В математике замена переменных - это основной метод, используемый для упрощения задач, в котором исходные переменные заменяются функциями других переменных. Смысл в том, что при выражении в новых переменных проблема может стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.
Замена переменных - это операция, связанная с заменой . Однако это разные операции, что можно увидеть при рассмотрении дифференциации ( цепное правило ) или интеграции ( интеграция путем замены ).
Очень простой пример полезной замены переменной можно увидеть в задаче поиска корней многочлена шестой степени:
Полиномиальные уравнения шестой степени, как правило, невозможно решить в терминах радикалов (см. Теорему Абеля – Руффини ). Однако это конкретное уравнение можно записать
(это простой случай полиномиального разложения ). Таким образом, уравнение можно упростить, определив новую переменную. Подставив x на в полином дает
которое представляет собой квадратное уравнение с двумя решениями:
Решения в терминах исходной переменной получаются заменой x 3 обратно на u , что дает
Затем, предполагая, что вас интересуют только действительные решения, решения исходного уравнения имеют вид
Простой пример
Рассмотрим систему уравнений
где а также положительные целые числа с . (Источник: AIME 1991 г. )
Обычно это не так сложно, но может оказаться немного утомительным. Однако мы можем переписать второе уравнение в виде. Делаем замены а также сокращает систему до . Решение этого дает а также . Обратная подстановка первой упорядоченной пары дает нам, что дает решение Обратная подстановка второй упорядоченной пары дает нам , что не дает решений. Следовательно, решение, которое решает систему, есть.
Официальное введение
Позволять , - гладкие многообразия, и пусть быть - диффеоморфизм между ними, то есть: это раз непрерывно дифференцируемое, биективное отображение из к с участием раз непрерывно дифференцируемые обратные к . Здесь может быть любым натуральным числом (или нулем), ( гладкий ) или( аналитический ).
Карта называется регулярным преобразованием координат или регулярной заменой переменных , где регулярный относится к-неспособность . Обычно пишут для обозначения замены переменной по переменной подставив значение в для каждого случая .
Другие примеры
Преобразование координат
Некоторые системы легче решить при переходе на полярные координаты . Рассмотрим, например, уравнение
Это может быть функция потенциальной энергии для некоторой физической проблемы. Если решение не сразу видно, можно попробовать замену
- дано
Обратите внимание, что если выходит за пределы -длина интервала, например, , карта больше не биективен. Следовательно, должно быть ограничено, например, . Обратите внимание, как исключен, для не биективен в начале координат (может принимать любое значение, точка будет отображена в (0, 0)). Затем, заменяя все вхождения исходных переменных новыми выражениями, предписанными и используя личность , мы получили
Теперь решения можно легко найти: , так или же . Применяя инверсию показывает, что это эквивалентно пока . Действительно, мы видим, что для функция исчезает, за исключением начала координат.
Обратите внимание: если бы мы разрешили , источник также был бы решением, хотя это не решение исходной проблемы. Здесь биективностьимеет решающее значение. Функция всегда положительна (для), отсюда и абсолютные значения.
Дифференциация
Цепное правило используются для упрощения сложной дифференциации. Например, рассмотрим задачу вычисления производной
Письмо
мы получили
Интеграция
Сложные интегралы часто можно вычислить, меняя переменные; это включается правилом подстановки и аналогично использованию правила цепочки выше. Сложные интегралы также могут быть решены путем упрощения интеграла с использованием замены переменных, заданных соответствующей матрицей Якоби и определителем . [1] Использование определителя Якоби и соответствующего изменения переменной, которое он дает, является основой таких систем координат, как полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
Дифференциальные уравнения
Изменения переменных для дифференцирования и интегрирования преподаются в элементарных расчетах, и шаги редко выполняются полностью.
Очень широкое использование изменений переменных очевидно при рассмотрении дифференциальных уравнений, где независимые переменные могут быть изменены с использованием цепного правила или зависимые переменные изменяются, что приводит к некоторой дифференциации. Экзотические изменения, такие как смешение зависимых и независимых переменных в точечных и контактных преобразованиях , могут быть очень сложными, но дают большую свободу.
Очень часто проблема заменяется общей формой изменения, а параметры подбираются по ходу дела, чтобы максимально упростить проблему.
Масштабирование и смещение
Вероятно, самое простое изменение - это масштабирование и сдвиг переменных, то есть замена их новыми переменными, которые «растягиваются» и «перемещаются» на постоянную величину. Это очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач. Для производной n- го порядка изменение просто приводит к
где
Это легко показать с помощью цепного правила и линейности дифференцирования. Это изменение очень часто встречается в практических приложениях, чтобы получить физические параметры из задач, например, краевой задачи
описывает параллельный поток жидкости между плоскими твердыми стенками, разделенными расстоянием δ; μ - вязкость иградиент давления , обе константы. При масштабировании переменных проблема становится
где
Масштабирование полезно по многим причинам. Это упрощает анализ как за счет уменьшения количества параметров, так и за счет упрощения задачи. Правильное масштабирование может нормализовать переменные, то есть дать им разумный безразмерный диапазон, такой как от 0 до 1. Наконец, если проблема требует числового решения, чем меньше параметров, тем меньше количество вычислений.
Импульс против скорости
Рассмотрим систему уравнений
для данной функции . Массу можно исключить (тривиальной) заменой. Ясно, что это биективное отображение из к . При замене система становится
Лагранжева механика
Учитывая силовое поле , Ньютон «S уравнения движения являются
Лагранж исследовал, как эти уравнения движения меняются при произвольной замене переменных ,
Он обнаружил, что уравнения
эквивалентны уравнениям Ньютона для функции , где T - кинетическая, а V - потенциальная энергия.
Фактически, когда подстановка выбрана правильно (используя, например, симметрии и ограничения системы), эти уравнения намного легче решить, чем уравнения Ньютона в декартовых координатах.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Каплан, Уилфред (1973). «Замена переменных в интегралах». Advanced Calculus (Второе изд.). Читает: Эддисон-Уэсли. С. 269–275.