В общей теории относительности , Ленза-Тирринг прецессия или эффект Ленза-Тирринг ( австрийский немецкий: [lɛnsə tɪrɪŋ] ; имя Джозеф Ленза и Ханс Тирринг ) является релятивистской поправкой к прецессии в виде гироскопа вблизи большой вращающейся массы , таких как Земли . Это гравитомагнитный эффект увлечения кадра . Это предсказание общей теории относительности, состоящее из вековых прецессий долготы восходящего узла и аргумента перицентра.пробной частицы, свободно вращающейся вокруг центральной вращающейся массы, наделенной угловым моментом .
Разница между прецессией де Ситтера и эффектом Лензе – Тирринга состоит в том, что эффект де Ситтера обусловлен просто наличием центральной массы, тогда как эффект Ленз – Тирринга обусловлен вращением центральной массы. Полная прецессия рассчитывается путем объединения прецессии де Ситтера с прецессией Лензе – Тирринга.
Согласно недавнему историческому анализу Пфистера [1] эффект следует переименовать в эффект Эйнштейна – Тирринга – Лензе.
Метрика Лензе – Тирринга
Гравитационное поле вращающегося сферического тела постоянной плотности было изучено Лензе и Тиррингом в 1918 г. в приближении слабого поля . Они получили метрику [2] [3]
где символы:
- метрика ,
- линейный элемент с плоским пространством в трех измерениях,
- «радиальное» положение наблюдателя,
- скорость света ,
- гравитационная постоянная ,
- полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты ,
- масса вращающегося тела,
- угловой момент вращающегося тела,
- тензор энергии-импульса .
Вышеизложенное представляет собой приближение слабого поля к полному решению уравнений Эйнштейна для вращающегося тела, известному как метрика Керра , которое из-за сложности решения не было получено до 1965 года.
Термин Кориолиса
Эффект перетаскивания кадра можно продемонстрировать несколькими способами. Один из способов - найти геодезические ; тогда они будут демонстрировать член, подобный силе Кориолиса , за исключением того, что в этом случае (в отличие от стандартной силы Кориолиса) сила не является фиктивной, а возникает из-за перетаскивания рамки, вызванного вращающимся телом. Так, например, (мгновенно) радиально падающая геодезическая на экваторе будет удовлетворять уравнению [2]
где
- время,
- это азимутальный угол (продольный угол),
- - величина углового момента вращающегося массивного тела.
Вышеизложенное можно сравнить со стандартным уравнением движения с учетом силы Кориолиса :
где - угловая скорость вращающейся системы координат. Обратите внимание, что в любом случае, если наблюдатель не движется в радиальном направлении, т. Е. Если, нет никакого воздействия на наблюдателя.
Прецессия
Эффект кадра перетаскивания вызовет гироскоп к прецессировать . Скорость прецессии определяется выражением [3]
где:
- - угловая скорость прецессии, вектор и один из его компонентов,
- момент количества движения вращающегося тела, как и прежде,
- обычное плоско-метрическое внутреннее произведение положения и углового момента.
То есть, если угловой момент гироскопа относительно неподвижных звезд равен , то прецессирует как
Скорость прецессии определяется выражением
где - символ Кристоффеля для указанной выше метрики. « Гравитация » Мизнера, Торна и Уиллера [3] дает подсказки, как это легче всего вычислить.
Гравитомагнитный анализ
В некоторых кругах популярно использовать гравитомагнитный подход к линеаризованным уравнениям поля . Причина такой популярности должна быть сразу же очевидна ниже, если сравнить ее с трудностями работы с уравнениями выше. Линеаризованная метрика можно считать из приведенной выше метрики Лензе – Тирринга, где , а также . В этом подходе линеаризованная метрика записывается в терминах гравитомагнетических потенциалов а также является
а также
где
- гравитоэлектрический потенциал, а
- гравитомагнитный потенциал. Здесь - трехмерная пространственная координата наблюдателя, а - момент количества движения вращающегося тела, точно такой, как определено выше. Соответствующие поля
для гравитоэлектрического поля и
- гравитомагнитное поле. Тогда для получения
как гравитомагнитное поле. Обратите внимание, что это половина частоты прецессии Лензе – Тирринга. В этом контексте прецессию Лензе – Тирринга можно по существу рассматривать как форму прецессии Лармора . Коэффициент 1/2 предполагает, что правильный гравитомагнитный аналог гиромагнитного отношения равен (что любопытно!) Двум.
Гравитомагнитный аналог силы Лоренца дается выражением
где - масса пробной частицы, движущейся со скоростью . Это может быть использовано прямым способом для вычисления классического движения тел в гравитомагнитном поле. Например, радиально падающее тело будет иметь скорость; прямая подстановка дает член Кориолиса, данный в предыдущем разделе.
Пример: маятник Фуко
Чтобы получить представление о величине эффекта, вышеизложенное можно использовать для вычисления скорости прецессии маятника Фуко , расположенного на поверхности Земли.
Для твердого шара однородной плотности, такого как Земля, радиуса , момент инерции определяется выражением так что абсолютное значение углового момента является с участием угловая скорость вращающегося шара.
Направление вращения Земли можно принять за ось z , тогда как ось маятника перпендикулярна поверхности Земли в радиальном направлении. Таким образом, мы можем взять, где это широта . Точно так же и расположение наблюдателя находится на поверхности Земли . Это оставляет скорость прецессии как
В качестве примера используется широта города Неймеген в Нидерландах. Эта широта дает значение прецессии Лензе – Тирринга.
При такой скорости маятник Фуко должен был бы колебаться более 16000 лет, чтобы прецессировать 1 градус. Несмотря на то, что он довольно мал, он все же на два порядка больше, чем прецессия Томаса для такого маятника.
Вышеупомянутое не включает прецессию де Ситтера ; его нужно будет добавить, чтобы получить полные релятивистские прецессии на Земле.
Экспериментальная проверка
Эффект Лензе – Тирринга и эффект перетаскивания кадра в целом продолжают изучаться экспериментально. Существуют две основные настройки для экспериментальных испытаний: прямое наблюдение с помощью спутников и космических аппаратов, вращающихся вокруг Земли, Марса или Юпитера, и косвенное наблюдение путем измерения астрофизических явлений, таких как аккреционные диски, окружающие черные дыры и нейтронные звезды , или астрофизические струи от них.
В Juno свита космического аппарата научных приборов в первую очередь будет характеризовать и исследовать трехмерный структуру полярного Юпитера магнитосферы , сияния и массовый состав. [4] Поскольку «Юнона» является полярно-орбитальной миссией, будет возможно измерить орбитальное торможение кадра , известное также как прецессия Лензе-Тирринга, вызванное угловым моментом Юпитера. [5]
Результаты астрофизических настроек представлены после следующего раздела.
Астрофизическая обстановка
Звезда, вращающаяся вокруг вращающейся сверхмассивной черной дыры, испытывает прецессию Лензе-Тирринга, в результате чего ее орбитальная линия узлов прецессирует с определенной скоростью [6]
где
- a и e - большая полуось и эксцентриситет орбиты,
- M - масса черной дыры,
- χ - безразмерный параметр спина (0 <χ <1).
Ожидается, что прецессию звезд Ленз-Тирринга около сверхмассивной черной дыры Млечный Путь можно будет измерить в течение следующих нескольких лет. [7]
Прецессирующие звезды также оказывают на черную дыру крутящий момент , заставляя ее ось вращения прецессировать со скоростью [8].
где
- L j - момент количества движения j-й звезды,
- a j и e j - его большая полуось и эксцентриситет.
Газовый аккреционный диск, который наклонен по отношению к вращающейся черной дыре, будет испытывать прецессию Лензе – Тирринга со скоростью, заданной вышеприведенным уравнением, после того, как установим e = 0 и отождествим a с радиусом диска. Поскольку скорость прецессии изменяется с расстоянием от черной дыры, диск будет «свертываться», пока вязкость не вынудит газ перейти в новую плоскость, выровненную с осью вращения черной дыры (« эффект Бардина – Петтерсона »). [9]
Астрофизические тесты
Ориентация астрофизического джета может использоваться как свидетельство для определения ориентации аккреционного диска ; Быстро меняющаяся ориентация струи предполагает переориентацию аккреционного диска, как описано выше. Именно такое изменение наблюдалось с рентгеновской двойной черной дырой в V404 Cygni . [10]
Пульсары излучают быстро повторяющиеся радиоимпульсы с чрезвычайно высокой регулярностью и могут быть измерены с точностью до микросекунд в течение нескольких лет и даже десятилетий. Недавнее исследование сообщает о наблюдении пульсара на узкой орбите с белым карликом с точностью до миллисекунды в течение двух десятилетий. Точное определение позволяет изучать изменение параметров орбиты; они подтверждают действие эффекта Лензе – Тирринга в этой астрофизической обстановке. [11]
Рекомендации
- ^ Пфистер, Х. (ноябрь 2007 г.). «К истории так называемого эффекта Лензе – Тирринга». Общая теория относительности и гравитации . 39 (11): 1735–1748. Bibcode : 2007GReGr..39.1735P . CiteSeerX 10.1.1.693.4061 . DOI : 10.1007 / s10714-007-0521-4 . S2CID 22593373 .
- ^ а б Рональд Адлер, Морис Базен, Менахем Шиффер (1965). «Раздел 7.7». Введение в общую теорию относительности . Книжная компания Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-000423-4.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ а б в Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер (1973). «Глава 19». Гравитация . WH Freeman. ISBN 0-7167-0334-3.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ "Цели науки Юноны" . Университет Висконсин-Мэдисон . Архивировано из оригинального 16 октября 2008 года . Проверено 13 октября 2008 года .
- ^ Иорио, Л. (август 2010 г.). «Юнона, угловой момент Юпитера и эффект Лензе-Тирринга». Новая астрономия . 15 (6): 554–560. arXiv : 0812.1485 . Bibcode : 2010NewA ... 15..554I . DOI : 10.1016 / j.newast.2010.01.004 .
- ^ Мерритт, Дэвид (2013). Динамика и эволюция ядер галактик . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . п. 169. ISBN. 9781400846122.
- ^ Эйзенхауэр, Франк; и другие. (Март 2011 г.). «ГРАВИТАЦИЯ: Наблюдение за движением Вселенной». Посланник . 143 : 16–24. Bibcode : 2011Msngr.143 ... 16E .
- ^ Мерритт, Дэвид ; Васильев, Евгений (ноябрь 2012 г.). «Спиновая эволюция сверхмассивных черных дыр и ядер галактик». Physical Review D . 86 (10): 102002. arXiv : 1205.2739 . Bibcode : 2012PhRvD..86j2002M . DOI : 10.1103 / PhysRevD.86.022002 . S2CID 118452256 .
- ^ Бардин, Джеймс М .; Петтерсон, Якобус А. (январь 1975 г.). "Эффект Линзы – Тирринга и аккреционные диски вокруг черных дыр Керра". Письма в астрофизический журнал . 195 : L65. Bibcode : 1975ApJ ... 195L..65B . DOI : 10.1086 / 181711 .
- ^ Джеймс Миллер-Джонс, Александра Дж. Тетаренко, Грегори Р. Сивакофф, Мэтью Дж. Миддлтон, Диего Альтамирано, Джемма Э. Андерсон, Томазо М. Беллони, Роб П. Фендер, Питер Г. Джонкер, Эльмар Г. Кёрдинг, Ханс А. Кримм, Дипанкар Майтра, Сера Маркофф, Симона Мильяри, Кунал П. Мули, Майкл П. Рупен, Дэвид М. Рассел, Томас Д. Рассел, Крейг Л. Саразин, Роберто Сориа, Валериу Тудозе (29 апреля 2019 г.). «Быстро меняющаяся ориентация струи в системе черных дыр звездной массы V404 Cygni» (PDF) . Природа . 569 (7756): 374–377. DOI : 10.1038 / s41586-019-1152-0 . PMID 31036949 . S2CID 139106116 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ «Пространство-время вращается вокруг мертвой звезды, снова доказывая правоту Эйнштейна» . Space.com .
Внешние ссылки
- (На немецком языке) объяснение эффекта Тирринга-линзы Имеются изображения для примера со спутником.