Теория сэндвичей

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: Ошибка при отображении математических сценариев. Помогите улучшить эту статью, если можете. ( Май 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Композитная сэндвич-панель, используемая для испытаний в НАСА

Теория сэндвича ^{[1] [2]} описывает поведение балки , пластины или оболочки, состоящей из трех слоев - двух лицевых панелей и одного сердечника. Наиболее часто используемая теория сэндвичей является линейной и является расширением теории пучков первого порядка . Теория линейных сэндвич- панелей важна для проектирования и анализа сэндвич-панелей , которые используются в строительстве, строительстве транспортных средств, самолетостроении и холодильной технике.

Некоторыми преимуществами сэндвич-конструкции являются:

• Поперечные сечения сэндвича составные . Обычно они состоят из сердцевины от низкой до средней жесткости, которая соединена с двумя жесткими внешними лицевыми панелями. Композитный материал имеет значительно более высокое отношение жесткости к сдвигу к весу, чем эквивалентная балка, сделанная только из материала сердцевины или материала лицевой панели. Композит также имеет высокое отношение прочности на разрыв к весу.
• Высокая жесткость лицевого листа приводит к высокому соотношению жесткости на изгиб к весу композита.

Поведение балки с поперечным сечением сэндвич под нагрузкой отличается от балки с постоянным упругим поперечным сечением. Если радиус кривизны во время изгиба велик по сравнению с толщиной многослойной балки, а деформации в материалах компонентов небольшие, деформация многослойной композитной балки может быть разделена на две части.

• деформации из-за изгибающих моментов или изгибной деформации, и
• деформации из-за поперечных сил, также называемые деформацией сдвига.

Теории многослойных балок, пластин и оболочек обычно предполагают, что эталонное напряженное состояние является одним из нулевых напряжений. Однако во время отверждения разница температур между лицевыми панелями сохраняется из-за термического разделения материала сердцевины. Эти перепады температур в сочетании с различным линейным расширением лицевых листов могут привести к изгибу многослойной балки в направлении более теплого лицевого листа. Если изгиб ограничивается во время производственного процесса, в компонентах многослойного композита могут возникать остаточные напряжения . Суперпозиция состояния опорного напряжения на решениях , предусмотренных теорией сэндвича возможно , когда проблема линейной. Однако, когда ожидаются большие упругие деформации и повороты, начальное напряженное состояние должно быть включено непосредственно в теорию сэндвича.

Теория инженерных сэндвич-балок [ править ]

В инженерной теории многослойных балок ^[2] предполагается, что осевая деформация изменяется линейно по поперечному сечению балки, как в теории Эйлера-Бернулли , т. Е.

${\ displaystyle \ varepsilon _ {xx} (x, z) = - z ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w} {\ mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Следовательно, осевое напряжение в многослойной балке определяется выражением

${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (x, z) = - z ~ E (z) ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w} {\ mathrm {d} x ^ {2}} }}$

где - модуль Юнга, который является функцией местоположения по толщине балки. Изгибающий момент в балке затем дается${\ displaystyle E (z)}$

${\displaystyle M_{x}(x)=\int \int z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=-\left(\int \int z^{2}E(z)~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=:-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Величина называется жесткостью на изгиб многослойной балки. Усилие сдвига определяется как${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}={\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~.}$

Используя эти соотношения, мы можем показать, что напряжения в многослойной балке с сердечником, имеющим толщину и модуль упругости, и двумя пластинами, каждая из которых имеет толщину и модуль , определяются выражением${\displaystyle 2h}$${\displaystyle E^{c}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E^{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c} }\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}}$

Расчет напряжений инженерной многослойной балки

С ${\displaystyle {\cfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=-{\cfrac {M_{x}(x)}{D}}}$ мы можем записать осевое напряжение как ${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)={\cfrac {z~E(z)~M_{x}(x)}{D}}}$ Уравнение равновесия двумерного твердого тела имеет вид ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial z}}=0}$ где это напряжение сдвига . Следовательно,${\displaystyle \tau _{xz}}$ ${\displaystyle \tau _{xz}(x,z)=\int {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}~\mathrm {d} z+C(x)=\int {\cfrac {z~E(z)}{D}}~{\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~\mathrm {d} z+C(x)}$ где - постоянная интегрирования. Следовательно,${\displaystyle C(x)}$ ${\displaystyle \tau _{xz}(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{D}}\int z~E(z)~\mathrm {d} z+C(x)}$ Предположим, что к верхней грани многослойной балки не приложены усилия сдвига. Напряжение сдвига в верхнем лицевом листе определяется выражением ${\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {face} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{D}}\int _{z}^{h+f}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]+C(x)}$ В , следует , что . Тогда напряжение сдвига в верхней части сердечника определяется выражением${\displaystyle z=h+f}$${\displaystyle \tau _{xz}(x,h+f)=0}$${\displaystyle C(x)=0}$${\displaystyle z=h}$ ${\displaystyle \tau _{xz}(x,h)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}}$ Точно так же напряжение сдвига в сердечнике можно рассчитать как ${\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{D}}\int _{z}^{h}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{2D}}\left(h^{2}-z^{2}\right)+C(x)}$ Константа интегрирования определяется из непрерывности напряжения сдвига на границе раздела сердечника и лицевой панели. Следовательно,${\displaystyle C(x)}$ ${\displaystyle C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}}$ и ${\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{c}\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{f}f(f+2h)\right]}$

Для многослойной балки с одинаковыми лицевыми панелями и единичной шириной значение равно ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=E^{f}\int _{w}\int _{-h-f}^{-h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{c}\int _{w}\int _{-h}^{h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{f}\int _{w}\int _{h}^{h+f}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+{\frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~.\end{aligned}}}$

Если , то можно аппроксимировать как${\displaystyle E^{f}\gg E^{c}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle D\approx {\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}\left({\frac {1}{3}}f^{2}+h(f+h)\right)}$

а напряжения в многослойной балке можно аппроксимировать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}}$

Если, кроме того , то${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D\approx 2E^{f}fh(f+h)}$

и приблизительные напряжения в балке равны

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

Если мы предположим, что лицевые панели достаточно тонкие, чтобы можно было считать напряжения постоянными по толщине, мы имеем приближение

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx \pm {\cfrac {M_{x}}{2fh}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx 0~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

Следовательно, проблему можно разделить на две части: одна связана только со сдвигом сердечника, а другая - только с напряжениями изгиба в лицевых листах.

Теория линейного сэндвича [ править ]

Гибка многослойной балки с помощью тонких лицевых панелей [ править ]

Основными допущениями линейных сэндвич-теорий балок с тонкими поверхностями являются:

• поперечная нормальная жесткость сердечника бесконечна, т. е. толщина сердечника в z-направлении не изменяется при изгибе
• нормальная жесткость сердечника в плоскости мала по сравнению с жесткостью лицевых листов, т. е. сердечник не удлиняется и не сжимается в направлении x
• облицовочные листы ведут себя в соответствии с предположениями Эйлера-Бернулли , т. е. в лицевых листах отсутствует сдвиг по оси xz и толщина лицевых листов в направлении z не изменяется.

Однако сдвиговыми напряжениями xz в сердечнике пренебречь нельзя.

Учредительные допущения [ править ]

Материальные соотношения для двумерных ортотропных линейно-упругих материалов имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{zx}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0\\C_{13}&C_{33}&0\\0&0&C_{55}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{zx}\end{bmatrix}}}$

Предположения теории сэндвичей приводят к упрощенным соотношениям

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {face} }=\sigma _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {core} }=\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

и

${\displaystyle \varepsilon _{zz}^{\mathrm {face} }=\varepsilon _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\varepsilon _{zz}^{\mathrm {core} }=\varepsilon _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

Уравнения равновесия в двух измерениях:

${\displaystyle {\cfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}=0~;~~{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=0}$

Предположения для многослойной балки и уравнения равновесия подразумевают, что

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

Следовательно, для однородных лицевых панелей и сердечника деформации также имеют вид

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

Кинематика [ править ]

Пусть на многослойную балку действуют изгибающий момент и поперечная сила . Пусть полный прогиб балки от этих нагрузок будет . На соседнем рисунке показано, что при малых перемещениях полное отклонение средней поверхности балки может быть выражено как сумма двух отклонений, чистого отклонения изгиба и чистого отклонения сдвига , т. Е.${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{b}}$${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)}$

Из геометрии деформации видно, что инженерная деформация сдвига ( ) в сердечнике связана с эффективной деформацией сдвига в композите соотношением${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{2h}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

Обратите внимание, что деформация сдвига в сердечнике больше, чем эффективная деформация сдвига в композите, и что при выводе вышеуказанного соотношения предполагаются небольшие деформации ( ). Эффективная деформация сдвига в балке связана со сдвигом смещения соотношением${\displaystyle \tan \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }={\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Предполагается, что облицовочные листы деформируются в соответствии с предположениями теории балок Эйлера-Бернулли. Предполагается, что полный прогиб лицевых панелей представляет собой суперпозицию прогибов из-за изгиба и из-за сдвига сердечника. В направлении оси смещения облицовок из - за изгиб определяется${\displaystyle x}$

${\displaystyle u_{b}^{\mathrm {face} }(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} w_{b}}{\mathrm {d} x}}}$

Смещение верхнего лицевого листа из-за сдвига в сердечнике составляет

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {topface} }(x,z)=-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

и нижний лицевой лист

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {botface} }(x,z)=-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Нормальные деформации на двух лицевых листах представлены как

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{b}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial u_{s}}{\partial x}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {topface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {botface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Отношения напряжение-смещение [ править ]

Напряжение сдвига в сердечнике определяется выражением

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {C_{55}^{\mathrm {core} }}{2}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

или же,

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Нормальные напряжения в лицевых листах определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {topface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\\sigma _{xx}^{\mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

Результирующие силы и моменты [ править ]

Результирующая нормальная сила на лицевой стороне определяется как

${\displaystyle N_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

а результирующие моменты определяются как

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}z_{f}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

куда

${\displaystyle z_{f}^{\mathrm {topface} }:=z-h-{\tfrac {f}{2}}~;~~z_{f}^{\mathrm {botface} }:=z+h+{\tfrac {f}{2}}}$

Использование выражений для нормального напряжения на двух лицевых листах дает

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-f\left(h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}=-N_{xx}^{\mathrm {botface} }\\M_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{\mathrm {botface} }\end{aligned}}}$

По сути, результирующий момент равен

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {core} }:=\int _{-h}^{h}z~\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }~\mathrm {d} z=0}$

Полный изгибающий момент в балке равен

${\displaystyle M=N_{xx}^{\mathrm {topface} }~(2h+f)+2~M_{xx}^{\mathrm {topface} }}$

или же,

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Сила сдвига в сердечнике определяется как${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {core} }=\kappa \int _{-h}^{h}\sigma _{xz}~dz={\tfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

где - коэффициент поправки на сдвиг. Сила сдвига в лицевых листах может быть вычислена из изгибающих моментов, используя соотношение${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }={\cfrac {\mathrm {d} M_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

или же,

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

Для тонких лицевых листов усилие сдвига в лицевых листах обычно игнорируется. ^[2]

Жесткость на изгиб и сдвиг [ править ]

Жесткость на изгиб многослойной балки определяется выражением

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }=-M/{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Из выражения для полного изгибающего момента в балке имеем

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

При малых деформациях сдвига это выражение можно записать как

${\displaystyle M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Следовательно, жесткость на изгиб многослойной балки (с ) определяется выражением${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

и то из лицевых листов

${\displaystyle D^{\mathrm {face} }={\cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

Жесткость балки на сдвиг определяется выражением

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=Q_{x}/{\tfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Следовательно, поперечная жесткость балки, которая равна поперечной жесткости сердечника, равна

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=S^{\mathrm {core} }={\cfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }}$

Связь между прогибами при изгибе и сдвиге [ править ]

Связь между прогибами при изгибе и сдвиге может быть получена путем использования непрерывности тягового усилия между сердечником и лицевыми панелями. Если приравнять тяги напрямую, мы получим

${\displaystyle n_{x}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }}$

На обоих интерфейсах лицевого листа и ядра, но наверху ядра и внизу ядра . Следовательно, непрерывность тяги при приводит к${\displaystyle n_{x}=1}$${\displaystyle n_{z}=1}$${\displaystyle n_{z}=-1}$${\displaystyle z=\pm h}$

${\displaystyle 2fh~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2h+f)~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=4h^{2}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Вышеупомянутое соотношение используется редко из-за наличия вторых производных сдвигового прогиба. Вместо этого предполагается, что

${\displaystyle n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

откуда следует, что

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-2fh~\left({\cfrac {C_{11}^{\mathrm {face} }}{C_{55}^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{b}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

Управляющие уравнения [ править ]

Используя приведенные выше определения, основные уравнения баланса для изгибающего момента и поперечной силы имеют следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=D^{\mathrm {beam} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(D^{\mathrm {beam} }+2D^{\mathrm {face} }\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q&=S^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-2D^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы мы можем выразить вышеизложенное как два уравнения, которые могут быть решены относительно и как${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}~{\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=-\left(1+{\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Используя приближения

${\displaystyle Q\approx {\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}~;~~q\approx {\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}}$

где - интенсивность приложенной к балке нагрузки, имеем${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Для решения этой системы двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом приложенной нагрузки и приложенного изгибающего момента и граничных условий смещения можно использовать несколько методов.

Альтернативная форма зависимых от температуры основных уравнений [ править ]

Предполагая, что каждое частичное поперечное сечение удовлетворяет гипотезе Бернулли , баланс сил и моментов на деформированном элементе многослойной балки можно использовать для вывода уравнения изгиба для многослойной балки.

Результирующие напряжения и соответствующие деформации балки и поперечного сечения можно увидеть на рисунке 1. Следующие зависимости могут быть получены с использованием теории линейной упругости : ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{\mathrm {core} }&=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\vartheta \right)\\M^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q^{\mathrm {core} }&=S^{\mathrm {core} }\gamma \\Q^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}\,}$

куда

${\displaystyle w\,}$	поперечное смещение балки
${\displaystyle \gamma \,}$	Средняя деформация сдвига в сэндвиче	${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}\,}$
${\displaystyle \gamma _{1}\,}$	Вращение лицевых листов	${\displaystyle \gamma _{1}={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\,}$
${\displaystyle \gamma _{2}\,}$	Деформация сдвига в сердечнике
${\displaystyle M^{\mathrm {core} }\,}$	Изгибающий момент в сердечнике
${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\,}$	Прочность на изгиб многослойной балки
${\displaystyle M^{\mathrm {face} }\,}$	Изгибающий момент в лицевых листах
${\displaystyle D^{\mathrm {face} }\,}$	Жесткость лицевых панелей на изгиб
${\displaystyle Q^{\mathrm {core} }\,}$	Сила сдвига в сердечнике
${\displaystyle Q^{\mathrm {face} }\,}$	Сила сдвига в лицевых листах
${\displaystyle S^{\mathrm {core} }\,}$	Жесткость сердечника на сдвиг
${\displaystyle \vartheta \,}$	Дополнительный изгиб из-за падения температуры	${\displaystyle \vartheta ={\frac {\alpha (T_{o}-T_{u})}{e}}\,}$
${\displaystyle \alpha \,}$	Температурный коэффициент расширения преобразователей

Суперпозиция уравнений для лицевых панелей и сердечника приводит к следующим уравнениям для полной силы сдвига и полного изгибающего момента :${\displaystyle Q}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&S^{\mathrm {core} }\gamma -D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}=Q&\quad \quad &(1)\\&D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)-\left(D^{\mathrm {beam} }+D^{\mathrm {face} }\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M&\quad \quad &(2)\,\end{alignedat}}}$

В качестве альтернативы мы можем выразить вышеизложенное как два уравнения, которые могут быть решены относительно и , т. Е.${\displaystyle w}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}-\vartheta \\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\gamma }{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right)\gamma =-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Решение приближается [ править ]