В математике , А топологическое пространство называются разъемным , если оно содержит счетное , плотное подмножество; то есть существует последовательность элементов пространства такие, что каждое непустое открытое подмножество пространства содержит хотя бы один элемент последовательности.
Аксиомы сепарации в топологических пространствах | |
---|---|
Классификация Колмогорова | |
Т 0 | (Колмогоров) |
Т 1 | (Фреше) |
Т 2 | (Хаусдорф) |
Т 2 ½ | (Урысон) |
полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
Т 3 | (обычный Хаусдорф) |
Т 3½ | (Тихонов) |
Т 4 | (нормальный Хаусдорф) |
Т 5 | (совершенно нормальный Хаусдорф) |
Т 6 | (совершенно нормальный Хаусдорф) |
Как и другие аксиомы счетности , разделимость - это «ограничение размера», не обязательно в терминах мощности (хотя в присутствии аксиомы Хаусдорфа это действительно так, см. Ниже), но в более тонком смысле. топологический смысл. В частности, каждая непрерывная функция на сепарабельном пространстве, образ которой является подмножеством хаусдорфова пространства, определяется своими значениями на счетном плотном подмножестве.
Контрастная отделимость с родственным понятием второй счетности , которое, вообще говоря, более сильное, но эквивалентное на классе метризуемых пространств.
Первые примеры
Любое топологическое пространство, которое само по себе является конечным или счетно бесконечным , сепарабельно, поскольку все пространство является счетным плотным подмножеством самого себя. Важным примером несчетного разделимого пространства является вещественная линия , в которой рациональные числа образуют счетное плотное подмножество. Аналогично множество всех векторов из которых счетное плотное подмножество; так что для каждого, -мерное евклидово пространство сепарабельно.
Простым примером неотделимого пространства является дискретное пространство несчетной мощности.
Дополнительные примеры приведены ниже.
Разделимость по сравнению со вторым счетом
Любое пространство с подсчетом секунд разделимо: если является счетной базой, выбирая любую из непустого дает счетное плотное подмножество. Наоборот, метризуемое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно является вторым счетным, что имеет место тогда и только тогда, когда оно является линделёфским .
Для дальнейшего сравнения этих двух свойств:
- Произвольное подпространство счетного пространства вторым счетно; подпространства сепарабельных пространств не обязательно должны быть сепарабельными (см. ниже).
- Любой непрерывный образ отделимого пространства отделим ( Willard 1970 , Th. 16.4a); даже частное от пространства с подсчетом секунд не обязательно должно быть подсчетом секунд.
- Продукт из не более континуума многих отделимых пространств отделимо ( Willard 1970 , стр. 109, Th 16.4c). Счетное произведение пространств со вторым счетом является счетным вторым, но несчетное произведение пространств со вторым счетом даже не обязательно должно быть первым счетным.
Мы можем построить пример сепарабельного топологического пространства, которое не является вторым счетным. Рассмотрим любой бесчисленный наборвыберите немного , и определим топологию как совокупность всех наборов, содержащих (или пустые). Затем закрытие это все пространство ( наименьшее замкнутое множество, содержащее ), но каждый набор вида открыто. Следовательно, пространство отделимо, но счетной базы быть не может.
Мощность
Свойство отделимости само по себе не дает никаких ограничений на мощность топологического пространства: любое множество, наделенное тривиальной топологией, является сепарабельным, так же как и вторым счетным, квазикомпактным и связным . «Проблема» тривиальной топологии заключается в ее плохих разделительных свойствах: ее фактор Колмогорова является одноточечным пространством.
Первого счетно , разъемные хаусдорфовым (в частности, отделимое метрическое пространство) имеет самое большее континуум мощности . В таком пространстве замыкание определяется пределами последовательностей, и любая сходящаяся последовательность имеет не более одного предела, поэтому существует сюръективное отображение из множества сходящихся последовательностей со значениями в счетном плотном подмножестве в точки.
Отделимое хаусдорфово пространство имеет мощность не более , где - мощность континуума. Для этого укупорка характеризует пределы фильтрующих баз : если а также , тогда тогда и только тогда, когда существует база фильтра состоящий из подмножеств что сходится к . Мощность множества таких баз фильтров не более . Более того, в пространстве Хаусдорфа существует не более одного предела для каждой базы фильтра. Следовательно, есть сюрприз когда
Те же рассуждения устанавливают более общий результат: предположим, что хаусдорфово топологическое пространство содержит плотное подмножество мощности . потом имеет мощность не более и мощность не более если это первый счет.
Произведение не более чем континуума многих сепарабельных пространств является сепарабельным пространством ( Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c). В частности, пространство всех функций от вещественной прямой до самой себя, наделенной топологией произведения, является сепарабельным хаусдорфовым пространством мощности . В более общем смысле, если - любой бесконечный кардинал, то произведение не более чем пространства с плотными подмножествами размера не более имеет плотное подмножество размера не более ( Теорема Хьюитта – Марчевского – Пондичери ).
Конструктивная математика
Сепарабельность особенно важна в численном анализе и конструктивной математике , поскольку многие теоремы, которые могут быть доказаны для несепарабельных пространств, имеют конструктивные доказательства только для сепарабельных пространств. Такие конструктивные доказательства можно превратить в алгоритмы для использования в численном анализе, и они являются единственными видами доказательств, приемлемых для конструктивного анализа. Знаменитым примером теорем такого рода является теорема Хана – Банаха .
Дальнейшие примеры
Разделимые пространства
- Всякое компактное метрическое пространство (или метризуемое пространство) сепарабельно.
- Любое топологическое пространство, являющееся объединением счетного числа сепарабельных подпространств, сепарабельно. Вместе эти первые два примера дают другое доказательство того, что-мерное евклидово пространство сепарабельно.
- Космос всех непрерывных функций из компактного подмножества к реальной линии отделимо.
- Пространства Лебега , над сепарабельным пространством с мерой , отделимы для любых .
- Космос из непрерывных вещественных функций на единичном интервале с метрикой равномерной сходимости является сепарабельным пространством, поскольку из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса следует, что множество многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами является счетным плотным подмножеством . Теорема Банаха – Мазура утверждает, что любое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому линейному подпространству в.
- Гильбертово пространство отделимо тогда и только тогда , когда оно имеет счетный ортонормированный базис . Отсюда следует, что любое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изометрично пространству суммируемых с квадратом последовательностей.
- Примером разделяемого пространства, не имеющего второго счета, является линия Соргенфрея , множество действительных чисел с топологией нижнего предела .
- Разъемные σ-алгебра является σ-алгебраэто сепарабельное пространство, если рассматривать его как метрическое пространство с метрикой для и заданная мера (и с - симметричный разностный оператор). [1]
Неразделимые пространства
- Первое несчетное порядковое , снабженная топологией естественного порядка , неразделима.
- Банахово пространство всех ограниченных вещественных последовательностей с супремум-нормой неотделима. То же самое верно и для.
- Банахово пространство из функций ограниченной вариации не отделит; Обратите внимание, однако, что это пространство имеет очень важные приложения в математике, физике и технике.
Характеристики
- Подпространство сепарабельного пространства не обязательно должно быть отделимо (см плоскости Соргенфрея и плоскость Мур ), но каждое открытое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно ( Willard 1970 , Th 16.4b). Также каждое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.
- Фактически, каждое топологическое пространство является подпространством сепарабельного пространства той же мощности . Конструкция, складывающая не более чем счетное количество точек, дана в ( Sierpiński 1952 , p. 49); если пространство было хаусдорфовым, то построенное пространство, в которое оно вкладывается, также является хаусдорфовым.
- Множество всех действительных непрерывных функций на сепарабельном пространстве имеет мощность, меньшую или равную . Это следует из того, что такие функции определяются своими значениями на плотных подмножествах.
- Из указанного выше свойства можно вывести следующее: если X - сепарабельное пространство, имеющее несчетное замкнутое дискретное подпространство, то X не может быть нормальным . Это показывает, что самолет Зоргенфри ненормальный.
- Для компактного хаусдорфова пространства X следующие утверждения эквивалентны:
- (i) X является вторым счетным.
- (ii) Пространство непрерывных вещественнозначных функций на X с нормой супремума сепарабельна.
- (iii) X метризуемо.
Вложение сепарабельных метрических пространств
- Каждое сепарабельное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова куба . Это установлено при доказательстве теоремы Урысона о метризации .
- Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству (неотделимого) банахова пространства l ∞ всех ограниченных вещественных последовательностей с супремум-нормой ; это известно как вложение Фреше. ( Хейнонен 2003 )
- Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству C ([0,1]), сепарабельному банахову пространству непрерывных функций [0,1] → R , с нормой супремума . Это связано со Стефаном Банахом . ( Хейнонен 2003 )
- Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству универсального пространства Урысона .
Для неразделимых пространств :
- Метрическое пространство от плотности , равного бесконечном кардинального α изометричное подпространства C ([0,1] α , R ) , пространство вещественных непрерывных функций на произведении & alpha копий единичного интервала. ( Клейбер 1969 )
Рекомендации
- ^ Джамоня, Мирна; Кунен, Кеннет (1995). "Свойства класса мерных сепарабельных компактов" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math / 9408201 . Bibcode : 1994math ...... 8201D .
Если борелевская мера на , алгебра мер булева алгебра всех борелевских множеств по модулю -нулевые наборы. Есликонечно, то такая алгебра мер также является метрическим пространством, причем расстояние между двумя множествами является мерой их симметрической разности. Затем мы говорим, чтоявляется отделимы тогда и только тогда это метрическое пространство отделимо как топологическое пространство.
- Хейнонен, Юха (январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств (PDF) , данные получены 6 февраля 2009 г.
- Келли, Джон Л. (1975), Общая топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, Руководство по ремонту 0370454
- Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969), "Обобщенная теорема Банаха-Мазура", Bull. Austral. Математика. Soc. , 1 (2): 169–173, DOI : 10.1017 / S0004972700041411
- Серпинский, Вацлав (1952), Общая топология , Математические экспозиции, № 7, Торонто, Онтарио: University of Toronto Press, MR 0050870
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446
- Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-08707-9, Руководство по ремонту 0264581