В математике , то степень из полинома является самым высоким из степеней полинома по одночленов (индивидуальные условия) с ненулевыми коэффициентами. Степень термина является суммой показателей степеней переменных , которые появляются в нем, и , таким образом , представляет собой неотрицательное целое число . Для одномерного многочлена степень многочлена - это просто наивысшая экспонента, встречающаяся в многочлене. [1] [2] Термин « порядок » использовался как синоним степени, но в настоящее время может относиться к нескольким другим концепциям (см.порядок полинома (значения) ).
Например, полином который также можно записать как имеет три условия. Первый член имеет степень 5 (сумма степеней 2 и 3), второй член имеет степень 1, а последний член имеет степень 0. Следовательно, многочлен имеет степень 5, т.е. высшая степень любого срока.
Чтобы определить степень многочлена, не входящего в стандартную форму, например , можно привести его в стандартную форму, расширив продукты (по распределенности ) и объединив аналогичные термины; Например, имеет степень 1, хотя каждое слагаемое имеет степень 2. Однако в этом нет необходимости, когда многочлен записывается как произведение многочленов в стандартной форме, потому что степень произведения - это сумма степеней факторов.
Имена многочленов по степени
Следующие имена присваиваются полиномам в соответствии с их степенью: [3] [4] [5] [2]
- Частный случай - ноль (см. § Степень нулевого многочлена ниже)
- Степень 0 - ненулевая константа [6]
- 1 степень - линейная
- Степень 2 - квадратичная
- Степень 3 - кубическая
- Степень 4 - квартичная (или, если все члены четные степени, биквадратичная )
- 5 степень - пятый
- Степень 6 - секстик (или, реже, гексик)
- 7 степень - септическая (реже гептическая)
Для более высоких степеней иногда предлагались имена [7], но они редко используются:
- Степень 8 - октическая
- Степень 9 - ноническая
- Степень 10 - децичная
Имена для степеней выше трех основаны на латинских порядковых номерах и оканчиваются на -ic . Это следует отличать от имен, используемых для количества переменных, арности , которые основаны на латинских распределительных числах и оканчиваются на -ary . Например, многочлен второй степени от двух переменных, например, называется «двоично-квадратичным»: двоичным из-за двух переменных, квадратичным из-за степени два. [a] Существуют также названия для количества терминов, которые также основаны на латинских распределительных числах, оканчивающихся на -номиальный ; общие - мономиальные , биномиальные и (реже) трехчленные ; таким образом является «двоичным квадратичным двучленом».
Примеры
Полином является кубическим многочленом: после умножения и сбора членов одинаковой степени он становится , со старшим показателем 3.
Полином является полиномом пятой степени: при объединении одинаковых членов два члена степени 8 сокращаются, оставляя , с наивысшим показателем 5.
Поведение при полиномиальных операциях
Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов. [8]
Добавление
Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; это,
- а также .
Например, степень равно 2 и 2 ≤ max {3, 3}.
Равенство всегда выполняется, если степени многочленов различны. Например, степень равно 3 и 3 = max {3, 2}.
Умножение
Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена; это,
- .
Например, степень равно 2, что равно степени .
Таким образом, набор многочленов (с коэффициентами из заданного поля F ), степени которых меньше или равны заданному числу n, образует векторное пространство ; подробнее см. Примеры векторных пространств .
В более общем смысле, степень произведения двух многочленов над полем или областью целостности представляет собой сумму их степеней:
- .
Например, степень равно 5 = 3 + 2.
Для многочленов над произвольным кольцом приведенные выше правила могут быть недействительными из-за отмены, которая может произойти при умножении двух ненулевых констант. Например, на рингеиз целых чисел по модулю 4 , один имеет тот, но , что не равно сумме степеней факторов.
Состав
Степень композиции двух непостоянных многочленов а также над полем или областью целостности - произведение их степеней:
- .
Например:
- Если , , тогда , имеющий степень 6.
Обратите внимание, что для многочленов над произвольным кольцом это не обязательно так. Например, в, , но .
Степень нулевого многочлена
Степень нулевого многочлена либо оставлена неопределенной, либо определяется как отрицательная (обычно −1 или). [9]
Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) многочлен, называемый нулевым многочленом . В нем нет ненулевых членов, а значит, и степени, строго говоря, тоже нет. Таким образом, его степень обычно не определена. Предложения о степени сумм и произведений многочленов в предыдущем разделе неприменимы, если любой из задействованных многочленов является нулевым многочленом. [10]
Однако удобно определить степень нулевого многочлена как отрицательную бесконечность ,и ввести арифметические правила [11]
а также
Эти примеры показывают, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения :
- Степень суммы равно 3. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: .
- Степень различия является . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно:.
- Степень продукта является . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно:.
Вычисляется из значений функции
Существует ряд формул, которые оценивают степень полиномиальной функции f . Один основан на асимптотическом анализе :
- ;
это точный аналог метода оценки наклона в логарифмическом графике .
Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами. Например:
- Степень мультипликативного обратного ,, равно −1.
- Степень квадратного корня ,, составляет 1/2.
- Степень логарифма ,, равно 0.
- Степень экспоненциальной функции ,, является
Формула также дает разумные результаты для многих комбинаций таких функций, например, степени является .
Другая формула для вычисления степени f по ее значениям:
- ;
эта вторая формула следует из применения правила Лопиталя к первой формуле. Интуитивно, однако, это больше связано с показом степени d как дополнительного постоянного множителя в производной. из .
Более мелкозернистый (чем простое числовая степень) описание асимптотики функции можно получить, используя большое обозначение O . При анализе алгоритмов , например, часто бывает уместно различать темпы роста а также , которые оба имеют одинаковую степень в соответствии с приведенными выше формулами.
Расширение до многочленов с двумя или более переменными
Для многочленов от двух или более переменных степень члена - это сумма показателей степени переменных в члене; степень (иногда называемая полной степенью ) полинома снова является максимумом из степеней всех членов в полиноме. Например, многочлен x 2 y 2 + 3 x 3 + 4 y имеет степень 4, ту же степень, что и член x 2 y 2 .
Однако многочлен от переменных x и y - это многочлен от x с коэффициентами, которые являются многочленами от y , а также многочлен от y с коэффициентами, которые являются многочленами от x . Полином
имеет степень 3 по x и степень 2 по y .
Функция степени в абстрактной алгебре
Учитывая кольцо R , то кольцо многочленов R [ х ] есть множество всех многочленов от х , которые имеют коэффициенты R . В частном случае, когда R также является полем , кольцо многочленов R [ x ] является областью главных идеалов и, что более важно для нашего обсуждения здесь, евклидовой областью .
Можно показать, что степень полинома над полем удовлетворяет всем требованиям функции нормы в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем степени f и g по отдельности. На самом деле держится нечто более сильное:
В качестве примера того, почему функция степени может выйти из строя кольцо, не являющееся полем, рассмотрим следующий пример. Пусть R =, кольцо целых чисел по модулю 4. Это кольцо не является полем (и даже не является областью целостности ), потому что 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Следовательно, пусть f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Тогда f ( x ) g ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1. Таким образом, deg ( f ⋅ g ) = 0, что не больше степеней f и g (каждая из которых имеет степень 1).
Поскольку функция нормы не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что он следует правилам нормы в евклидовой области.
Смотрите также
- Теорема Абеля – Руффини.
- Основная теорема алгебры
Заметки
- ^ Для простоты это однородный многочлен с одинаковой степенью по обеим переменным по отдельности.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Полиномиальная степень" . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 августа 2020 года .
- ^ а б «Степень (выражения)» . www.mathsisfun.com . Проверено 31 августа 2020 года .
- ^ «Имена многочленов» . 25 ноября 1997 . Проверено 5 февраля 2012 года .
- ^ Mac Lane и Birkhoff (1999) определяют «линейный», «квадратичный», «кубический», «четвертый» и «пятый». (стр.107)
- ^ Кинг (2009) определяет «квадратичный», «кубический», «четвертый», «пятый», «секстический», «септический» и «октический».
- ^ Шафаревич (2003) говорит о полиноме нулевой степени,: "Такой многочлен называется константой, потому что если мы подставим в него разные значения x , мы всегда получим одно и то же значение.. "(стр. 23)
- ^ Джеймс Кокл предложил названия «сексуальный», «септический», «окктический», «нонический» и «децичный» в 1851 году ( журнал «Механика» , том LV, стр. 171 ).
- ^ Ланг, Серж (2005). Алгебра (3-е изд.). Springer. п. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.
- ^ Шафаревич (2003) говорит о нулевом полиноме: «В этом случае мы считаем, что степень полинома не определена». (стр. 27)
Чайлдс (1995) использует -1. (стр. 233)
Чайлдс (2009) использует −∞ (стр. 287), однако он исключает нулевые многочлены в своем предложении 1 (стр. 288), а затем объясняет, что утверждение верно для нулевых многочленов, «с разумным предположением, что+ m =для m любое целое число или m =".
Axler (1997) использует −∞. (Стр. 64)
Grillet (2007) говорит:" Степень нулевого многочлена 0 иногда остается неопределенной или по-разному определяется как −1 ∈ ℤ или как, пока deg 0A для всех A ≠ 0. "( A - многочлен). Однако он исключает нулевые многочлены в своем предложении 5.3. (стр. 121) - ^ Бариль, Маргарита. «Нулевой многочлен» . MathWorld .
- ^ Axler (1997) дает эти правила и говорит: «Полином 0 объявлен имеющим степень так что исключения не нужны для различных разумных результатов »(стр. 64)
Рекомендации
- Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Springer Science & Business Media
- Чайлдс, Линдси Н. (1995), Конкретное введение в высшую алгебру (2-е изд.), Springer Science & Business Media
- Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science & Business Media
- Грийе, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media
- Кинг, Р. Брюс (2009), за рамками уравнения четвертой степени , Springer Science & Business Media
- Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество
- Шафаревич, Игорь Р. (2003), Дискурсы по алгебре , Springer Science & Business Media
Внешние ссылки
- Полиномиальный порядок ; Вольфрам MathWorld