теория Морзе

В математике , особенно в дифференциальной топологии , теория Морса позволяет анализировать топологию многообразия , изучая дифференцируемые функции на этом многообразии . Согласно основным идеям Марстона Морса , типичная дифференцируемая функция на многообразии будет совершенно непосредственно отражать топологию. Теория Морса позволяет находить КС-структуры и обрабатывать разложения на многообразиях, а также получать существенную информацию об их гомологиях .

До Морса Артур Кэли и Джеймс Клерк Максвелл развили некоторые идеи теории Морса в контексте топографии . Первоначально Морс применил свою теорию к геодезическим ( критическим точкам энергетического функционала на путях ). Эти приемы использовались Раулем Боттом в доказательстве его теоремы о периодичности .

Рассмотрим для иллюстрации горный ландшафт . Если функция отправляет каждую точку на ее высоту , то прообразом точки является контурная линия (в более общем смысле — набор уровней ). Каждая связная компонента контурной линии представляет собой либо точку, либо простую замкнутую кривую , либо замкнутую кривую с двойной точкой . Горизонтали могут иметь и точки более высокого порядка (тройные точки и т. д.), но они неустойчивы и могут быть устранены небольшой деформацией ландшафта. Двойные точки контурных линий встречаются в седловых точках. ${\ Displaystyle М.}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle М \ к \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ или проходит. Седловые точки — это точки, в которых окружающий ландшафт изгибается вверх в одном направлении и вниз в другом.

Представьте, что этот пейзаж залит водой. Тогда область, покрытая водой, когда вода достигает отметки , или точки с высотой меньше или равной Рассмотрим, как топология этой области изменяется по мере подъема воды. Интуитивно кажется, что она не изменяется, за исключением случаев, когда она проходит высоту критической точки ; то есть точка, в которой градиент равен ( то есть матрица Якоби, действующая как линейная карта из касательного пространства в этой точке в касательное пространство в ее образе под картой , не имеет максимального ранга). Другими словами, она не меняется, за исключением случаев, когда вода либо (1) начинает заполнять таз, (2) покрывает седло (а ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle е ^ {- 1} (- \ infty, а]}$ ${\ Displaystyle а.}$ ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle е}$ горный перевал ), или (3) погружает вершину.

Седловая точка

Контурные линии вокруг седловой точки

Тор

Эти фигуры гомотопически эквивалентны.