Абстракция в математике — это процесс извлечения лежащих в основе структур , закономерностей или свойств математической концепции, устранения любой зависимости от объектов реального мира, с которыми она изначально могла быть связана, и ее обобщения, чтобы она имела более широкое применение или сопоставлялась с другими абстрактными понятиями. описание эквивалентных явлений . [1] [2] [3] Двумя наиболее абстрактными областями современной математики являются теория категорий и теория моделей .
Многие области математики начались с изучения проблем реального мира до того, как основные правила и концепции были идентифицированы и определены как абстрактные структуры . Например, геометрия берет свое начало в вычислении расстояний и площадей в реальном мире, а алгебра началась с методов решения задач по арифметике .
Абстракция — это непрерывный процесс в математике, и историческое развитие многих математических тем демонстрирует прогресс от конкретного к абстрактному. Например, первые шаги в абстракции геометрии исторически были сделаны древними греками, а «Элементы» Евклида были самым ранним из сохранившихся документов по аксиомам планиметрии, хотя Прокл рассказывает о более ранней аксиоматизации Гиппократом Хиосским . [4] В 17 веке Декарт ввел декартовы координаты , которые позволили развить аналитическую геометрию . Дальнейшие шаги в абстракции сделал Лобачевский ., Бойяи , Риман и Гаусс , которые обобщили концепции геометрии для разработки неевклидовых геометрий . Позже, в 19 веке, математики обобщили геометрию еще дальше, развивая такие области, как геометрия в n измерениях , проективная геометрия , аффинная геометрия и конечная геометрия . Наконец , « Эрлангенская программа » Феликса Кляйна определила основную тему всех этих геометрий, определив каждую из них как изучение свойств, инвариантных относительно данной группы симметрий .. Этот уровень абстракции выявил связи между геометрией и абстрактной алгеброй . [5]
С другой стороны, абстракция также может быть невыгодной, поскольку очень абстрактные концепции могут быть трудны для изучения. [6] Для концептуального усвоения абстракций может потребоваться определенная степень математической зрелости и опыта.
Бертран Рассел в The Scientific Outlook (1931) пишет, что «Обыденный язык совершенно не подходит для выражения того, что на самом деле утверждает физика, поскольку слова повседневной жизни недостаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать так же мало, как физик. сказать." [7]