В математике , взорвав или раздутие типа геометрического преобразования , которое заменяет подпространство заданного пространства со всеми направлениями , указывая из этого подпространства. Например, раздутие точки на плоскости заменяет точку проектируемым касательным пространством в этой точке. Метафора заключается в увеличении фотографии для увеличения части изображения, а не в упоминании взрыва .
Раздутие - это наиболее фундаментальное преобразование в бирациональной геометрии , потому что каждый бирациональный морфизм между проективными многообразиями - это раздутие. Теорема о слабой факторизации гласит, что каждое бирациональное отображение можно разложить на множители как композицию особенно простых раздутий. Группа Кремоны , группа бирациональных автоморфизмов плоскости, порождается раздутием.
Помимо их важности для описания бирациональных преобразований, раздутие также является важным способом построения новых пространств. Например, большинство процедур разрешения сингулярностей продолжаются вздутием сингулярностей до тех пор, пока они не станут гладкими. Следствием этого является то, что разрушения можно использовать для разрешения особенностей бирациональных отображений.
Классически раздутие определялось внешне, сначала определяя раздутие в пространствах, таких как проективное пространство, с помощью явной конструкции в координатах, а затем определяя раздутие в других пространствах в терминах вложения. Это отражено в некоторой терминологии, такой как классический термин моноидальное преобразование . Современная алгебраическая геометрия рассматривает раздутие как внутреннюю операцию алгебраического многообразия. С этой точки зрения разрушение - это универсальный (в смысле теории категорий ) способ превратить подмногообразие в дивизор Картье .
Раздутие также можно назвать моноидальным преобразованием , локально-квадратичным преобразованием , дилатацией , σ- процессом или отображением Хопфа .
Раздутие точки на плоскости
Простейший случай разрушения - это раздутие точки на плоскости. На этом примере можно увидеть большинство общих черт взрыва.
У взрыва есть синтетическое описание как соответствие инцидентности. Напомним, что грассманиан G (1,2) параметризует множество всех прямых, проходящих через точку на плоскости. Раздутие проективной плоскости P 2 в точке Р , которую мы будем обозначать X , является
Здесь Q обозначает другую точку, аявляется элементом грассманиана. X - проективное многообразие, потому что это замкнутое подмногообразие произведения проективных многообразий. Он имеет естественный морфизм π в P 2, который переводит парудля Q . Этот морфизм является изоморфизмом на открытом подмножестве всех точекс Q ≠ P, поскольку прямаяопределяется этими двумя точками. Однако, когда Q = P , линияможет быть любой линией , проходящей через P . Эти прямые соответствуют пространству направлений через P , которое изоморфно P 1 . Это Р 1 называется исключительный делитель , и по определению это проективизированное нормальное пространство в P . Поскольку Р является точкой, нормальное пространство такого же , как касательное пространство, поэтому исключительный делитель изоморфен проективизированным касательного пространства P .
Чтобы задать координаты разрушения, мы можем записать уравнения для вышеупомянутого соответствия инцидентности. Задайте P 2 однородные координаты [ X 0 : X 1 : X 2 ], в которых P является точкой [ P 0 : P 1 : P 2 ]. По проективной двойственности , G (1,2) изоморфна P 2 , так что мы можем дать ему однородные координаты [ L 0 : L 1 : L 2 ]. Линия- это множество всех [ X 0 : X 1 : X 2 ] таких, что X 0 L 0 + X 1 L 1 + X 2 L 2 = 0. Следовательно, разрушение можно описать как
Раздутие - это изоморфизм от P , и, работая в аффинной плоскости вместо проективной плоскости, мы можем дать более простые уравнения для раздутия. После проективного преобразования можно считать, что P = [0: 0: 1]. Запишите x и y для координат на аффинной плоскости X 2 ≠ 0. Условие P ∈следует, что L 2 = 0, поэтому мы можем заменить грассманиан на P 1 . Тогда раздутие - это разновидность
Чаще всего меняют координаты, чтобы перевернуть один из знаков. Тогда раздутие можно записать как
Это уравнение легче обобщить, чем предыдущее.
Раздутие можно легко визуализировать, если мы удалим точку бесконечности грассманиана, например, установив w = 1, и получим стандартную седловую поверхность y = xz в трехмерном пространстве.
Разрушение также можно описать, используя координаты в нормальном пространстве к точке. Снова работаем на аффинной плоскости A 2 . Нормальное пространство к началу координат - это векторное пространство m / m 2 , где m = ( x , y ) - максимальный идеал начала координат. Алгебраически проективизация этого векторного пространства есть Proj его симметрической алгебры, то есть
В этом примере это имеет конкретное описание как
где x и y имеют степень 0, а z и w имеют степень 1.
Над действительными или комплексными числами раздутие имеет топологическое описание как связную сумму . Предположим, что P - начало координат в A 2 ⊆ P 2 , и обозначим через L прямую на бесконечности. 2 \ {0} имеет инверсию карту т , которая посылает ( х , у ) в ( х / (| х | 2 + | у | 2 ), у / (| х | 2 + | у | 2 )). t - инверсия окружности относительно единичной сферы S : она фиксирует S , сохраняет каждую прямую, проходящую через начало координат, и меняет местами внутреннюю часть сферы с внешней. т продолжается до непрерывного отображения Р 2 \ {0} → A 2 , посылая линию в бесконечности до начала координат. Это расширение, которое мы также обозначаем t , можно использовать для построения разрушения. Обозначим через C дополнение к единичному шару. Раздутие Х представляет собой многообразие , полученное путем присоединения двух копий C вдоль S . X поставляется с картой я к Р 2 , тождественный на первом экземпляре C и т на второй копии C . Эта карта является изоморфизмом от Р , а слой над Р является линия на бесконечности во второй копии C . Каждая точка на этой прямой соответствует уникальной прямой, проходящей через начало координат, поэтому слой над π соответствует возможным нормальным направлениям через начало координат.
Для CP 2 этот процесс должен привести к ориентированному многообразию. Чтобы это произошло, двум копиям C следует дать противоположные ориентации. В символах X - это, где является CP 2 с противоположной стандартной ориентации.
Взрыв точек в сложном пространстве
Пусть Z - начало координат в n -мерном комплексном пространстве C n . То есть Z - это точка, в которой n координатных функцийодновременно исчезают. Пусть P n - 1 - ( n - 1) -мерное комплексное проективное пространство с однородными координатами. Позволять- подмножество C n × P n - 1, которое одновременно удовлетворяет уравнениямдля i, j = 1, ..., n . Проекция
естественно индуцирует голоморфное отображение
Это отображение π (или, часто, пространство ) называется раздутием ( раздутие или раздутие ) C n .
Исключительный дивизор Е определяется как прообраз раздутия локуса Z при я. Легко увидеть, что
копия проективного пространства. Это эффективный делитель . Вдали от E π является изоморфизмом междуи C n \ Z ; это бирациональная карта междуи C n .
Если вместо этого мы рассмотрим голоморфную проекцию
получаем тавтологическое линейное расслоение в и мы можем идентифицировать исключительный дивизор с нулевым сечением, а именно который присваивает каждой точке нулевой элемент в волокне над .
Раздутие подмногообразий в комплексных многообразиях
Вообще говоря, можно взорвать любое комплексное подмногообразие Z коразмерности k в C n . Предположим, что Z - геометрическое место уравнений , и разреши - однородные координаты на P k - 1 . Затем взрыв геометрическое место уравнений для всех i и j в пространстве C n × P k - 1 .
В более общем смысле можно взорвать любое подмногообразие любого комплексного многообразия X , применяя эту конструкцию локально. Эффект, как и раньше, чтобы заменить раздутие локуса Z с исключительными делителями Е . Другими словами, карта взрыва
- бирациональное отображение , индуцирующее вне E , изоморфизм, а на E - локально тривиальное расслоение со слоем P k - 1 . Действительно, ограничениеестественно рассматривать как проективизации нормального пучка из Z в X .
Поскольку E - гладкий дивизор, его нормальное расслоение является линейным . Нетрудно показать, что E отрицательно пересекает себя. Это означает, что его нормальное расслоение не имеет голоморфных сечений; E - единственный гладкий комплексный представитель своего класса гомологий в. (Предположим, что E можно перетормозить на другое комплексное подмногообразие того же класса. Тогда два подмногообразия будут положительно пересекаться - как это всегда делают комплексные подмногообразия - что противоречит отрицательному самопересечению E. ) Вот почему дивизор называется исключительным.
Пусть V некоторое подмногообразие X , кроме Z . Если V не пересекается с Z , то это, по существу , не зависит от раздутия вдоль Z . Однако, если он пересекает Z , то есть два различных аналога V в раздутии.. Один из них - правильное (или строгое ) преобразование , которое является замыканием; его нормальный комплект вкак правило , отличается от V в X . Другой - полное преобразование , которое включает часть или все E ; по сути, это откат V в когомологиях .
Взрывные схемы
Чтобы продолжить разрушение в его наибольшей общности, пусть X - схема , и пустьбыть когерентным пучком идеалов на X . Раздутие X относительно это схема вместе с морфизмом
такой, что является обратимым пучком , характеризующимся этим универсальным свойством : для любого морфизма f : Y → X такого, чтоявляется обратимым пучком , F факторов однозначно через я.
Заметь
имеет это свойство; так устроен раздутие. Здесь Proj - конструкция Proj на градуированных пучках коммутативных колец .
Исключительные делители
Исключительный делитель из раздутия - подсхема, определяемая прообразом пучка идеалов , который иногда обозначают . Из определения разрушения в терминах Proj следует, что эта подсхема E определяется пучком идеалов. Этот идеальный пучок также является относительным для π.
π является изоморфизмом, отличным от исключительного дивизора, но этот исключительный дивизор не обязательно должен находиться в исключительном множестве дивизора π. То есть, π может быть изоморфизмом на E . Это происходит, например, в тривиальной ситуации, когдауже является обратимым пучком. В частности, в таких случаях морфизм π не определяет исключительный дивизор. Другая ситуация, когда исключительное множество может быть строго меньше исключительного дивизора, - это когда X имеет особенности. Например, пусть X - аффинный конус над P 1 × P 1 . X можно указать как множество исчезающих точек xw - yz в A 4 . Идеалы ( х , у ) и ( х , г ) определяют две плоскости, каждая из которых проходит через вершину X . Вдали от вершины эти плоскости являются гиперповерхностями в X , поэтому раздутие является там изоморфизмом. Таким образом, исключительное геометрическое место раздутия любой из этих плоскостей центрируется над вершиной конуса и, следовательно, строго меньше, чем исключительный дивизор.
Дальнейшие примеры
Раздутие линейных подпространств
Позволять - n -мерное проективное пространство. Зафиксируем линейное подпространство L коразмерности d . Есть несколько явных способов описать взрыввдоль L . Предположим, что имеет координаты . После изменения координат можно считать, что. Раздутие может быть встроено в. Позволятьбыть координатами по второму множителю. Поскольку L определяется регулярной последовательностью, разрушение определяется обращением в нуль миноров два на два матрицы
Этот взрыв можно также дать синтетическое описание как соответствие инцидентности
Раздутие пересечений кривых теоретико-схематическим путем
Позволять - однородные многочлены общего положения степени (что означает, что связанные с ними проективные многообразия пересекаются в точек по теореме Безу ). Следующий проективный морфизм из схем дает модель раздутия в точки:
Взгляд на волокна объясняет, почему это так: если мы возьмем точку тогда диаграмма отката
говорит нам, что волокно является точкой, когда или же и волокно если .
Связанные конструкции
В описанном выше взрыве C n не было ничего существенного в использовании комплексных чисел; раздуть можно над любым полем . Например, в режиме реального раздутия R 2 в результатах происхождения в Мёбиусе ; соответственно, раздутие двумерной сферы S 2 результаты в вещественной проективной плоскости .
Деформация нормального конуса - это метод раздува, используемый для доказательства многих результатов в алгебраической геометрии. Для схемы X и замкнутой подсхемы V взрывается
потом
является расслоением. Общий слой естественно изоморфен X , в то время как центральный слой представляет собой объединение двух схем: один это раздутие X вдоль V , а другой представляют собой нормальный конус из V с его волокнами законченных до проективных пространств.
Раздутие также может быть выполнено в симплектической категории, наделив симплектическое многообразие совместимой почти комплексной структурой и продолжив комплексное раздутие. Это имеет смысл на чисто топологическом уровне; Однако, наделяя раздутие с симплектической формой требует некоторой осторожности, потому что один не может произвольно расширить симплектическую форму через исключительный делитель Е . Нужно изменить симплектическую форму в окрестности E или выполнить раздутие, вырезав окрестность Z и схлопнув границу четко определенным образом. Лучше всего это понять, используя формализм симплектического разрезания , частным случаем которого является симплектическое раздутие. Симплектическое разрезание вместе с обратной операцией симплектического суммирования является симплектическим аналогом деформации нормального конуса вдоль гладкого дивизора.
Смотрите также
- Бесконечно близкая точка
- Разрешение особенностей
Рекомендации
- Фултон, Уильям (1998). Теория пересечения . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2.
- Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-32792-1.
- Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
- Макдафф, Дуса; Саламон, Дитмар (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850451-9.