathbf {AbMon}}$${\ Displaystyle \ phi: от A \ к U (B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G(A)\to B}$

Пример натуральных чисел [ править ]

Наглядным примером является завершение Гротендика . Мы это видим . Для любой пары мы можем найти минимального представителя , используя инвариантность относительно масштабирования. Например, из масштабной инвариантности видно, что${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a',b')}$

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

В общем, если мы положим, то найдем, что${\displaystyle k=\min\{a,b\}}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$который имеет форму или${\displaystyle (c,0)}$${\displaystyle (0,d)}$

Это показывает, что мы должны думать о положительных целых числах, а о отрицательных.${\displaystyle (a,0)}$${\displaystyle (0,b)}$

Определения [ править ]

Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Группа Гротендика для компактных хаусдорфовых пространств [ править ]

Учитывая компактным хаусдорфовы пространство рассмотрит множество классов изоморфизма конечномерных векторных расслоений над , обозначаемыми и классом изоморфизма векторного расслоения обозначит . Поскольку классы изоморфизма векторных расслоений хорошо себя ведут по отношению к прямым суммам , мы можем записать эти операции на классах изоморфизмов как${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle [E]}$

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

Должно быть ясно, что это абелев моноид, в котором единица задается тривиальным векторным расслоением . Затем мы можем применить пополнение Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелевого моноида. Это называется К-теорией и обозначается .${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K^{0}(X)}$

Мы можем использовать теорему Серра – Свана и некоторую алгебру, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывных комплекснозначных функций как проективных модулей . Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц . Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид . Также называется его завершение Гротендика . Один из основных методов вычисления группы Гротендика для топологических пространств исходит из спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха , что делает его очень доступным. Единственные необходимые вычисления для понимания спектральных последовательностей - это вычисление группы для сфер.${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle K^{0}}$${\displaystyle S^{n}}$^{[2] стр. 51-110} .

Группа Гротендика векторных расслоений в алгебраической геометрии [ править ]

Аналогичная конструкция возникает при рассмотрении векторных расслоений в алгебраической геометрии . Для нётеровой схемы существует множество всех классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений на . Тогда, как и раньше, определена прямая сумма классов изоморфизмов векторных расслоений, дающая абелев моноид . Затем группа Гротендика определяется применением конструкции Гротендика на этом абелевом моноиде.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$${\displaystyle K^{0}(X)}$

Группа Гротендика когерентных пучков в алгебраической геометрии [ править ]

В алгебраической геометрии ту же конструкцию можно применить к алгебраическим векторным расслоениям над гладкой схемой. Но для любой нётеровой схемы существует альтернативная конструкция . Если мы посмотрим на классы изоморфизма когерентных пучков, мы можем модифицировать их соотношением, если существует короткая точная последовательность${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

Это дает Гротендика-группа , изоморфная если гладкая. Группа особенная, потому что существует также кольцевая структура: мы определяем ее как${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

Используя теорему Гротендика – Римана – Роха , получаем, что

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать для теории пересечений . ^[3]${\displaystyle K_{0}(X)}$

Ранняя история [ править ]

Можно сказать, что эта тема началась с Александра Гротендика (1957), который использовал ее для формулировки своей теоремы Гротендика – Римана – Роха . Название происходит от немецкого Klasse , что означает «класс». ^[4] Гротендик необходим для работы с когерентными пучками на алгебраическом многообразии X . Вместо того, чтобы работать напрямую с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков в качестве генераторов группы, с учетом отношения, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Полученная группа называется K ( X ), когда используются только локально свободные пучки , илиG ( X ), когда все являются когерентными пучками. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика ; K ( X ) имеет когомологическое поведение, а G ( X ) гомологическое поведение.

Если X - гладкое многообразие , эти две группы совпадают. Если это гладкое аффинное многообразие , то все расширения локально свободных пучков расщепляются, поэтому у группы есть альтернативное определение.

В топологии , применив ту же конструкцию к векторным расслоениям , Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили K ( X ) для топологического пространства X в 1959 г. и, используя теорему периодичности Ботта, они сделали его основой необычной теории когомологий . Он сыграл важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи – Зингера об индексе (около 1962 г.). Более того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C * -алгебр .

Уже в 1955 году, Жан-Пьер Серр использовал аналогию векторных расслоений с проективными модулями сформулировать гипотезу Серра , в котором говорится , что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным ; это утверждение верно, но не было подтверждено до 20 лет спустя. ( Теорема Суона - еще один аспект этой аналогии.)

События [ править ]

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Х. К. Уайтхеда и других над тем, что позже стало известно как кручение Уайтхеда .

Затем последовал период, когда появились различные частичные определения функторов высшей K-теории . Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Дэниелом Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 годах. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения алгебраической K-теории пространств, которая связана с изучением псевдоизотопий. . Многие современные исследования по высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивационных когомологий .

Соответствующие конструкции с использованием вспомогательной квадратичной формы получили общее название L-теории . Это главный инструмент теории хирургии .

В теории струн классификация напряженности поля Рамона – Рамона и зарядов стабильных D-бран по К-теории была впервые предложена в 1997 году ^[5].

Примеры и свойства [ править ]

K ₀ поля [ править ]

Самый простой пример группы Гротендика - группа Гротендика точки для поля . Поскольку векторное расслоение над этим пространством - это просто конечномерное векторное пространство, которое является свободным объектом в категории когерентных пучков, следовательно, проективным, моноид классов изоморфизма соответствует размерности векторного пространства. Легко показать, что группа Гротендика такова .${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

K ₀ артиновой алгебры над полем [ править ]

Одним из важных свойств группы Гротендика нётеровой схемы является то, что она, следовательно, инвариантна относительно редукции . ^[6] Следовательно, группа Гротендика любой артиновой -алгебры является прямой суммой копий , по одной для каждой связной компоненты ее спектра. Например,${\displaystyle X}$${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

K ₀ проективного пространства [ править ]

Одним из наиболее часто используемых вычислений группы Гротендика является вычисление для проективного пространства над полем. Это связано с тем, что числа пересечений проективного объекта можно вычислить путем встраивания и использования формулы push pull . Это позволяет выполнять конкретные расчеты с элементами без необходимости явно знать его структуру, поскольку ^[7]${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$${\displaystyle K(X)}$

Один из способов определения группы гротендика основан на ее стратификации как${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$поскольку группа Гротендика когерентных пучков на аффинных пространствах изоморфна , а пересечение группы в общем случае${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$для .${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$

K ₀ проективного расслоения [ править ]

Другой важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения: ^[8] для векторного расслоения ранга r над нётеровой схемой группа Гротендика проективного расслоения является свободным -модулем ранга r с базисом . Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика . Это позволяет вычислить поверхности или поверхности Хирцебруха. Кроме того, это можно использовать для вычисления группы Гротендика , наблюдая, что это проективное расслоение над полем .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$${\displaystyle K(X)}$${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

K ₀ особых пространств и пространств с изолированными факторособенностями [ править ]

Один из недавних методов вычисления группы пространств Гротендика с незначительными особенностями основан на оценке разницы между и , которая исходит из того факта, что каждое векторное расслоение может быть эквивалентно описано как когерентный пучок. Это делается с помощью группы Гротендика категории сингулярности ^{[9] [10]} из производной некоммутативной алгебраической геометрии . Он дает длинную точную последовательность, начинающуюся с${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle D_{sg}(X)}$

где более высокие члены взяты из высшей K-теории . Обратите внимание, что векторные расслоения на особом множестве задаются векторными расслоениями на гладком множестве . Это позволяет вычислить группу Гротендика на весовых проективных пространствах, поскольку они обычно имеют изолированные факторособенности. В частности, если эти особенности имеют группы изотропии, то отображение${\displaystyle X}$${\displaystyle E\to X_{sm}}$${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$${\displaystyle G_{i}}$инъективно, и коядро аннулируется for ^{[10] pg 3} .${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$${\displaystyle n=\dim X}$

K ₀ гладкой проективной кривой [ править ]

Для гладкой проективной кривой группа Гротендика есть${\displaystyle C}$

для Пикара группы из . Это следует из спектральной последовательности Брауна-Герстена-Quillen ^{[11] пг 72} из алгебраической K-теории . Для регулярной схемы конечного типа над полем существует сходящаяся спектральная последовательность${\displaystyle C}$для множества точек коразмерности , то есть множества подсхем коразмерности и поля алгебраических функций подсхемы. Эта спектральная последовательность обладает свойством ^{[11] стр. 80}${\displaystyle X^{(p)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x:Y\to X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k(x)}$для кольца чау-чау , что по сути дает вычисление . Обратите внимание, что поскольку не имеет точек коразмерности , единственными нетривиальными частями спектральной последовательности являются , следовательно,${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{0}(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$Затем фильтрацию Кониво можно использовать для определения желаемой явной прямой суммы, поскольку она дает точную последовательность${\displaystyle K_{0}(C)}$где левый член изоморфен, а правый член изоморфен . Поскольку последовательность абелевых групп выше расщепляется, что дает изоморфизм. Заметим, что если - гладкая проективная кривая рода над , то${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {C} }$Более того, описанные выше методы, использующие производную категорию особенностей для изолированных особенностей, могут быть распространены на изолированные особенности Коэна-Маколея , давая методы вычисления группы Гротендика любой сингулярной алгебраической кривой. Это связано с тем, что редукция дает в общем гладкую кривую, а все особенности - Коэна-Маколея.

Приложения [ править ]

Виртуальные пакеты [ править ]

Одно из полезных приложений группы Гротендика - определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств, то существует короткая точная последовательность${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

где - конормальное расслоение in . Если у нас есть особое пространство, вложенное в гладкое пространство, мы определяем виртуальное конормальное расслоение как${\displaystyle C_{Y/X}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

Еще одно полезное применение виртуальных расслоений - определение виртуального касательного расслоения пересечения пространств: пусть - проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения как${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ. ^[12]

Черн персонажи [ править ]

Классы Черна можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Черна ch определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

В более общем смысле, если - прямая сумма линейных расслоений, с первыми классами Черна характер Черна определяется аддитивно${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

Характер Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. Характер Черна используется в теореме Хирцебруха – Римана – Роха .

Эквивариантная K-теория [ править ]

Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теории , связанные с категорией из эквивариантных когерентных пучков на алгебраическом схеме с действием линейной алгебраической группы , через Квиллена Q-конструкции ; таким образом, по определению,${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

В частности, это группа Гротендик из . Теория была разработана Р. В. Томасоном в 1980-х годах. ^{[13] В} частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$

См. Также [ править ]

• Периодичность Ботта
• KK-теория
• КР-теория
• Список теорий когомологий
• Алгебраическая K-теория
• Топологическая K-теория
• Операторная K-теория
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989). К-теория . Advanced Book Classics (2-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-09394-0. Руководство по ремонту  1043170 .
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по K-теории . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / 978-3-540-27855-9 . ISBN 978-3-540-30436-4. Руководство по ремонту  2182598 .
• Парк, Efton (2008). Комплексная топологическая K-теория . Кембриджские исследования в области высшей математики. 111 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-85634-8.
• Лебедь, Р.Г. (1968). Алгебраическая K-теория . Конспект лекций по математике. 76 . Springer . ISBN 3-540-04245-8.
• Каруби, Макс (1978). K-теория: введение . Классика по математике. Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-540-79890-3 . ISBN 0-387-08090-2.
• Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv : math / 0602082 .
• Хэтчер, Аллен (2003). "Векторные расслоения и K-теория" .
• Вейбель, Чарльз (2013). K-книга: введение в алгебраическую K-теорию . Град. Исследования по математике. 145 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-9132-2.

Внешние ссылки [ править ]

• Гротендик-Риман-Рох
• Страница Макса Каруби
• Архив препринтов к-теории