Координаты линии

В геометрии , координата линии используется для определения положения в линии так же , как координаты точки (или просто координаты ) используются для определения положения точки.

Линии в плоскости [ править ]

Есть несколько возможных способов указать положение линии на плоскости. Простой способ - пара ( m , b ), где уравнение прямой y  = mx  +  b . Здесь m - наклон, а b - точка пересечения с y . Эта система определяет координаты для всех линий, которые не являются вертикальными. Однако более распространено и проще с алгебраической точки зрения использовать координаты ( l , m ), где уравнение прямой имеет вид lx  +  my + 1 = 0. Эта система определяет координаты для всех линий, кроме тех, которые проходят через начало координат. Геометрические интерпретации l и m являются отрицательными обратными значениями пересечения x и y соответственно.

Исключение линий, проходящих через начало координат, может быть решено с помощью системы трех координат ( l , m , n ) для задания линии с помощью уравнения lx  +  my  +  n  = 0. Здесь l и m не могут быть одновременно равными 0. В этом уравнении значимы только отношения между l , m и n , другими словами, если координаты умножаются на ненулевой скаляр, то представленная линия остается той же самой. Итак, ( l , m , n ) - это системаоднородные координаты линии.

Если точки на реальной проективной плоскости представлены однородными координатами ( x , y , z ) , уравнение прямой будет lx  +  my  +  nz  = 0 при условии ( l , m , n ) ≠ (0,0,0) . В частности, координата линии (0, 0, 1) представляет прямую z  = 0, которая является бесконечно удаленной линией в проективной плоскости . Координаты линии (0, 1, 0) и (1, 0, 0) представляют xи оси y соответственно.

Тангенциальные уравнения [ править ]

Так же, как f ( x ,  y ) = 0 может представлять кривую как подмножество точек на плоскости, уравнение φ ( l ,  m ) = 0 представляет подмножество прямых на плоскости. Набор прямых на плоскости можно в абстрактном смысле рассматривать как набор точек на проективной плоскости, двойственной исходной плоскости. Уравнение φ ( l ,  m ) = 0 тогда представляет собой кривую в двойственной плоскости.

Для кривой f ( x ,  y ) = 0 на плоскости касательные к кривой образуют кривую в двойственном пространстве, называемую дуальной кривой . Если φ ( l ,  m ) = 0 - уравнение двойственной кривой, то оно называется касательным уравнением для исходной кривой. Данное уравнение φ ( l ,  m ) = 0 представляет кривую в исходной плоскости, определяемую как огибающая линий, которые удовлетворяют этому уравнению. Аналогично, если φ ( l ,  m ,  n ) - однородная функция, то φ ( l,  m ,  n ) = 0 представляет собой кривую в двойственном пространстве, заданную в однородных координатах, и может быть названо однородным касательным уравнением огибающей кривой.

Тангенциальные уравнения полезны при изучении кривых, определенных как огибающие, точно так же, как декартовы уравнения полезны при изучении кривых, определенных как локусы.

Тангенциальное уравнение точки [ править ]

Линейное уравнение в линейных координатах имеет вид al  +  bm  +  c  = 0, где a , b и c - константы. Предположим , что прямая ( l ,  m ) удовлетворяет этому уравнению. Если c не 0, то lx  +  my  + 1 = 0, где x  =  a / c и y  =  b / c , поэтому каждая линия, удовлетворяющая исходному уравнению, проходит через точку ( x ,  y ). И наоборот, любая прямая, проходящая через ( x,  y ) удовлетворяет исходному уравнению, поэтому al  +  bm  +  c  = 0 - это уравнение множества прямых, проходящих через ( x ,  y ). Для данной точки ( x ,  y ) уравнение набора прямых равно lx  +  my  + 1 = 0, поэтому его можно определить как касательное уравнение точки. Аналогично, для точки ( x ,  y ,  z ), заданной в однородных координатах, уравнение точки в однородных касательных координатах будет lx  +  my  +  nz  = 0.

Формулы [ править ]

Пересечение прямых ( l ₁ ,  m ₁ ) и ( l ₂ ,  m ₂ ) является решением линейных уравнений

${\ Displaystyle l_ {1} х + м_ {1} y + 1 = 0}$

${\ displaystyle l_ {2} x + m_ {2} y + 1 = 0.}$

По правилу Крамера решение

${\ displaystyle x = {\ frac {m_ {1} -m_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}}, \, y = - {\ frac {l_) {1} -l_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}}.}$

Строки ( l ₁ ,  m ₁ ), ( l ₂ ,  m ₂ ) и ( l ₃ ,  m ₃ ) совпадают, когда определитель

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & 1 \\ l_ {2} & m_ {2} & 1 \\ l_ {3} & m_ {3} & 1 \ end {vmatrix}} = 0.}$

Для однородных координат пересечение прямых ( l ₁ ,  m ₁ ,  n ₁ ) и ( l ₂ ,  m ₂ ,  n ₂ ) равно

${\ displaystyle (m_ {1} n_ {2} -m_ {2} n_ {1}, \, l_ {2} n_ {1} -l_ {1} n_ {2}, \, l_ {1} m_ { 2} -l_ {2} m_ {1}).}$

Строки ( l ₁ ,  m ₁ ,  n ₁ ), ( l ₂ ,  m ₂ ,  n ₂ ) и ( l ₃ ,  m ₃ ,  n ₃ ) совпадают, когда определитель

${\displaystyle {\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Соответственно, координаты строки, содержащей ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ), равны

${\displaystyle (y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}).}$

Линии в трехмерном пространстве [ править ]

Для двух заданных точек на реальной проективной плоскости ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ) три определителя

${\displaystyle y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}$

определить содержащую их проективную линию .

Аналогично, для двух точек в RP ³ , ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ,  w ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ,  w ₂ ), линия, содержащая их, определяется шестью определителями

${\displaystyle x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\,x_{1}z_{2}-x_{1}z_{2},\,y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\,y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1},\,z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.}$

Это основа для системы однородных линейных координат в трехмерном пространстве, называемых координатами Плюккера . Шесть чисел в наборе координат представляют собой линию, только если они удовлетворяют дополнительному уравнению. Эта система отображает пространство прямых в трехмерном пространстве в проективное пространство RP ⁵ , но с дополнительным требованием пространство прямых соответствует квадрике Клейна , которая является многообразием размерности четыре.

В более общем смысле, прямые в n -мерном проективном пространстве определяются системой из n ( n  - 1) / 2 однородных координат, которые удовлетворяют набору ( n  - 2) ( n  - 3) / 2 условий, что приводит к многообразию размерности 2 ( n  - 1).

С комплексными числами [ править ]

Исаак Яглом показал ^[1], как двойные числа обеспечивают координаты ориентированных прямых на евклидовой плоскости, а разделенные комплексные числа образуют линейные координаты гиперболической плоскости . Координаты зависят от наличия на ней начала координат и опорной линии. Затем для произвольной линии ее координаты находятся от пересечения с опорной линией. Используются расстояние s от начала координат до пересечения и угол наклона θ между двумя линиями:

${\displaystyle z=(\tan {\frac {\theta }{2}})(1+s\epsilon )}$- двойственное число ^{[1] : 81} для евклидовой прямой и

${\displaystyle z=(\tan {\frac {\theta }{2}})(\cosh s+j\sinh s)}$- расщепляемое комплексное число ^{[1] : 118} для прямой на плоскости Лобачевского.

Поскольку в плоскости Лобачевского есть линии, ультрапараллельные опорной линии, им также нужны координаты: существует единственный общий перпендикуляр , скажем, s - это расстояние от начала координат до этого перпендикуляра, а d - длина отрезка между опорной точкой и точкой отсчета. данная строка.

${\displaystyle z=(\tanh {\frac {d}{2}})(\sinh s+j\cosh s)}$обозначает ультрапараллельную линию. ^{[1] : 118}

Движения линейной геометрии описываются дробно-линейными преобразованиями на соответствующих комплексных плоскостях. ^{[1] : 87 123}

См. Также [ править ]

• Соглашения по робототехнике

Ссылки [ править ]

• Бейкер, Генри Фредерик (1923), Принципы геометрии. Том 3. Твердая геометрия. Квадрики, кубические кривые в пространстве, кубические поверхности. , Коллекция Кембриджской библиотеки, Издательство Кембриджского университета , стр. 56, ISBN 978-1-108-01779-4, Руководство по ремонту  2857520. Переиздано в 2010 г.
• Джонс, Альфред Клемент (1912). Введение в алгебраическую геометрию . Кларендон. п. 390.