Минимальное сцепление

В аналитической механике и квантовой теории поля , минимальное сцепление относится к связи между полями , которая влечет за собой только заряд распределение и не выше мультипольных моментов распределения заряда. Эта минимальная муфта в отличие, например, Паули муфта , которая включает в себя магнитный момент в качестве электрона непосредственно в лагранжиане .

Электродинамика [ править ]

В электродинамике минимальная связь достаточна для учета всех электромагнитных взаимодействий. Более высокие моменты частиц являются следствием минимального взаимодействия и ненулевого спина .

Нерелятивистская заряженная частица в электромагнитном поле [ править ]

В декартовой системе координат , то лагранжиан из нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле (в единицах СИ ):

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {\ tfrac {1} {2}} m {\ dot {x}} _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i} q {\ dot {x}} _ {i} A_ {i} -q \ varphi}$

где q - электрический заряд частицы, φ - электрический скалярный потенциал , а A _i - компоненты векторного магнитного потенциала, которые все могут явно зависеть от и .${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle t}$

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера – Лагранжа дает закон силы Лоренца

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$

и называется минимальной связью .

Следует отметить , что значения скалярного потенциала и векторного потенциала будет меняться в течение калибровочного преобразования , ^[1] , а сам лагранжиан будет подобрать дополнительные термины , как хорошо; Но дополнительные члены в лагранжиане складываются в полную производную по времени скалярной функции и, следовательно, по-прежнему приводят к тому же уравнению Эйлера-Лагранжа.

В канонических импульсах задаются следующим образом:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

Обратите внимание, что канонические импульсы не являются калибровочно-инвариантными и физически не измеримыми. Однако кинетический импульс

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

калибровочно инвариантен и физически измерим.

Гамильтонова , как преобразования Лежандра лагранжиана, поэтому:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

Это уравнение часто используется в квантовой механике .

Под калибровочным преобразованием:

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

где f ( r , t ) - любая скалярная функция пространства и времени, вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и гамильтоново преобразование, например:

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

который по-прежнему дает то же уравнение Гамильтона:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

В квантовой механике волновая функция также будет подвергаться локальному преобразованию группы U (1) ^[2] во время калибровочного преобразования, что означает, что все физические результаты должны быть инвариантными относительно локальных преобразований U (1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле [ править ]

Релятивистский лагранжиан для частицы ( масса покоя т и заряд д ) определяется по формуле:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

Таким образом, канонический импульс частицы равен

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

то есть сумма кинетического импульса и потенциального импульса.

Решая для скорости, мы получаем

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

Итак, гамильтониан

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

Это приводит к уравнению силы (эквивалентному уравнению Эйлера – Лагранжа )

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

из которого можно вывести

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

Приведенный выше вывод использует тождество векторного исчисления :

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функция релятивистского (кинетического) импульса, Р = Г т х ( т ) = р - д А , является

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс P можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс p нельзя. Обратите внимание, что гамильтониан ( полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетическая + покой) , E = γmc ² , плюс потенциальная энергия , V = eφ .

Инфляция [ править ]

В исследованиях космологической инфляции , минимальная связь скалярного поля , как правило , относится к минимальной связи силы тяжести. Это означает, что действие поля инфлатона не связано со скалярной кривизной . Его единственная связь с гравитацией - это связь с инвариантной мерой Лоренца, построенной из метрики (в единицах Планка ):${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\sqrt {g}}\,d^{4}x}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)}$

где , и используя калибровочную ковариантную производную .${\displaystyle g:=\det g_{\mu \nu }}$

Ссылки [ править ]