Логика

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: соответствие MOS . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Сентябрь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В философии математики , логицизм представляет собой программу , содержащую одну или несколько тезисов , которые - по какой - когерентных смысл « логики » - математики является продолжением логики, некоторые или все математики сводимы к логике, или некоторые или все математика может быть смоделирована в логике. ^[1] Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед отстаивали эту программу, инициированную Готтлобом Фреге и впоследствии разработанную Ричардом Дедекиндом и Джузеппе Пеано .

Обзор

Путь Дедекинда к логицизму имел поворотный момент, когда он смог построить модель, удовлетворяющую аксиомам, характеризующим действительные числа, с использованием определенных наборов рациональных чисел . Эта и связанные с ней идеи убедили его, что арифметика, алгебра и анализ могут быть сведены к натуральным числам плюс «логика» классов. Более того, к 1872 году он пришел к выводу, что сами натуральные числа сводятся к множествам и отображениям. Вполне вероятно, что другие логики, в первую очередь Фреге, также руководствовались новыми теориями реальных чисел, опубликованными в 1872 году.

Философский импульс логицистской программы Фреге начиная с Grundlagen der Arithmetik и далее был отчасти его неудовлетворенностью эпистемологическими и онтологическими обязательствами существовавших на тот момент описаний натуральных чисел и его убеждением в том, что использование Кантом истин о натуральных числах в качестве примеров синтетических априори правда была неверна.

Это положило начало периоду расширения логицизма с Дедекиндом и Фреге в качестве его основных представителей. Однако эта начальная фаза логицистской программы оказалась в кризисе с открытием классических парадоксов теории множеств (Cantor 1896, Zermelo and Russell 1900–1901). Фреге отказался от проекта после того, как Рассел осознал и сообщил о своем парадоксе, выявив несоответствие в системе Фреге, изложенной в Grundgesetze der Arithmetik. Обратите внимание, что наивная теория множеств также страдает от этой трудности.

С другой стороны, Рассел написал «Принципы математики» в 1903 году, используя парадокс и разработки геометрической школы Джузеппе Пеано . Поскольку он рассматривал тему примитивных понятий в геометрии и теории множеств, этот текст стал водоразделом в развитии логицизма. Доказательства утверждения логицизма были собраны Расселом и Уайтхедом в их Principia Mathematica . ^[2]

Сегодня считается, что большая часть существующей математики логически выводится из небольшого числа внелогических аксиом, таких как аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля (или ее расширения ZFC ), из которых еще не было выведено никаких противоречий. Таким образом, элементы логицистских программ оказались жизнеспособными, но в процессе теории классов, множеств и отображений, а также логик более высокого порядка, отличных от семантики Хенкина , стали рассматриваться как внелогичные по своей природе, отчасти под влиянием Поздняя мысль Куайна .

Теоремы Курта Гёделя о неполноте показывают, что никакая формальная система, из которой могут быть выведены аксиомы Пеано для натуральных чисел - такая как системы Рассела в PM - не может определить все правильно сформированные предложения этой системы. ^[3] Этот результат повредил программу Гильберта по основам математики, согласно которой `` бесконечные '' теории, такие как теория PM, должны были быть доказаны согласованными с финитарными теориями, с тем, чтобы те, кто беспокоился о `` бесконечных методах '', могли быть уверены в том, что их использование не должно доказуемо. приводят к противоречию. Результат Гёделя предполагает, что для того, чтобы сохранить логицистскую позицию, сохраняя при этом как можно больше классической математики, нужно принять некоторую аксиому бесконечности как часть логики. На первый взгляд, это наносит ущерб и логической программе, хотя и только для тех, кто уже сомневается в «бесконечных методах». Тем не менее, позиции, вытекающие как из логицизма, так и из гильбертовского финитизма, продолжали выдвигаться после публикации результата Гёделя.

Одним из аргументов в пользу того, что программы, основанные на логицизме, остаются в силе, может быть то, что теоремы о неполноте «доказываются с помощью логики, как и любые другие теоремы». Однако этот аргумент, похоже, не признает различия между теоремами логики первого порядка и теоремами логики высшего порядка . Первое можно доказать с помощью финишных методов, а второе - в целом - нет. Теорема Тарского о неопределенности показывает, что нумерация Гёделя может использоваться для доказательства синтаксических конструкций, но не семантических утверждений. Следовательно, утверждение о том, что логицизм остается действительной программой, может заставить человека считать, что система доказательства, основанная на существовании и свойствах натуральных чисел, менее убедительна, чем система, основанная на какой-то конкретной формальной системе.^[4]

Логицизм - особенно благодаря влиянию Фреге на Рассела и Витгенштейна ^[5], а затем и на Даммета - внес значительный вклад в развитие аналитической философии в двадцатом веке.

Происхождение названия логицизм

Айвор Граттан-Гиннесс утверждает, что французское слово «логистика» было «введено Кутюра и другими на Международном философском конгрессе 1904 года и с тех пор использовалось Расселом и другими в версиях, подходящих для разных языков». (GG 2000: 501).

По-видимому, первое (и единственное) употребление Рассела появилось в его 1919 году: «Рассел несколько раз ссылался [sic] на Фреге, представляя его как человека,« который первым преуспел в «логизации» математики »(стр. 7). (который Рассел частично исправил, объяснив свой собственный взгляд на роль арифметики в математике), этот отрывок примечателен словом, которое он заключил в кавычки, но их присутствие предполагает нервозность, и он больше никогда не использовал это слово, так что « логицизм «появился только в конце 1920-х годов» (GG 2002: 434). ^[6]

Примерно в то же время, что и Карнап (1929), но, по-видимому, независимо, Френкель (1928) использовал это слово: «Без комментариев он использовал название« логицизм »для характеристики позиции Уайтхеда / Рассела (в названии раздела на стр. 244). , объяснение на стр. 263) »(GG 2002: 269). Карнап использовал несколько иное слово «Логистик»; Беманн жаловался на его использование в рукописи Карнапа, поэтому Карнап предложил слово «логизизм», но в конце концов он придерживался своего словосочетания «Логистик» (GG 2002: 501). В конечном итоге «с 1930 года распространение происходило в основном за счет Карнапа». (GG 2000: 502).

Намерение или цель логицизма

Символическая логика : явное намерение логицизма состоит в том, чтобы вывести всю математику из символической логики (Фреге, Дедекинд, Пеано, Рассел). В отличие от алгебраической логики ( булевой логики ), которая использует арифметические концепции, символическая логика начинается с очень ограниченного набора метки (неарифметические символы), несколько «логических» аксиом, воплощающих «законы мышления», и правила вывода, которые диктуют, как метки должны быть собраны и обработаны - например, подстановка и modus ponens(т.е. из [1] A материально следует B и [2] A, можно вывести B). Логицизм также заимствует из оснований Фреге редукцию высказываний естественного языка от «субъекта | предиката» к пропозициональным «атомам» или «аргументу | функции» «обобщения» - понятиям «все», «некоторые», «класс» ( сбор, совокупность) и «отношение».

При логическом выводе натуральных чисел и их свойств никакая «интуиция» числа не должна «проникать» ни в качестве аксиомы, ни случайно. Цель состоит в том, чтобы вывести всю математику, начиная с подсчета чисел, а затем с реальных чисел, только на основе некоторых выбранных «законов мысли», без каких-либо неявных предположений «до» и «после», «меньше» и «больше». или по существу: «преемник» и «предшественник». Гедель 1944 резюмировал логические «конструкции» Рассела по сравнению с «конструкциями» в основополагающих системах интуиционизма и формализма («школа Гильберта») следующим образом: «Обе эти школы основывают свои построения на математической интуиции , которой избегание именно одна из главных целей Рассела конструктивизма "(Гедель 1944 в Сочинений 1990: 119).

История : Гёдель 1944 резюмировал исторический фон от Лейбница в Characteristica universalis , через Фреге и Пеано до Рассела: «Фреге в основном интересовался анализом мышления и использовал свое исчисление в первую очередь для вывода арифметики из чистой логики», тогда как Пеано » больше интересовались его приложениями в математике ". Но «только в Principia Mathematica [Рассела] в полной мере был использован новый метод для фактического вывода больших частей математики из очень небольшого числа логических понятий и аксиом. Кроме того, молодая наука обогатилась новым инструментом, абстрактным теория отношений »(с. 120-121).

Клини, 1952, утверждает это так: «Лейбниц (1666) впервые задумал логику как науку, содержащую идеи и принципы, лежащие в основе всех других наук. Дедекинд (1888) и Фреге (1884, 1893, 1903) занимались определением математических понятий в терминах логических, и Пеано (1889, 1894–1908) в выражении математических теорем в логическом символизме »(стр. 43); в предыдущем абзаце он включает Рассела и Уайтхеда как образцы «логической школы», две другие «основополагающие» школы - это интуиционистская и «формалистическая или аксиоматическая школа» (стр. 43).

Фреге 1879 описывает свои намерения в Предисловии к его Begriffsschrift 1879 года : Он начал с рассмотрения арифметики: произошло ли это из «логики» или из «фактов опыта»?

«Сначала мне нужно было выяснить, как далеко можно продвинуться в арифметике с помощью одних лишь умозаключений при единственной поддержке тех законов мысли, которые выходят за рамки всех частностей. Моим первым шагом была попытка свести концепцию упорядочивания в последовательности к этому. из логическогоследствие, чтобы перейти оттуда к понятию числа. Чтобы ничего интуитивного не проникло сюда незамеченным, мне пришлось приложить все усилия, чтобы в цепочке умозаключений не было пробелов. . . Я обнаружил, что неадекватность языка является препятствием; независимо от того, насколько громоздкие выражения я был готов принять, по мере того, как отношения становились все более и более сложными, я был все менее и менее способен достичь той точности, которую требовала моя цель. Этот недостаток привел меня к идее нынешней идеографии. Его первая цель, таким образом, состоит в том, чтобы предоставить нам наиболее надежный тест на достоверность цепочки умозаключений и указать на каждую предпосылку, которая пытается проникнуть незамеченной »(Frege 1879 in van Heijenoort 1967: 5).

Дедекинд 1887 описывает свои намерения в предисловии 1887 года к первому изданию своей книги «Природа и значение чисел» . Он считал, что «основы простейшей науки; а именно та часть логики, которая имеет дело с теорией чисел» не была должным образом аргументирована - «ничто, способное к доказательству, не должно приниматься без доказательства»:

Говоря об арифметике (алгебре, анализе) как части логики, я имею в виду, что считаю понятие числа полностью независимым от понятий интуиции пространства и времени, что я считаю его непосредственным результатом законов мышления. . . числа - это свободные творения человеческого разума. . . [и] только через чисто логический процесс построения науки чисел. . . готовы ли мы точно исследовать наши представления о пространстве и времени, сопоставляя их с этой числовой областью, созданной в нашем уме »(Dedekind 1887 Dover republication 1963: 31).

Пеано 1889 заявляет о своих намерениях в Предисловии к своим Основам арифметики 1889 года :

Вопросы, относящиеся к основам математики, хотя многие из них решаются в последнее время, по-прежнему не имеют удовлетворительного решения. Основная причина трудности - двусмысленность языка. ¶ Вот почему крайне важно внимательно изучать сами слова, которые мы используем. Моей целью было провести этот экзамен »(Peano 1889 in van Heijenoort 1967: 85).

Рассел 1903 описывает свои намерения в Предисловии к его Основам математики 1903 года :

«Настоящая работа преследует две основные цели. Одна из них - доказательство того, что вся чистая математика имеет дело исключительно с понятиями, определяемыми в терминах очень небольшого числа фундаментальных логических понятий, и что все ее утверждения выводятся из очень небольшого числа фундаментальных логических понятий. логические принципы »(Предисловие 1903: vi).

«Несколько слов о происхождении данной работы могут показать важность обсуждаемых вопросов. Около шести лет назад я начал исследование философии динамики ... [Из двух вопросов - ускорение и абсолютное движение] в «реляционной теории пространства»] меня привели к пересмотру принципов геометрии, оттуда к философии непрерывности и бесконечности, а затем, с целью раскрытия значения слова любой , к символической логике "(Предисловие 1903: vi-vii).

Эпистемология, онтология и логицизм

Дедекинд и Фреге : эпистемологии Дедекинда и Фреге кажутся менее определенными, чем эпистемология Рассела, но оба, кажется, принимают в качестве априори обычные «законы мысли», касающиеся простых пропозициональных утверждений (обычно веры); этих законов было бы достаточно самих по себе, если бы они были дополнены теорией классов и отношений (например, x R y ) между индивидами x и y, связанными обобщением R.

«Свободные образования человеческого разума» Дедекинда в отличие от «ограничений» Кронекера : аргумент Дедекинда начинается с «1. В дальнейшем я понимаю под вещами каждый объект нашей мысли»; мы, люди, используем символы для обсуждения этих «мыслей»; «Вещь полностью определяется всем, что можно утверждать или думать о ней» (стр. 44). В следующем абзаце Дедекинд обсуждает, что такое «система S : это совокупность, многообразие, совокупность связанных элементов (вещей) a , b , c »; он утверждает, что «такая система S ... как объект нашей мысли также является вещью.(1); это полностью определяется, когда в отношении каждой вещи определяется, является ли она элементом S или нет. * »(стр. 45, курсив добавлен). * указывает на сноску, в которой он заявляет, что:

«Кронекер не так давно ( Crelle's Journal , Vol. 99, pp. 334-336) попытался наложить определенные ограничения на свободное формирование понятий в математике, которые я не считаю оправданными» (стр. 45).

В действительности он ждет, чтобы Кронекер «опубликовал свои доводы в пользу необходимости или просто целесообразности этих ограничений» (стр. 45).

Леопольд Кронекер , известный своим утверждением, что «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека» ^[7], имел своих врагов, в том числе Гильберта. Гильберт назвал Кронекер « догматик , в ту степень , что он принимает целое с его существенными свойствами , как догма и не оглядываться назад» ^[8] и приравненный к его крайней конструктивистской позиции с тем из Брауэра интуиционизма , обвиняя оба «субъективизм»: «Это часть задачи науки - освободить нас от произвола, сантиментов и привычек и защитить нас от субъективизма, который уже проявился во взглядах Кронекера и, как мне кажется, достигает своей кульминации в интуиционизме». ^[9]Затем Гильберт заявляет, что «математика - это наука без предпосылок. Чтобы основать ее, мне не нужен Бог, как это делает Кронекер ...». (стр. 479).

Рассел реалиста : Рассел Реализм служил ему в качестве антидота к британскому идеализму , ^[10] с частями , заимствованных из европейского рационализма и британского эмпиризма . ^[11] Начнем с того, что «Рассел был реалистом в двух ключевых вопросах: универсалии и материальные объекты» (Russell 1912: xi). Для Рассела таблицы - это реальные вещи, которые существуют независимо от Рассела-наблюдателя. Рационализм внесет вклад в понятие априорного знания ^{[12], в} то время как эмпиризм внесет вклад в роль эмпирического знания (индукция из опыта). ^[13]Рассел поверил бы Канту в идее «априорного» знания, но он предлагает возражение Канту, которое он считает «фатальным»: «Факты [мира] всегда должны соответствовать логике и арифметике. Чтобы сказать, что логика и арифметика являются внесенный нами, не учитывает это »(1912: 87); Рассел заключает, что мы обладаем априорными знаниями «о вещах, а не только о мыслях» (1912: 89). И в этом эпистемология Рассела кажется отличной от эпистемологии Дедекинда, что «числа являются свободными творениями человеческого разума» (Dedekind 1887: 31) ^[14].

Но его эпистемология о врожденном (он предпочитает слово a priori применительно к логическим принципам, ср. 1912: 74) сложна. Он решительно и недвусмысленно выразил поддержку платоновским «универсалиям» (ср. 1912: 91–118) и заключил бы, что истина и ложь «где-то там»; умы создают убеждения, и то, что делает убеждение истинным, является фактом, «и этот факт (за исключением исключительных случаев) не затрагивает разум человека, у которого есть убеждение» (1912: 130).

Откуда Рассел получил эти эпистемологические понятия? Он рассказывает нам в предисловии к своим Основам математики 1903 года . Обратите внимание, что он утверждает, что убеждение: «Эмили - кролик» не существует, и все же истинность этого несуществующего утверждения не зависит от любого знающего ума; если Эмили действительно кролик, факт этой истины существует независимо от того, жив или мертв Рассел или любой другой разум, и отношение Эмили к кроличьей шкуре «окончательное»:

«По фундаментальным вопросам философии моя позиция во всех ее основных чертах исходит от мистера Дж. Э. Мура. Я принял от него не-экзистенциальную природу предложений (кроме тех, которые утверждают существование) и их независимость от какого-либо знания. разум; также плюрализм, который рассматривает мир, как существующий, так и мир сущностей, как состоящий из бесконечного числа взаимно независимых сущностей, с отношениями, которые являются окончательными и не сводятся к прилагательным их терминов или целого, которые эти составить ... Только что упомянутые доктрины, на мой взгляд, совершенно необходимы для любой, даже сносно удовлетворительной философии математики, как я надеюсь, следующие страницы покажут ... Формально мои посылки просто предполагаются; но тот факт, что они позволяют математике быть правдой,чего нет в большинстве современных философий, несомненно, является мощным аргументом в их пользу ». (Предисловие 1903: viii)

Парадокс Рассела : в 1902 году Рассел обнаружил «порочный круг» ( парадокс Рассела ) в Grundgesetze der Arithmetik Фреге, выведенный из Основного закона V Фреге, и он был полон решимости не повторять его в своих Основах математики 1903 года . В двух приложениях, добавленных в последнюю минуту, он посвятил 28 страниц как подробному анализу теории Фреге, противопоставленной его собственной, так и исправлению парадокса. Но он не был оптимистичен по поводу результата:

«В случае классов, я должен признаться, я не смог воспринять ни одной концепции, удовлетворяющей условиям, необходимым для понятия класса. И противоречие, обсуждаемое в главе x. Доказывает, что что-то не так, но что это такое, я до сих пор терпел неудачу открыть. (Предисловие к Russell 1903: vi) "

«Фикционализм» и неклассовая теория Рассела : Гедель в своей книге 1944 года не согласился бы с молодым Расселом 1903 года («[мои предпосылки] допускают, чтобы математика была верной»), но, вероятно, согласился бы с приведенным выше утверждением Рассела («что-то не так» ); Теория Рассела не смогла прийти к удовлетворительному обоснованию математики: результат был «по существу отрицательным; т. Е. Классы и концепции, введенные таким образом, не обладают всеми свойствами, необходимыми для использования математики» (Gödel 1944: 132).

Как Рассел оказался в этой ситуации? Гёдель замечает, что Рассел - удивительный «реалист» с изюминкой: он цитирует работу Рассела 1919: 169 «Логика имеет такое же отношение к реальному миру, как и зоология» (Gödel 1944: 120). Но он отмечает, что «когда он приступил к конкретной проблеме, объекты, подлежащие анализу (например, классы или предложения), вскоре по большей части превратились в« логические фикции »... [имея в виду] только то, что у нас нет прямого восприятия их." (Гёдель 1944: 120)

В наблюдении, относящемся к логицизму Рассела, Перри отмечает, что Рассел прошел три фазы реализма: крайний, умеренный и конструктивный (Perry 1997: xxv). В 1903 году он был в своей крайней фазе; к 1905 году он будет в умеренной фазе. Через несколько лет он «откажется от физических или материальных объектов в качестве основных элементов обстановки мира. Он попытается сконструировать их из чувственных данных» в своей следующей книге « Наши знания внешнего мира [1914]» ( Perry 1997: xxvi).

Эти конструкции в том, что Гёдель 1944 назвал бы « номиналистическим конструктивизмом ... который лучше было бы назвать фикционализмом », произошел от «более радикальной идеи Рассела, теории бесклассов» (стр. 125):

«согласно которому классы или концепции никогда не существуют как реальные объекты, а предложения, содержащие эти термины, имеют смысл только в том случае, если их можно интерпретировать как ... способ говорить о других вещах» (стр. 125).

См. Больше в разделах «Критика» ниже.

Пример логической конструкции натуральных чисел: конструкция Рассела в Началах

Логицизм Фреге и Дедекинда подобен логицизму Рассела, но с отличиями в деталях (см. Критические замечания ниже). В целом логики-выводы натуральных чисел отличаются от выводов, например, из аксиом Цермело теории множеств («Z»). Принимая во внимание, что при выводе из Z в одном определении «числа» используется аксиома этой системы - аксиома спаривания - что приводит к определению «упорядоченной пары» - без явнойЧисловая аксиома существует в различных системах аксиом логики, позволяющих вывод натуральных чисел. Обратите внимание, что аксиомы, необходимые для определения числа, в любом случае могут различаться в разных системах аксиом теории множеств. Например, в ZF и ZFC аксиома спаривания и, следовательно, в конечном итоге понятие упорядоченной пары выводится из аксиомы бесконечности и аксиомы замещения и требуется в определении числительных фон Неймана (но не в формуле Цермело. числительные), тогда как в NFU числа Фреге могут быть получены аналогично их происхождению в Grundgesetze.

Principia , как и его предшественник Grundgesetze , начинает строительство чисел от примитивных суждений , таких как «класс», «пропозициональная функция», и , в частности, отношения «похожесть» ( «equinumerosity»: размещение элементов коллекций в одном -в-однозначное соответствие) и «упорядочение» ( с использованием «преемника» применительно к порядку коллекций equinumerous классов)». ^[15] logicistic вывод приравнивает кардинальные числа , построенныетаким образом, к натуральным числам, и эти числа в конечном итоге имеют один и тот же "тип" - как классы классов - тогда как в некоторых теоретических построениях множеств - например, числах фон Нейммана и Цермело - каждое число имеет своего предшественника в качестве подмножества . Клини замечает следующее. (Предположения Клини (1) и (2) утверждают, что 0 обладает свойством P, а n +1 обладает свойством P, если n обладает свойством P. )

«Точка зрения здесь сильно отличается от точки зрения [Кронекера] о том, что« Бог создал целые числа »плюс аксиомы Пеано о числах и математической индукции], где мы предположили интуитивную концепцию последовательности натуральных чисел и извлекли из нее принцип, согласно которому всякий раз, когда задано конкретное свойство P натуральных чисел, такое, что (1) и (2), то любое данное натуральное число должно обладать свойством P ». (Клини 1952: 44).

Важность логицистской программы построения натуральных чисел проистекает из утверждения Рассела о том, что «вся традиционная чистая математика может быть получена из натуральных чисел - это относительно недавнее открытие, хотя о нем давно подозревали» (1919: 4). Один вывод действительных чисел происходит из теории сокращений Дедекинда на рациональных числах, рациональные числа, в свою очередь, выводятся из натуральных чисел . Хотя пример того, как это делается, полезен, в первую очередь он основан на выводе натуральных чисел. Итак, если при логическом выводе натуральных чисел возникают философские трудности, этих проблем должно быть достаточно, чтобы остановить программу, пока они не будут решены (см. Критические замечания ниже).

Одна попытка построить натуральные числа обобщена Бернейсом 1930–1931 гг. ^[16] Но вместо того, чтобы использовать краткую информацию Берней, которая неполна в некоторых деталях, ниже приводится попытка перефразировать конструкцию Рассела, включая некоторые ограниченные иллюстрации:

Предварительные мероприятия

Для Рассела коллекции (классы) - это совокупность «вещей», определяемых собственными именами, которые возникают в результате предложений (утверждений фактов о вещи или вещах). Рассел проанализировал это общее понятие. Он начинает с «терминов» в предложениях, которые он анализирует следующим образом:

Термины : Для Рассела «термины» - это либо «вещи», либо «концепции»: «Все, что может быть предметом мысли, может встречаться в любом истинном или ложном утверждении или может считаться одним, я называю термином . Это Таким образом, это самое широкое слово в философском словаре. Я буду использовать как синонимы ему слова "единица", "индивид" и "сущность". Первые два подчеркивают тот факт, что каждый термин является одним, а третий является производным от того факта, что каждый термин имеет бытие, т. е. в некотором смысле. Человек, момент, число, класс, отношение, химера или что-либо еще, что может быть упомянуто, обязательно будет термином; и отрицать, что такое и такая вещь - термин всегда должен быть ложным »(Russell 1903: 43)

Вещи обозначаются именами собственными; понятия обозначаются прилагательными или глаголами : «Среди терминов можно выделить два вида, которые я буду называть соответственно вещами и понятиями ; первые - это термины, обозначенные собственными именами, вторые - теми, которые обозначаются всеми другими словами ... Среди понятий, опять же, следует различать по крайней мере два вида, а именно те, которые обозначаются прилагательными, и те, которые обозначаются глаголами »(1903: 44).

Понятия-прилагательные - это «предикаты»; концепт-глаголы - это «отношения» : «Первый вид часто будет называться предикатами или классовыми концептами; вторые всегда или почти всегда являются отношениями». (1903: 44)

Понятие «переменного» субъекта, появляющегося в предложении : «Я буду говорить об условиях предложения как о тех терминах, сколь бы многочисленны они ни были, которые встречаются в предложении и могут рассматриваться как субъекты, о которых идет речь в предложении. характеристикой терминов предложения, что любой из них может быть заменен любым другим объектом без того, чтобы мы перестали иметь предложение. Таким образом, мы скажем, что «Сократ - человек» - это предложение, имеющее только один термин; из оставшегося компонента предложение, одно - глагол, другое - сказуемое ... Таким образом, предикаты - это понятия, отличные от глаголов, которые встречаются в предложениях, имеющих только один термин или подлежащее ". (1903: 45)

Истина и ложь : предположим, что кто-то должен указать на объект и сказать: «Этот объект передо мной по имени« Эмили »- женщина». Это утверждение, утверждение убеждения говорящего, которое должно быть проверено на «фактах» внешнего мира: «Разумы не создают истину или ложь. Они создают убеждения ... то, что делает убеждение истинным, является фактом. , и этот факт (за исключением исключительных случаев) никоим образом не затрагивает разум человека, имеющего веру »(1912: 130). Если в результате исследования высказывания и соответствия «факту» Рассел обнаруживает, что Эмили - кролик, то его высказывание считается «ложным»; если Эмили - женщина-человек (женщина, "двуногая без перьев", как Рассел любит называть людей,вслед за Диогеном Лаэртиусоманекдот о Платоне), то его высказывание считается "правдивым".

Классы (агрегаты, комплексы) : «Класс, в отличие от понятия класса, есть сумма или соединение всех терминов, имеющих данный предикат» (1903, стр. 55). Классы могут быть определены расширением (перечислением их членов) или интенсификацией, то есть «пропозициональной функцией», такой как «x is a u» или «x is v». Но «если мы возьмем расширение в чистом виде, наш класс определяется путем перечисления его терминов, и этот метод не позволит нам иметь дело, как это делает символическая логика, с бесконечными классами. Таким образом, наши классы в общем должны рассматриваться как объекты, обозначаемые концепциями. , и в этом смысле важна точка зрения интенсификации ». (1909, с. 66)

Пропозициональные функции : «Характерной чертой концепции класса, в отличие от терминов в целом, является то, что« x есть u »является пропозициональной функцией тогда и только тогда, когда u является концепцией класса». (1903: 56)

Экстенсиональное и интенсиональное определение класса : 71. Класс может быть определен либо экстенсионально, либо интенсионально. Иными словами, мы можем определить вид объекта, который является классом, или вид концепции, обозначающей класс: это точное значение противопоставления протяженности и интенсионала в этой связи. Но хотя общее понятие может быть определено таким двояким образом, конкретные классы, за исключением тех случаев, когда они оказываются конечными, могут быть определены только интенсионально, то есть как обозначаемые объекты с помощью таких-то концепций ... логически; экстенсиональное определение, кажется, в равной степени применимо к бесконечным классам, но практически, если бы мы попытались это сделать, Смерть прервала бы наши похвальные усилия, прежде чем они достигли своей цели »(1903: 69)

Определение натуральных чисел

В Prinicipia натуральные числа происходят из всех утверждений, которые можно утверждать о любом наборе сущностей. Рассел поясняет это во втором (выделенном курсивом) предложении ниже.

"Во-первых, числа сами по себе образуют бесконечную совокупность и поэтому не могут быть определены посредством перечисления. Во-вторых, совокупности, имеющие заданное количество терминов, сами предположительно образуют бесконечную совокупность: предполагается, например, что что в мире существует бесконечное множество троек , поскольку, если бы это было не так, общее количество вещей в мире было бы конечным, что, хотя и возможно, кажется маловероятным. В-третьих, мы хотим определить «число» «таким образом, что бесконечные числа могут быть возможны; таким образом, мы должны иметь возможность говорить о количестве терминов в бесконечном наборе, и такой набор должен определяться интенсификацией, то есть свойством, общим для всех его членов и специфическим им." (1919: 13)

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующий конечный пример: Предположим, что на улице 12 семей. У кого-то есть дети, у кого-то нет. Для того, чтобы обсудить имена детей в этих домохозяйствах требует 12 предложений , утверждающих « ChildName этого имя ребенка в семьи Fn» применительно к этой коллекции домохозяйств на конкретной улице семей с названиями F1, F2,. . . F12. Каждое из 12 предложений касается того, применимо ли "аргумент" childname к ребенку в конкретном домохозяйстве. Имена детей ( childname ) можно рассматривать как x в пропозициональной функции f (x), где функция - «имя ребенка в семье с именем Fn». ^{[17] [ оригинальное исследование? ]}

Шаг 1. Соберите все классы : в то время как предыдущий пример конечен над конечной пропозициональной функцией « имена детей в семье Fn '» на конечной улице конечного числа семей, Рассел, очевидно, намеревался распространить следующее на все пропозициональные функции, распространяющиеся на бесконечную область, чтобы позволить создание всех чисел.

Клини считает, что Рассел дал непредсказуемое определение, которое ему придется разрешить, иначе он рискнет получить нечто вроде парадокса Рассела . «Здесь вместо этого мы предполагаем совокупность всех свойств кардинальных чисел, существующих в логике, до определения последовательности натуральных чисел» (Kleene 1952: 44). Проблема возникнет даже в представленном здесь конечном примере, когда Рассел имеет дело с классом единиц (ср. Russell 1903: 517).

Возникает вопрос , что именно «класс» является или должен быть. Для Дедекинда и Фреге класс - это отдельная сущность сама по себе, «единство», которое можно отождествить со всеми теми сущностями x, которые удовлетворяют некоторой пропозициональной функции F. (Этот символизм появляется у Рассела, приписываемого Фреге: сущность функции - это то, что остается после удаления x , то есть в приведенном выше примере 2 () ³ + (). Аргумент x не принадлежит функции, но оба вместе составляют единое целое (ib. p . 6 [т.е. функция и бегство Фреге 1891 г. ] »(Russell 1903: 505).) Например, определенному« единству »можно дать имя; предположим, что в семье Fα есть дети с именами Энни, Барби и Чарльз:

{a, b, c} _Fα

Это понятие коллекции или класса как объекта, когда используется без ограничений, приводит к парадоксу Рассела ; см. ниже более подробные сведения о возможных определениях . Решение Рассела состояло в том, чтобы определить понятие класса как только те элементы, которые удовлетворяют предложению, его аргумент состоял в том, что, действительно, аргументы x не принадлежат пропозициональной функции, также известной как «класс», созданный функцией. Сам класс не следует рассматривать как самостоятельный объект, он существует только как своего рода полезная фикция: «Мы избежали решения относительно того, существует ли класс вещей в каком-либо смысле как один объект. Решение этого вопроса в любом случае безразлично для нашей логики »(Первое издание Principia Mathematica 1927: 24).

Рассел продолжает придерживаться этого мнения в 1919 году; обратите внимание на слова «символические вымыслы»: ^{[ оригинальное исследование? ]}

"Когда мы решили, что классы не могут быть вещами того же типа, что и их члены, что они не могут быть просто кучей или агрегатами, а также что их нельзя отождествлять с пропозициональными функциями, становится очень трудно увидеть, какими они могут быть, если они должны быть чем-то большим, чем символические вымыслы . И если мы сможем найти способ обращаться с ними как с символическими вымыслами , мы увеличим логическую надежность нашей позиции, поскольку мы избегаем необходимости предполагать, что существуют классы, не будучи принужденными делать противоположное предположение, что классов нет. Мы просто воздерживаемся от обоих предположений ... Но когда мы отказываемся утверждать, что классы существуют, нам не следует предполагать, что мы догматически утверждаем, что их нет. Мы просто агностики по отношению к ним. ... .. »(1919: 184)

И во втором издании PM (1927) Рассел утверждает, что «функции возникают только через свои значения, ... все функции функций экстенсиональны, ... [и], следовательно, нет причин различать функции и классы ... . Таким образом, классы, в отличие от функций, теряют даже то призрачное существо, которое они сохраняют в * 20 "(стр. Xxxix). Другими словами, классы как отдельное понятие вообще исчезли.

Шаг 2: Соберите «похожие» классы в «связки» : эти вышеупомянутые коллекции могут быть помещены в «бинарное отношение» (сравнение для) подобия с помощью «равнодоступности», обозначенного здесь ≈ , то есть соответствие элементов один-один, ^{[ 18]} и тем самым создают классы классов Рассела или то, что Рассел называл «связками». «Мы можем предположить, что все пары в одном наборе, все тройки - в другом и т. Д. Таким образом мы получаем различные связки коллекций, каждый набор состоит из всех наборов, содержащих определенное количество элементов. Каждый набор представляет собой класс, члены - это коллекции, то есть классы; таким образом, каждый является классом классов »(Russell 1919: 14).

Шаг 3: Определите нулевой класс : Обратите внимание, что определенный класс классов является особенным, потому что его классы не содержат элементов, т. Е. Никакие элементы не удовлетворяют предикатам, утверждение которых определило этот конкретный класс / коллекцию.

Результирующая сущность может называться «нулевым классом» или «пустым классом». Рассел символизировал нулевой / пустой класс символом Λ. Так что же такое нулевой класс Рассела? В PM Рассел говорит, что «класс считается существующим, когда у него есть хотя бы один член ... класс, у которого нет членов, называется« нулевым классом »...« α является нулевым классом »эквивалентно« α не существует ». Естественно возникает вопрос,« существует »ли сам нулевой класс? Трудности, связанные с этим вопросом, возникают в работе Рассела 1903 года. ^[19] После того, как он обнаружил парадокс в Grundgesetze Фрегеон добавил Приложение А к своему 1903 году, в котором, анализируя природу нулевых и единичных классов, он обнаружил необходимость в «доктрине типов»; подробнее о классе единиц, проблеме непредсказуемых определений и «принципе порочного круга» Рассела см. ниже. ^[19]

Шаг 4: Назначьте «цифру» каждому комплекту : в целях сокращения и идентификации каждому комплекту присвойте уникальный символ (также известный как «цифра»). Эти символы произвольны.

Шаг 5: Определение «0» Вслед за Фреге Рассел выбрал пустой или нулевой класс классов в качестве подходящего класса для выполнения этой роли, поскольку это класс классов, не имеющих членов. Этот нулевой класс классов может быть помечен как «0».

Шаг 6: Определите понятие «преемник» : Рассел определил новую характеристику «наследственный» (ср. «Наследственный» Фреге), свойство определенных классов со способностью «наследовать» характеристику от другого класса (который может быть классом). классов), т.е. «Свойство называется« наследственным »в натуральном ряду, если, если оно принадлежит числу n , оно также принадлежит n +1, наследнику n ». (1903: 21). Он утверждает, что «натуральные числа являются потомками -« детьми », наследниками« преемника »- 0 по отношению к отношению« непосредственный предшественник (которое является обратным от «преемника») (1919: 23 ).

Обратите внимание, что Рассел использовал здесь несколько слов без определения, в частности «числовой ряд», «число n» и «преемник». Он определит их в должное время. Обратите внимание, в частности, что Рассел не использует единичный класс классов «1» для построения преемника . Причина в том, что в подробном анализе Рассела ^[20]если единичный класс становится самостоятельной сущностью, тогда он тоже может быть элементом в своем собственном предложении; это приводит к тому, что предложение становится «непредсказуемым» и приводит к «порочному кругу». Напротив, он заявляет: «В главе II мы видели, что кардинальное число должно быть определено как класс классов, а в главе III - что число 1 должно определяться как класс всех классов единиц, всего, что имеет один член, как мы должны были бы сказать, но для порочного круга. Конечно, когда число 1 определяется как класс всех классов единиц, классы единиц должны быть определены так, чтобы не предполагать, что мы знаем, что подразумевается под одним (1919 : 181).

В своем определении преемника Рассел будет использовать для своей «единицы» отдельное лицо или «термин» следующим образом:

«Осталось определить« преемника ». Для любого числа n пусть α будет классом, имеющим n членов, и пусть x будет терм, который не является членом α . Тогда класс, состоящий из α с добавленным x, будет иметь + 1 член. Таким образом, мы имеем следующее определение:

преемником числа членов в классе α является количество членов в классе, состоящем из α вместе с x, где x не является каким-либо термином, принадлежащим классу »(1919: 23)

Определение Рассела требует нового «термина», который «добавляется» в коллекции внутри пакетов.

Шаг 7: Создайте преемника нулевого класса .

Шаг 8: Создайте преемника для каждого класса равноправных классов .

Шаг 9: Порядок номеров : Процесс создания преемника требует отношения «... является преемником ...», которое может быть обозначено «S» между различными «цифрами». "Теперь мы должны рассмотреть последовательный характер натуральных чисел в порядке 0, 1, 2, 3, ... Мы обычно думаем о числах в этом порядке, и это важная часть работы по анализу наших данных. искать определение «порядка» или «серии» в логических терминах ... Порядок лежит не в классе терминов, а в отношении между членами класса, в отношении которых некоторые выступают как более ранние и некоторые, как позже. " (1919: 31)

Рассел применяет к понятию «упорядочивающее отношение» три критерия: во-первых, он определяет понятие «асимметрии», т. Е. Учитывая такое отношение, как S («... является преемником ...») между двумя терминами x, и y: x S y ≠ y S x. Во-вторых, он определяет понятие «транзитивность» для трех чисел x, y и z: если x S y и y S z, то x S z. В-третьих, он определяет понятие «связного»: «Для любых двух терминов класса, который должен быть упорядочен, должен быть один, который предшествует, а другой - последующий ... Отношение связано, когда при любых двух различных термины его поля [как область, так и обратная область отношения, напримермужья против жен в отношениях в браке] отношения сохраняются между первым и вторым или между вторым и первым (не исключая возможности, что оба могут случиться, хотя оба не могут произойти, если отношения асимметричны) (1919: 32). )

Он заключает: «... [натуральное] число m называется меньшим, чем другое число n, когда n обладает всеми наследственными свойствами, которыми обладает наследник m . Легко увидеть и нетрудно доказать, что отношение" меньше чем «в таком определении является асимметричным, транзитивным и связным, и имеет [натуральные] числа для своего поля [т.е. как область, так и обратная область являются числами]». (1919: 35)

Критика

Презумпция «внелогического» понятия итерации : Клини отмечает, что «логицистический тезис может быть поставлен под сомнение в конце концов на том основании, что логика уже предполагает математические идеи в своей формулировке. С интуиционистской точки зрения существенное математическое ядро ​​содержится в идее итерация »(Kleene 1952: 46)

Бернейс 1930–1931 отмечает, что это понятие «две вещи» уже предполагает что-то, даже без утверждения существования двух вещей, а также без ссылки на предикат, который применяется к двум вещам; оно означает просто «вещь и еще одна вещь ... В отношении этого простого определения концепция Числа оказывается элементарной структурной концепцией ... Утверждение логицистов о том, что математика является чисто логическим знанием, оказывается быть нечетким и вводящим в заблуждение при более близком рассмотрении теоретической логики ... [можно расширить определение «логического»], однако через это определение скрывается то, что является эпистемологически важным, а то, что свойственно математике, упускается из виду »(в Mancosu 1998: 243).

Гильберт 1931: 266-7, как и Бернейс, считает, что в математике есть «что-то экстра-логичное»: «Помимо опыта и мысли, есть еще третий источник знания. Даже если сегодня мы больше не можем соглашаться с Кантом в деталях. тем не менее самая общая и фундаментальная идея кантовской эпистемологии сохраняет свое значение: установить интуитивный априорный способ мышления и тем самым исследовать условие возможности всякого знания. По моему мнению, это, по сути, то, что происходит в моих исследованиях принципов математики. Априорное здесь есть не что иное, как фундаментальный способ мышления, который я также называю конечным способом мышления: что-то уже дано нам заранее в нашей способности представления: определенноеэкстра-логические конкретные объекты, которые интуитивно существуют как непосредственный опыт, предшествующий всякой мысли. Если логический вывод должен быть определенным, то эти объекты должны быть полностью обозримыми во всех их частях, и их представление, их различия, их следование друг за другом или их расположение рядом друг с другом немедленно и интуитивно даются нам вместе с объекты, как нечто, что ни к чему другому не может быть сведено и не нуждается в такой редукции »(Hilbert 1931 in Mancosu 1998: 266, 267).

Короче говоря, согласно Гильберту и Бернейсу, понятие «последовательность» или «преемник» является априорным понятием, лежащим за пределами символической логики.

Гильберт отверг логицизм как «ложный путь»: «Некоторые пытались определить числа чисто логически; другие просто считали обычные теоретико-числовые способы вывода самоочевидными. На обоих путях они сталкивались с препятствиями, которые оказались непреодолимыми». (Гильберт 1931 в Mancoso 1998: 267). Теоремы о неполноте, возможно, представляют собой аналогичное препятствие для гильбертовского финитизма.

Манкосу утверждает, что Брауэр пришел к выводу, что «классические законы или принципы логики являются частью [] воспринимаемой регулярности [в символическом представлении]; они выводятся из постфактумной записи математических построений ... Теоретическая логика ... [[] является] эмпирической наукой и приложением математики »(цитата Брауэра: Mancosu 1998: 9).

Гёдель 1944 : Что касается технических аспектов расселловского логицизма в том виде, в каком он представлен в Principia Mathematica (в любом издании), Гёдель был разочарован:

"Следует сожалеть о том, что этому первому всеобъемлющему и исчерпывающему изложению математической логики и выведению из нее математики [?] Так сильно не хватает формальной точности в основах (содержащихся в * 1– * 21 Принципов ) что в этом отношении он представляет собой значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Что не хватает, прежде всего, так это точного определения синтаксиса формализма »(см. сноску 1 в Gödel 1944 Collected Works 1990: 120).

В частности , он отметил, что «Дело в том , особенно сомнительно для правила подстановки и замены определенных символов их дефиниенса » (Russell 1944: 120)

Что касается философии, которая могла бы лежать в основе этих основ, Гёдель считал «неклассовую теорию» Рассела воплощением «номиналистического вида конструктивизма ... который лучше было бы назвать фикционализмом» (см. Сноску 1 в Gödel 1944: 119) - быть неисправным. См. Больше в разделе «Критика и предложения Гёделя» ниже.

Граттан-Гиннесс : сложная теория отношений продолжала душить толкование Рассела « Введение в математическую философию» 1919 года и его второе издание « Начала» 1927 года . Теория множеств тем временем продолжила редукцию отношения к упорядоченной паре множеств. Граттан-Гиннесс отмечает, что во втором издании « Принципов» Рассел проигнорировал это сокращение, которое было достигнуто его собственным учеником Норбертом Винером (1914). Возможно, из-за «остаточного раздражения Рассел вообще не отреагировал». ^[21] К 1914 году Хаусдорф дал бы другое, эквивалентное определение, а Куратовски в 1921 году дал бы то, которое используется сегодня. ^[22]

Класс юнита, непредсказуемость и принцип замкнутого круга

Мягкое предикативное определение : предположим, библиотекарь хочет проиндексировать свою коллекцию в одну книгу (назовите ее Ι для «указателя»). В ее указателе будут перечислены все книги и их местонахождение в библиотеке. Оказывается, всего три книги, и у них есть названия Ά, β и Γ. Чтобы сформировать свой индекс I, она покупает книгу из 200 чистых страниц и маркирует ее «I». Сейчас у нее четыре книги: I, Ά, β и Γ. Ее задача не сложная. По завершении содержание ее индекса I составляет 4 страницы, каждая с уникальным заголовком и уникальным местоположением (каждая запись обозначается аббревиатурой Title.Location _T ):

I ← {IL _I , Ά.L _Ά , β.L _β , Γ.L _Γ }.

Такое определение «я» Пуанкаре считал « непредсказуемым ». Похоже, он считал, что в математике допустимы только предикативные определения:

«определение является« предикативным »и логически допустимо только в том случае, если оно исключает все объекты, которые зависят от определенного понятия, то есть которые могут каким-либо образом определяться им». ^[23]

По определению Пуанкаре индексная книга библиотекаря является «непредикативной», потому что определение I зависит от определения совокупности I, Ά, β и Γ. Как указано ниже, некоторые комментаторы настаивают на том, что отрицательность в версиях , основанных на здравом смысле, безвредна, но, как показывают примеры ниже, есть версии, которые не безвредны. В ответ на эти трудности Рассел выступил за строгий запрет, свой «принцип порочного круга»:

«Никакая совокупность не может содержать члены, определяемые только в терминах этой совокупности, или члены, включающие или предполагающие эту совокупность» (принцип порочного круга) »(Gödel 1944, появляющийся в Сборнике сочинений, том II, 1990: 125) ^[24].

Пагубная непредикативность: α = НЕ-α : Чтобы проиллюстрировать, насколько пагубным может быть случай непредсказуемости, рассмотрим последствия ввода аргумента α в функцию f с выходом ω = 1 - α. Это можно рассматривать как выражение «алгебраической логики», эквивалентное выражению «символической логики» ω = NOT-α, со значениями истинности 1 и 0. Когда вход α = 0, выход ω = 1; когда вход α = 1, выход ω = 0.

Чтобы сделать функцию «непредикативной», отождествите вход с выходом, получив α = 1-α

В алгебре, скажем, рациональных чисел уравнение выполняется при α = 0,5. Но внутри, например, булевой алгебры, где разрешены только «значения истинности» 0 и 1, тогда равенство не может быть выполнено.

Fatal impredicativity в определении единицы класса : Некоторые трудностей в программе логициста может вывести из a = NOT-альфа парадокс ^[25] Рассел обнаружил в Фреге 1879 Begriffsschrift ^[26] , что Фрег позволил функции вывести свой вклад «функционал» (значение его переменной) не только из объекта (вещи, термина), но и из собственного вывода функции. ^[27]

Как описано выше, конструкции натуральных чисел как у Фреге, так и у Рассела начинаются с формирования равномерного числа классов классов ("связок"), за которым следует присвоение уникального "числа" каждому пучку, а затем размещение связок в порядок через асимметричное отношение S: x S y ≠ y S x . Но Фреге, в отличие от Рассела, позволял идентифицировать класс классов единиц как саму единицу:

Но поскольку класс с цифрой 1 является отдельным объектом или единицей, он также должен быть включен в класс классов единиц. Это включение приводит к «бесконечному регрессу» (как назвал его Гёдель) возрастающего «типа» и увеличения содержания.

Рассел избежал этой проблемы, объявив класс чем-то вроде «фикции». Под этим он имел в виду, что класс может обозначать только те элементы, которые удовлетворяют его пропозициональной функции, и ничего больше. Как «фикцию» класс нельзя рассматривать как вещь: сущность, «термин», особенность, «единицу». Это собрание, но, с точки зрения Рассела, оно не "достойно всякой чепухи":

«Такой класс ... не вызывает возражений, но его много, а не один. Мы можем, если захотим, изобразить это одним символом: таким образом, x ε u будет означать« x является одним из u ». не следует рассматривать как отношение двух членов, x и u , потому что u как числовое соединение не является единичным термином ... Таким образом, класс классов будет состоять из многих-многих; каждый из его составляющих будет только многими, и поэтому не может в любом смысле, можно было бы предположить, быть единственными составляющими [и т. д.] »(1903: 516).

Это предполагает, что «внизу» каждый отдельный «термин» может быть указан (задан «предикативным» предикатом) для любого класса, для любого класса классов, для класса классов классов и т. Д., Но это вводит новый проблема - иерархия «типов» классов.

Решение проблемы непредсказуемости: иерархия типов

Классы как не-объекты, как полезные вымыслы : Gödel 1944: 131 отмечает, что «Рассел приводит две причины против экстенсионального взгляда на классы, а именно: существование (1) нулевого класса, который не может быть коллекцией, и (2 ) классы единиц, которые должны быть идентичны своим отдельным элементам ". Он предполагает, что Рассел должен был рассматривать их как фиктивные, но не делать дальнейшего вывода о том, что все классы (например, классы классов, определяющие числа 2, 3 и т. Д.) Являются фикцией.

Но Рассел этого не сделал. После подробного анализа в Приложении А: Логические и арифметические доктрины Фреге в его 1903 году Рассел заключает:

«Логическая доктрина, которая таким образом навязана нам, состоит в следующем: субъектом предложения может быть не один термин, а по существу множество терминов; так обстоит дело со всеми предложениями, утверждающими числа, отличные от 0 и 1» (1903: 516) .

В следующем примечании формулировка «класс столько же» - класс - это совокупность тех терминов (вещей), которые удовлетворяют пропозициональной функции, но класс не является вещью в себе :

«Таким образом, окончательный вывод состоит в том, что правильная теория классов даже более экстенсиональна, чем теория из главы VI; что столько классов является единственным объектом, всегда определяемым пропозициональной функцией, и что этого достаточно для формальных целей» (1903 г.) : 518).

Это как если бы владелец ранчо собрал весь свой скот (овец, коров и лошадей) в три фиктивных загона (один для овец, один для коров и один для лошадей), которые находятся на его фиктивном ранчо. На самом деле существуют овцы, коровы и лошади (пристройки), но не фиктивные загоны «концепций» и ранчо. ^{[ оригинальное исследование? ]}

Разветвленная теория типов: порядки функций и типы аргументов, предикативные функции . Когда Рассел объявил все классы полезными фикциями, он решил проблему «единичного» класса, но общая проблема не исчезла; скорее, он появился в новой форме: «Теперь необходимо будет различать (1) термины, (2) классы, (3) классы классов и т. д. до бесконечности ; мы должны будем считать, что ни один член одного множество является членом любого другого набора, и что x ε u требует, чтобы x принадлежал к набору степени на единицу ниже, чем набор, которому принадлежит u . Таким образом, x ε x станет бессмысленным предложением; и таким образом избегается противоречие »(1903: 517).

Это «доктрина типов» Рассела. Чтобы гарантировать, что импредикативные выражения, такие как x ε x, могут рассматриваться в его логике, Рассел предложил в качестве своего рода рабочей гипотезы, что все такие импредикативные определения имеют предикативные определения. Это предположение требует понятий функций - «порядков» и аргументов - «типов». Во-первых, функции (и их классы-расширения, т.е. «матрицы») должны быть классифицированы по их «порядку», где функции отдельных лиц имеют порядок 1, функции функций (классы классов) имеют порядок 2 и так далее. Затем он определяет «тип» аргументов функции («входы» функции) как их «диапазон значимости», то есть каковы эти входы α(индивидуумы? классы? классы-классы? и т. д.), которые при подключении к f (x) дают значимый результат ω. Обратите внимание, что это означает, что «тип» может иметь смешанный порядок, как показано в следующем примере:

«Джо Ди Маджио и Янки выиграли Мировую Серию 1947 года».

Это предложение можно разбить на два предложения: « x выиграл Мировую серию 1947 года» + « y выиграл Мировую серию 1947 года». Первое предложение принимает для й индивидуального «Джо DiMaggio» , как его вход, а другие принимает для у агрегат «Янки» , как его вход. Таким образом, составное предложение имеет (смешанный) тип 2, смешанный по порядку (1 и 2).

Под «предикативной» Рассел имел в виду, что функция должна быть на порядок выше, чем «тип» ее переменной (переменных). Таким образом, функция (порядка 2), которая создает класс классов, может принимать только аргументы для своей переменной (переменных), которые являются классами (тип 1) и отдельными лицами (тип 0), поскольку это более низкие типы. Тип 3 может принимать только типы 2, 1 или 0 и т. Д. Но эти типы могут быть смешаны (например, для того, чтобы это предложение было (вроде) истинным: « z выиграл Мировую серию 1947 года», может принимать человека (тип 0) «Джо Ди Маджио» и / или имена его других товарищей по команде. , и он мог принимать класс (тип 1) отдельных игроков «Янки».

Аксиома сводимости : Аксиома сводимости - это гипотеза о том, что любая функция любого порядка может быть приведена (или заменена) эквивалентной предикативной функцией соответствующего порядка. ^[28] Внимательное прочтение первого издания показывает, что предикативная функция n- ^го порядка не должна быть выражена «полностью вниз» как огромная «матрица» или совокупность отдельных атомарных предложений. «На практике важны только относительные типы переменных; таким образом, самый низкий тип, встречающийся в данном контексте, может быть назван типом индивидов» (стр. 161). Но аксиома сводимости предполагает, что теоретически возможно сокращение «полностью вниз».

Рассел 1927 отказывается от аксиомы сводимости : однако ко 2-му изданию PM 1927 года Рассел отказался от аксиомы сводимости и пришел к выводу, что он действительно принудит любой порядок функций «полностью вниз» к его элементарным предложениям, связанным вместе с логическими операторами:

«Все предложения любого порядка выводятся из матрицы, составленной из элементарных предложений, объединенных посредством черточки» ( PM 1927, Приложение A, стр. 385)

(«Штрих» - это штрих Шеффера, принятый для 2-го издания PM - единственная логическая функция с двумя аргументами, из которой могут быть определены все другие логические функции.)

Конечным результатом, однако, стал крах его теории. Рассел пришел к обескураживающему выводу: «теория порядковых и кардинальных чисел выживает ... но с иррациональными и действительными числами в целом больше нельзя адекватно обращаться ... Возможно, еще одна аксиома, менее вызывающая, чем аксиома сводимости , может дать эти результаты, но нам не удалось найти такую ​​аксиому »( PM 1927: xiv).

Гёдель 1944 соглашается, что логицистский проект Рассела зашел в тупик; он, кажется, не согласен с тем, что сохранились даже целые числа:

"[Во втором издании] Аксиома сводимости опускается, и здесь прямо указывается, что все примитивные предикаты принадлежат к низшему типу и что единственная цель переменных (и, очевидно, также констант) более высоких порядков и типов состоит в том, чтобы сделать можно утверждать более сложные функции истинности атомарных предложений »(Gödel 1944 in Collected Works : 134).

Гёдель, однако, утверждает, что эта процедура, по-видимому, в той или иной форме предполагает арифметику (стр. 134). Он делает вывод, что «получают целые числа разного порядка» (стр. 134-135); доказательство в Приложении B Russell 1927 PM, что «целые числа любого порядка выше 5 совпадают с целыми числами порядка 5», «не является окончательным» и «вопрос о том, может ли (или в какой степени) быть получена теория целых чисел на основе разветвленной иерархии [классы плюс типы] должны считаться нерешенными в настоящее время ». Гёдель пришел к выводу, что в любом случае это не имеет значения, потому что пропозициональные функции порядка n (любого n ) должны описываться конечными комбинациями символов (все цитаты и контент взяты из страницы 135).

Критика и предложения Гёделя

Гедель в своей работе 1944 года определяет место, где, по его мнению, логицизм Рассела терпит неудачу, и предлагает предложения по устранению проблем. Он подвергает пересмотру «принцип порочного круга», разбивая его на три части, «определяемые только в терминах», «вовлекающих» и «предполагающих». Это первая часть, которая «делает невозможные определения невозможными и тем самым разрушает вывод математики из логики, осуществленный Дедекиндом и Фреге, и большую часть самой математики». Поскольку, утверждает он, математика полагается на присущую ей непредсказуемость (например, «действительные числа, определенные ссылкой на все действительные числа»), он приходит к выводу, что то, что он предложил, является «доказательством того, что принцип порочного круга ложен [скорее], чем что классическая математика ложна "(все цитаты из Gödel 1944: 127).

Теория отсутствия классов Рассела является корнем проблемы : Гёдель считает, что непредсказуемость не «абсурдна», как это проявляется во всей математике. Проблема Рассела проистекает из его «конструктивистской (или номиналистической» ^[29] ) точки зрения на объекты логики и математики, в частности, на предложения, классы и понятия. . . понятие, являющееся символом. . . так что отдельный объект, обозначенный этим символом, предстает просто фикцией »(стр. 128).

В самом деле, «неклассовая» теория Рассела, заключает Гёдель:

"представляет большой интерес как один из немногих подробно проведенных примеров тенденции к устранению предположений о существовании объектов вне" данных "и замене их конструкциями на основе этих данных ^33. " данные " "должны пониматься здесь в относительном смысле; то есть в нашем случае как логика без предположения о существовании классов и концепций]. Результат в этом случае был существенно отрицательным, т.е. классы и концепции, введенные таким образом, не имеют все свойства, необходимые для их использования в математике ... Все это лишь подтверждение защищенной выше точки зрения, согласно которой логика и математика (так же, как и физика) построены на аксиомах с реальным содержанием, которое невозможно объяснить "(стр. 132)

Он завершает свое эссе следующими предложениями и наблюдениями:

«Следует выбрать более консервативный курс, например, попытаться прояснить значение терминов« класс »и« концепция »и создать последовательную теорию классов и концепций как объективно существующих сущностей. Это курс которые были взяты при фактическом развитии математической логики и к которым сам Рассел был вынужден приступить в наиболее конструктивных частях своей работы. Основные попытки в этом направлении ... простая теория типов ... и аксиоматика. Теория множеств, обе из которых оказались успешными, по крайней мере, до такой степени, что они позволяют выводить современную математику и в то же время избегают всех известных парадоксов.¶ Кажется разумным подозревать, что именно это неполное понимание основ является причиной того факта, что математическая логика до сих пор так далеко отставала от высоких ожиданий Пеано и других. . .. »(стр. 140)

Неологицизм

Неологицизм описывает ряд взглядов, которые их сторонники считают наследниками исходной логицистской программы. ^{[30] В} более узком смысле, неологицизм можно рассматривать как попытку спасти некоторые или все элементы программы Фреге за счет использования модифицированной версии системы Фреге в Grundgesetze (что можно рассматривать как своего рода логику второго порядка ).

Например, можно было бы заменить Основной закон V (аналог схемы аксиом неограниченного понимания в наивной теории множеств ) какой-нибудь «более безопасной» аксиомой, чтобы предотвратить вывод известных парадоксов. Наиболее цитируемый кандидат на замену BLV является принципом Юма , контекстная определение «#» , заданной «#F = #G , если и только если существует взаимно однозначное соответствие между F и G». ^[31] Этот вид неологицизма часто называют неофрежеанством . ^[32] Сторонники неофрежества включают Криспина Райта и Боба Хейла , которых иногда также называют шотландской школой илиабстракционист Платонизм , ^[33] , которые поддерживают форму эпистемического фундаментализма . ^[34]

К другим основным сторонникам неологицизма относятся Бернард Лински и Эдвард Н. Залта , иногда называемые школой Стэнфорд-Эдмонтон , абстрактный структурализм или модальный неологицизм, которые поддерживают форму аксиоматической метафизики . ^{[34] [32]} Модальный неологицизм выводит аксиомы Пеано в рамках теории модальных объектов второго порядка . ^{[35] [36]}

Другой квазинологичский подход был предложен М. Рэндаллом Холмсом. В подобного рода поправках к Grundgesetze BLV остается неизменным, за исключением ограничения стратифицируемыми формулами в манере НФ Куайна и родственных систем. По сути, тогда вся Грундгесетце «проходит». Полученная в результате система обладает такой же устойчивостью, что и NFU Дженсена + Аксиома подсчета Россера . ^[37]

использованная литература

Библиография

• Ричард Дедекинд, около 1858 г., 1878 г., « Очерки теории чисел» , английский перевод, опубликованный издательством Open Court Publishing Company 1901 г., публикация Dover 1963 г., Минеола, штат Нью-Йорк, ISBN 0-486-21010-3 . Содержит два очерка - I. Непрерывность и иррациональные числа с оригинальным предисловием, II. Природа и значение чисел с двумя предисловиями (1887,1893). 
• Ховард Ивс, 1990, « Основы и фундаментальные концепции математики», третье издание , Dover Publications, Inc, Mineola, NY, ISBN 0-486-69609-X . 
• И. Граттан-Гиннесс, 2000, Поиск математических корней, 1870–1940: логика, теории множеств и основы математики от Кантора через Рассела до Геделя , Princeton University Press, Princeton NJ, ISBN 0-691-05858-X . 
• Жан ван Хейеноорт, 1967, От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , 3-е издание 1976 года, Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-32449-8 . Включает « Begriffsschrift» Фреге 1879 г. с комментарием ван Хейенорта, « Математическую логику на основе теории типов» Рассела 1908 г. с комментарием Уилларда В. Куайна, « Новое доказательство возможности правильного упорядочивания с комментарием ван Хейеноорта», письма к Фреге от Рассела и от Рассела до Фреге и т. Д. 
• Стивен К. Клини, 1971, 1952, Введение в метаматематику, 1991 10-е впечатление, издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк, ISBN 0-7204-2103-9 . 
• Марио Ливио, август 2011 г. «Почему математика работает: математика изобретена или открыта? Ведущий астрофизик предполагает, что ответ на тысячелетний вопрос - оба», Scientific American (ISSN 0036-8733), том 305, номер 2, август 2011 г., Научно-американское подразделение Nature America, Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
• Бертран Рассел, 1903, Принципы математики, т. Я , Кембридж: издательство University Press, Кембридж, Великобритания.
• Паоло Манкосу, 1998 г., От Брауэра до Гильберта: дебаты об основах математики в 1920-х годах , Oxford University Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN 0-19-509632-0 . 
• Бертран Рассел, 1912, Проблемы философии (с введением Джона Перри, 1997), Oxford University Press, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN 0-19-511552-X . 
• Бертран Рассел, 1919, Введение в математическую философию , Barnes & Noble, Inc, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN 978-1-4114-2942-0 . Это нематематический компаньон Principia Mathematica . 

  • Амит Хагар 2005 г. Введение в Бертрана Рассела, 1919 г., Введение в математическую философию , Barnes & Noble, Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN 978-1-4114-2942-0 . 

• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, 2-е издание 1927 г. (первое издание 1910–1913 гг.), Principia Mathematica to * 56,1962 Edition , Cambridge at the University Press, Cambridge UK, без ISBN. Второе издание, сокращенное до * 56, с введением ко второму изданию на страницах Xiii-xlvi и новым приложением A (* 8 предложений, содержащих очевидные переменные ) для замены * 9 Theory of Apparent Variables , и приложения C « Истинные функции и другие» .

внешние ссылки

• «Логицизм» в Математической энциклопедии