В математике , то наименее верхняя граница свойство (иногда называемая полнотой или супремум свойства или LUB свойство ) [1] является фундаментальным свойством действительных чисел . В более общем виде частично упорядоченное множество Х имеет наименее верхнюю границу свойства , если каждое непустое подмножество из X с верхней границей имеет минимум верхней границы (грань) в X . Не каждый (частично) упорядоченный набор имеет свойство наименьшей верхней границы. Например, наборвсех рациональных чисел с их естественным порядком не имеет свойства наименьшей верхней границы.
Свойство наименьшей верхней границы является одной из форм аксиомы полноты для действительных чисел и иногда называется полнотой Дедекинда . [2] Она может быть использована , чтобы доказать , многие из основных результатов реального анализа , такие как теоремы промежуточного значения , по теореме Больцано-Вейерштрасса , по теореме экстремальных значений , и теорема Гейне-Борель . Это обычно принимается в качестве аксиомы в синтетических конструкциях действительных чисел (см. Аксиому наименьшей верхней границы ), и это также тесно связано с построением действительных чисел с использованием разрезов Дедекинда .
В теории порядка это свойство может быть обобщено до понятия полноты для любого частично упорядоченного множества . Линейно упорядоченное множество , что является плотным и имеет верхнюю грань свойство называется линейным континуумом .
Заявление о собственности
Выписка для действительных чисел
Пусть S - непустое множество действительных чисел .
- Действительное число х называется верхняя граница для S , если х ≥ s для всех s ∈ S .
- Действительное число х является не менее верхней границей (или грань ) для S , если х является верхней границей для S и х ≤ у для каждого верхней границы у из S .
Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что любой непустой набор действительных чисел, который имеет верхнюю границу, должен иметь наименьшую верхнюю границу в действительных числах .
Обобщение на упорядоченные множества
В более общем смысле , можно определить верхнюю границу , и верхняя граница для любого подмножества из в частично упорядоченного множества X , с «реальным числом» заменен на «элемент X ». В этом случае мы говорим , что X имеет наименее верхний предел свойство , если каждое непустое подмножество X с верхней границей имеет верхнюю грань в X .
Например, множество Q из рациональных чисел не имеет наименее верхний предел свойства при обычном порядке. Например, набор
имеет верхнюю границу в Q , но не имеет точной верхней границы в Q (так как квадратный корень из двух иррационален ). Построение действительных чисел с использованием дедекиндовы сокращений использует эту неудачу, определив иррациональные числа как наименее верхних границ некоторых подмножеств рациональных чисел.
Доказательство
Логический статус
Свойство наименьшей верхней границы эквивалентно другим формам аксиомы полноты , таким как сходимость последовательностей Коши или теорема о вложенных интервалах . Логический статус свойства зависит от конструкции используемых действительных чисел : в синтетическом подходе свойство обычно принимается как аксиома для действительных чисел (см. Аксиому наименьшей верхней границы ); при конструктивном подходе свойство должно быть доказано как теорема либо непосредственно из конструкции, либо как следствие некоторой другой формы полноты.
Доказательство с использованием последовательностей Коши
Свойство наименьшей верхней границы можно доказать, используя предположение, что каждая последовательность действительных чисел Коши сходится. Пусть S - непустое множество действительных чисел. Если S имеет ровно один элемент, то его единственный элемент является наименьшей верхней границей. Итак, рассмотрим S с более чем одним элементом и предположим, что S имеет верхнюю границу B 1 . Так как S не пусто и имеет более чем один элемент, то существует вещественное число 1 , который не является верхней границей для S . Определите последовательности A 1 , A 2 , A 3 , ... и B 1 , B 2 , B 3 , ... рекурсивно следующим образом:
- Проверьте ( A п + B п ) 2 / есть верхняя граница для S .
- Если это так, пусть A n +1 = A n и пусть B n +1 = ( A n + B n ) ⁄ 2 .
- В противном случае в S должен быть элемент s, так что s > ( A n + B n ) ⁄ 2 . Пусть A n +1 = s и B n +1 = B n .
Тогда A 1 ≤ A 2 ≤ A 3 ≤ ⋯ ≤ B 3 ≤ B 2 ≤ B 1 и | A n - B n | → 0 при n → ∞ . Из этого следует , что обе последовательности Коши и имеет тот же предел L , который должен быть по меньшей мере верхней границей для S .
Приложения
Свойство наименьшей верхней границы R можно использовать для доказательства многих основных основополагающих теорем реального анализа .
Теорема о промежуточном значении
Пусть f : [ a , b ] → R - непрерывная функция , и предположим, что f ( a ) <0 и f ( b )> 0 . В этом случае теорема о промежуточном значении утверждает, что f должен иметь корень в интервале [ a , b ] . Эту теорему можно доказать, рассматривая множество
- S = { s ∈ [ a , b ]: f ( x ) <0 для всех x ≤ s } .
То есть S - это начальный сегмент [ a , b ], который принимает отрицательные значения под f . Тогда b является верхней границей для S , а точная верхняя граница должна быть корнем f .
Теорема Больцано – Вейерштрасса.
Теорема Больцано – Вейерштрасса для R утверждает, что каждая последовательность x n действительных чисел на отрезке [ a , b ] должна иметь сходящуюся подпоследовательность . Эту теорему можно доказать, рассматривая множество
- S = { s ∈ [ a , b ]: s ≤ x n для бесконечного числа n } .
Ясно, что b является верхней границей для S , поэтому S имеет точную верхнюю границу c . Тогда c должна быть предельной точкой последовательности x n , и отсюда следует, что x n имеет подпоследовательность, сходящуюся к c .
Теорема об экстремальном значении
Пусть f : [ a , b ] → R - непрерывная функция и пусть M = sup f ([ a , b ]) , где M = ∞, если f ([ a , b ]) не имеет верхней границы. Теорема об экстремальном значении утверждает, что M конечно и f ( c ) = M для некоторого c ∈ [ a , b ] . Это можно доказать, рассматривая множество
- S = { s ∈ [ a , b ]: sup f ([ s , b ]) = M } .
Если с есть верхняя грань этого множества, то это следует из непрерывности , что F ( с ) = М .
Теорема Гейне – Бореля.
Пусть [ a , b ] - отрезок в R , и пусть { U α } - набор открытых множеств , покрывающий [ a , b ] . Тогда теорема Гейне – Бореля утверждает, что некоторая конечная подгруппа { U α } покрывает также [ a , b ] . Это утверждение можно доказать, рассматривая множество
- S = { s ∈ [ a , b ]: [ a , s ] покрывается конечным числом U α } .
Этот набор должен иметь наименьшую верхнюю границу c . Но c сам является элементом некоторого открытого множества U α , и отсюда следует, что [ a , c + δ ] может быть покрыто конечным числом U α для некоторого достаточно малого δ > 0 . Это доказывает, что c + δ ∈ S , и также приводит к противоречию, если только c = b .
История
Важность свойства наименьшей верхней границы была впервые признана Бернаром Больцано в его статье 1817 года Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewäahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege . [3]
Смотрите также
- Список реальных тем анализа
Заметки
- ^ Бартл и Шерберт (2011) определяют «свойство полноты» и говорят, что оно также называется «свойством супремума». (стр.39)
- ^ Уиллард говорит, что упорядоченное пространство «X является полным по Дедекинду, если каждое подмножество X, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу». (стр. 124-5, проблема 17E.)
- ↑ Раман-Сундстрём, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячник . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .
Рекомендации
- Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
- Алипрантис, Хараламбос Д .; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (Третье изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.
- Бартл, Роберт Дж .; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-43331-6.
- Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
- Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
- Данджелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
- Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 9780486434797.