В математике , то группа Пикара из кольчатого пространства X , обозначается Pic ( X ), является группа изоморфизма классов обратимых пучков (или расслоений) на X , причем групповая операцией является тензорным произведением . Эта конструкция является глобальной версией конструкции группы классов дивизоров или группы классов идеалов и широко используется в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий .
С другой стороны , группа Пикара может быть определена как пучок когомологий группы
Для интегральных схем группа Пикара изоморфна группе классов дивизоров Картье . Для комплексных многообразий последовательность экспоненциальных пучков дает основную информацию о группе Пикара.
Название дано в честь теорий Эмиля Пикара , в частности дивизоров на алгебраических поверхностях .
Примеры
- Группа Пикара спектра в виде дедекиндовым области является идеальным классом группы .
- Обратимые пучки на проективном пространстве Р п ( K ) для к полю , являются крутильными пучками поэтому группы Пикара Р п ( K ) изоморфна Z .
- Группа Пикара аффинной линии с двумя происхождения над к изоморфна Z .
- Группа Пикарда -мерное сложное аффинное пространство :, действительно, экспоненциальная последовательность дает следующую длинную точную последовательность в когомологиях
и с тех пор [1] у нас есть так как стягивается, то и мы можем применить изоморфизм Дольбо для вычисленияпо лемме Дольбо-Гротендика .
Схема Пикара
Построение схемной структуры на ( представимой функторной версии) группы Пикара, схемы Пикара , является важным шагом в алгебраической геометрии, в частности в теории двойственности абелевых многообразий . Он был построен Гротендиком в 1961/62 году. , а также описано Мамфордом (1966) и Клейманом (2005) . Многообразие Пикара двойственно многообразию Альбанеза классической алгебраической геометрии.
В случаях наиболее важное значение для классической алгебраической геометрии, для невырожденной полного многообразия V над полем из характеристического нуля, компонента связности единицы в схеме Пикара является абелево многообразие записывается Pic 0 ( V ). В частном случае , когда V представляет собой кривую, эта нейтральная компонента является якобиевым многообразием из V . Однако для полей положительной характеристики Игуса построил пример гладкой проективной поверхности S с неприведенным Pic 0 ( S ) и, следовательно, не абелевым многообразием .
Фактор Pic ( V ) / Pic 0 ( V ) является конечно-порожденная абелева группа обозначается NS ( V ), в группе Нерона-Севери из V . Другими словами, группа Пикара укладывается в точную последовательность
Тот факт , что ранг NS ( V ) конечен является Франческо Севери «ы теоремы основания ; ранг является число Пикара из V , часто обозначается ρ ( V ). Геометрически NS ( V ) описывает классы алгебраической эквивалентности дивизоров на V ; то есть, используя более сильное, нелинейное отношение эквивалентности вместо линейной эквивалентности делителей , классификация становится доступной для дискретных инвариантов. Алгебраическая эквивалентность тесно связана с числовой эквивалентностью , по сути топологической классификацией по числам пересечений .
Относительная схема Пикара
Пусть f : X → S - морфизм схем. Относительно Пикард функтор (или относительно схемы Пикара , если она схема) определяется по формуле: [2] для любого S -схема T ,
где - изменение базы f, а f T * - откат.
Мы говорим L вимеет степень r, если для любой геометрической точки s → T обратныйиз L вдоль х имеет степень г в качестве обратимого пучка над волокном х лет (когда степень определяются для группы Пикара х лет .)
Смотрите также
- Когомологии пучков
- Сорт чау
- Делитель Картье
- Голоморфное линейное расслоение
- Группа идеального класса
- Классная группа Аракелова
- Групповой стек
- Категория Пикар
Заметки
- ^ Когомологии пучка # Когомологии пучка с постоянными коэффициентами
- ^ Клейман 2005 , Определение 9.2.2.
Рекомендации
- Гротендик, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Теории существования , Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, разоблачения 223-240, нет. 7, Обсуждение нет. 232, стр. 143–161
- Гротендик, А. (1962), В.И. Les schémas de Picard. Propriétés générales , Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, разоблачения 223-240, нет. 7, Обсуждение нет. 236, стр. 221–243.
- Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157 , OCLC 13348052
- Игуса, Джун-Ичи (1955), "О некоторых проблемах абстрактной алгебраической геометрии", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 41 (11): 964–967, Bibcode : 1955PNAS ... 41..964I , doi : 10.1073 / pnas.41.11.964 , PMC 534315 , PMID 16589782
- Клейман, Стивен Л. (2005), "Схема Пикара", Фундаментальная алгебраическая геометрия , Math. Surveys Monogr., 123 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math / 0504020 , Bibcode : 2005math ...... 4020K , MR 2223410
- Мамфорд, Дэвид (1966), Лекции о кривых на алгебраической поверхности , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6, Руководство по ремонту 0209285 , OCLC 171541070
- Мамфорд, Дэвид (1970), абелевы разновидности , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290