Модель Рамсея-Касс-Купманс или модель роста Рамсея , является неоклассическая модель экономического роста базируется прежде всего на работе Фрэнка П. Рэмзи , [1] с существенными расширениями по Дэвид Касс и Купманс . [2] [3] Модель Рэмси – Касса – Купманса отличается от модели Солоу – Свона тем, что выбор потребления явно микрооснован в определенный момент времени и, таким образом, эндогенизирует норму сбережений.. В результате, в отличие от модели Солоу – Свона, норма сбережений может не быть постоянной при переходе к долгосрочному устойчивому состоянию . Другое следствие модели - результат оптимален по Парето или эффективен по Парето . [примечание 1]
Первоначально Рэмси изложил модель как задачу социального планировщика максимизировать уровни потребления для последующих поколений. [4] Лишь позже модель была принята Кассом и Купмансом как описание децентрализованной динамической экономики с репрезентативным агентом . Модель Рамсея – Касса – Купманса направлена только на объяснение долгосрочного экономического роста, а не колебаний бизнес-цикла, и не включает никаких источников нарушений, таких как несовершенство рынка, неоднородность среди домашних хозяйств или экзогенные шоки . Поэтому последующие исследователи расширили модель, дополнив ее шоками, связанными с государственными закупками, колебаниями в занятости и другими источниками возмущений, что известно как теория реального делового цикла .
Математическое описание
Модель Рамсея-Касса-Купманса начинается с агрегированной производственной функции, которая удовлетворяет условиям Инада , часто задаваемым как тип Кобба-Дугласа ,, с факторами капитала и труд . Поскольку предполагается, что эта производственная функция однородна степени 1 , ее можно выразить в пересчете на душу населения :. Количество рабочей силы равно численности населения в экономике и растет с постоянной скоростью., т.е. где было население в начальный период.
Первое ключевое уравнение модели Рамсея – Касса – Купманса - это уравнение состояния для накопления капитала:
нелинейное дифференциальное уравнение, подобное модели Солоу – Свона , гдеявляется капиталоемкость (т.е. капитал на одного работника),это сокращение в нотации Ньютона для изменения капиталоемкости с течением времени, потребление на одного рабочего, выход на одного рабочего для данного , а также - норма амортизации капитала. В упрощенном предположении об отсутствии роста населения это уравнение утверждает, что инвестиции или увеличение капитала на одного работника - это та часть продукции, которая не потребляется, за вычетом нормы амортизации капитала. Таким образом, инвестиции - это то же самое, что и сбережения .
Второе уравнение модели является решением социальных планировщиков задачи «ы максимизации функции социального обеспечения ,, который состоит из потока экспоненциально дисконтированной мгновенной полезности от потребления, где- ставка дисконтирования, отражающая временные предпочтения . Предполагается, что экономика населена идентичными индивидами, так что задача оптимального управления может быть сформулирована в терминах бесконечно существующего репрезентативного агента с инвариантной во времени полезностью:. Предполагается, что функция полезности строго возрастает (т. Е. Нет точки блаженства ) и вогнута в, с участием , [примечание 2] гдесокращенное обозначение предельной полезности потребления. Нормализация исходной популяции к одному, проблема может быть сформулирована как:
где начальный ненулевой акционерный капитал дано. Решение этой проблемы, как правило , найти с помощью функции Гамильтона , [примечание 3] [примечание 4] представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение , которое описывает эволюцию оптимального потребления,
которое известно как правило Кейнса – Рамсея . [5] Срок, где сокращенное обозначение предельного продукта капитала , отражает предельную доходность чистых инвестиций . Выражениеотражает кривизну функции полезности; его обратная величина известна как (межвременная) эластичность замещения и указывает, насколько репрезентативный агент желает сгладить потребление с течением времени. Часто предполагается, что эта эластичность является положительной константой, т. Е..
Два связанных дифференциальных уравнения для а также образуют динамическую систему Рамсея – Касса – Купманса . Его устойчивое состояние , которое определяется установкой а также равный нулю, задается парой неявно определяется
Качественное заявление об устойчивости решения требует линеаризации полиномом Тейлора первого порядка
где является матрица Якоби оценена в стационарном состоянии, [примечание 5] дается
который имеет определитель поскольку всегда положительный, положительно по предположению, и только отрицательно, так как является вогнутой . Поскольку определитель равен произведению собственных значений , собственные значения должны быть действительными и противоположными по знаку. [6] Следовательно, согласно теореме о стабильном многообразии , равновесие является седловой точкой и существует единственное устойчивое плечо, или «седловой путь», которое сходится к точке равновесия, обозначенной синей кривой на фазовой диаграмме. Система называется «устойчивой по седловым траекториям», поскольку все неустойчивые траектории исключаются условием «отсутствия схемы Понци »: [7]
подразумевая, что приведенная стоимость основного капитала не может быть отрицательной. [примечание 6]
История
Спир и Янг повторно исследуют историю оптимального роста в 1950-е и 1960-е годы [8], частично сосредотачиваясь на правдивости заявленного одновременного и независимого развития «Оптимального роста в агрегированной модели накопления капитала» Касса (опубликовано в 1965 г. в « Обзоре экономических исследований» ) и «О концепции оптимального экономического роста» Тьяллинга Купмана (опубликовано в «Неделе исследований эконометрического подхода к планированию развития», 1965 г., Рим: Папская академия наук).
За время своей жизни ни Касс, ни Купманс никогда не предполагали, что их результаты, характеризующие оптимальный рост в односекторной модели непрерывного роста, были чем-то иным, кроме «одновременного и независимого». То, что вопрос приоритета когда-либо стал предметом обсуждения, было связано только с тем фактом, что в опубликованной версии работы Купманса он процитировал главу из тезиса Касса, которая позже стала статьей RES . В своей статье Купманс заявляет в сноске, что Касс независимо получил условия, аналогичные тем, что находит Купманс, и что Касс также рассматривает в своей статье предельный случай, когда учетная ставка стремится к нулю. Со своей стороны Касс отмечает, что «после завершения первоначальной версии этой статьи наше внимание привлек очень похожий анализ Купманса. Мы опираемся на его результаты при обсуждении предельного случая, когда эффективная социальная ставка дисконтирования стремится к нулю». . В интервью, которое Касс дал Macroeconomic Dynamics , он считает, что Купманс указал ему на предыдущую работу Фрэнка Рэмси, утверждая, что был смущен тем, что не знал о ней, но ничего не говорит, чтобы развеять основное утверждение, что его работа и Купманс были в ней. факт независимый.
Спир и Янг оспаривают эту историю, основываясь на ранее упущенной из виду рабочей версии статьи Купманса [9], которая послужила основой для часто цитируемой презентации Купманса на конференции, проведенной Папской академией наук в октябре 1963 года [10]. ] В этом документе для обсуждения Cowles есть ошибка. Купманс утверждает в своем основном результате, что уравнения Эйлера необходимы и достаточны для характеристики оптимальных траекторий в модели, потому что любые решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному установившемуся состоянию, столкнутся либо с нулевым потреблением, либо с нулевой границей капитала в конечное время. Эта ошибка, по-видимому, была представлена на конференции в Ватикане, хотя на момент ее представления Купмансом ни один из участников не прокомментировал проблему. Это можно сделать вывод, потому что обсуждение после каждой презентации доклада на конференции в Ватикане дословно сохраняется в томе конференции.
В обсуждении тома Ватикана после презентации статьи Эдмона Малинво проблема действительно возникает из-за того, что Малинво явно включил в свою статью так называемое «условие трансверсальности» (которое Малинво называет Условием I). В конце презентации Купманс спрашивает Малинво, не является ли условие I просто гарантией того, что решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному установившемуся состоянию, достигают границы за конечное время. Малинво отвечает, что это не так, и предлагает Купмансу взглянуть на пример с функциями полезности журнала и производственными функциями Кобба-Дугласа.
На этом этапе Купманс, очевидно, осознает, что у него есть проблема, но, основываясь на запутанном приложении к более поздней версии статьи, выпущенной после конференции в Ватикане, он, кажется, не может решить, как решить проблему, поднятую Условием I.
Из интервью по макроэкономической динамике с Кассом ясно, что Купманс встретился с научным руководителем Касса, Хирофуми Удзавой , на зимних собраниях Эконометрического общества в январе 1964 года, где Удзава сообщил ему, что его ученик [Касс] уже решил эту проблему. . Затем Удзава, должно быть, предоставил Купмансу копию главы диссертации Касса, которую он, очевидно, отправил под видом Технического отчета IMSSS, который Купманс цитировал в опубликованной версии своей статьи. Слово «обличие» здесь уместно, потому что номер ТУ, указанный в цитировании Купманса, означал бы дату выпуска отчета в начале 1950-х годов, чего явно не было.
В опубликованной версии статьи Купманса он накладывает новое условие Альфа в дополнение к уравнениям Эйлера, заявляя, что единственная допустимая траектория среди тех, которые удовлетворяют уравнениям Эйлера, - это та, которая сходится к оптимальному установившемуся равновесию модели. Этот результат получен в статье Касса посредством наложения условия трансверсальности, которое Касс вывел из соответствующих разделов книги Льва Понтрягина . [11] Спир и Янг предполагают, что Купманс выбрал этот путь, потому что не хотел, чтобы он «заимствовал» технологию трансверсальности Малинво или Касса.
Основываясь на этом и другом исследовании вклада Малинво в 1950-е годы - в частности, на его интуитивном понимании важности условия трансверсальности - Спир и Янг предполагают, что неоклассическую модель роста лучше назвать моделью Рамсея-Малинво-Касса, чем установленной моделью Рамсея– Почетный знак Кэсс-Купманса.
Заметки
- ^ Этот результат связан не только с эндогенностью нормы сбережений, но и с бесконечным характером горизонта планирования агентов в модели; это не выполняется в других моделях с эндогенными нормами сбережений, а в более сложной межпоколенческой динамике, например, в моделях перекрывающихся поколений Самуэльсона или Даймонда .
- ^ Предположение, чтона самом деле имеет решающее значение для анализа. Если, то при малых значениях оптимальное значение равно 0 и, следовательно, если достаточно мало, существует начальный интервал времени, где даже если , см. Nævdal, E. (2019). «Новые выводы из канонической модели роста Рамси – Касса – Купманса». Макроэкономическая динамика . DOI : 10.1017 / S1365100519000786 .
- ^ Гамильтониан проблемы Рэмси – Касса – Купманса имеет вид
- ^ Проблема также может быть решена с помощью классическихметодов вариационного исчисления , см. Hadley, G .; Кемп, MC (1971). Вариационные методы в экономике . Нью-Йорк: Эльзевир. С. 50–71. ISBN 978-0-444-10097-9.
- ^ Матрица Якоби системы Рамсея – Касса – Купманса имеет вид
- ^ Можно показать, что условие «отсутствия схемы Понци» следует из условия трансверсальности гамильтониана, см. Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавьер (2004). Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 91–92. ISBN 978-0-262-02553-9.
Рекомендации
- ^ Рэмси, Фрэнк П. (1928). «Математическая теория сбережений». Экономический журнал . 38 (152): 543–559. DOI : 10.2307 / 2224098 . JSTOR 2224098 .
- ^ Кэсс, Дэвид (1965). «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала». Обзор экономических исследований . 32 (3): 233–240. DOI : 10.2307 / 2295827 . JSTOR 2295827 .
- ^ Купманс, TC (1965). «О концепции оптимального экономического роста». Экономический подход к планированию развития . Чикаго: Рэнд МакНелли. С. 225–287.
- ^ Коллард, Дэвид А. (2011). «Рэмси, спасение и поколения» . Поколения экономистов . Лондон: Рутледж. С. 256–273. ISBN 978-0-415-56541-7.
- ^ Бланшар, Оливье Жан; Фишер, Стэнли (1989). Лекции по макроэкономике . Кембридж: MIT Press. С. 41–43. ISBN 978-0-262-02283-5.
- ^ Бивис, Брайан; Доббс, Ян (1990). Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 157. ISBN. 978-0-521-33605-5.
- ^ Роу, Терри Л .; Смит, Родни Б.В.; Сараджоглу, Д. Сирин (2009). Мультисекторные модели роста: теория и применение . Нью-Йорк: Спрингер. п. 48. ISBN 978-0-387-77358-2.
- ^ Копье, ЮВ; Янг, W. (2014). «Оптимальные сбережения и оптимальный рост: связь Касса – Малинво – Купманса». Макроэкономическая динамика . 18 (1): 215–243. DOI : 10.1017 / S1365100513000291 .
- ^ Купманс, Тьяллинг (декабрь 1963 г.). «О концепции оптимального экономического роста» (PDF) . Документ для обсуждения Фонда Коулза 163 .
- ^ Маккензи, Лайонел (2002). «Некоторые ранние конференции по теории роста». В Битросе, Джордж; Кацулакос, Яннис (ред.). Очерки экономической теории, экономического роста и рынков труда . Челтенхэм: Эдвард Элгар. С. 3–18. ISBN 978-1-84064-739-6.
- ^ Понтрягин, Лев; Болтянский, Владимир; Гамкрелидзе, Реваз; Мищенко, Евгений (1962). Математическая теория оптимальных процессов . Нью-Йорк: Джон Вили.
дальнейшее чтение
- Аджемоглу, Дарон (2009). «Неоклассическая модель роста» . Введение в современный экономический рост . Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 287–326. ISBN 978-0-691-13292-1.
- Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавьер (2004). «Модели роста с оптимизацией потребителей» . Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 85–142. ISBN 978-0-262-02553-9.
- Бенасси, Жан-Паскаль (2011). «Модель Рэмси» . Макроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 145–160. ISBN 978-0-19-538771-1.
- Бланшар, Оливье Жан ; Фишер, Стэнли (1989). «Потребление и инвестиции: основные модели бесконечного горизонта» . Лекции по макроэкономике . Кембридж: MIT Press. С. 37–89. ISBN 978-0-262-02283-5.
- Мяо, Цзяньцзюнь (2014). «Неоклассические модели роста» . Экономическая динамика в дискретном времени . Кембридж: MIT Press. С. 353–364. ISBN 978-0-262-02761-8.
- Новалес, Альфонсо ; Фернандес, Эстер; Руис, Хесус (2009). «Оптимальный рост: анализ непрерывного времени» . Экономический рост: теория и численные методы решения . Берлин: Springer. С. 101–154. ISBN 978-3-540-68665-1.
- Ромер, Дэвид (2011). «Модели бесконечного горизонта и перекрывающихся поколений». Продвинутая макроэкономика (четвертое изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 49–77. ISBN 978-0-07-351137-5.
Внешние ссылки
- Обсуждение оригинальной статьи Рэмси Орацио Аттанасио на YouTube