Лемма Шепли-Фолкмана является результатом выпуклой геометрии с приложениями в математической экономике , которая описывает сложение множеств Минковского в векторном пространстве . Сложение Минковского определяется как добавление элементов множеств : например, добавление множества, состоящего из целых чисел ноль и единица, к самому себе дает множество, состоящее из нуля, единицы и два:
Лемма Шепли-Фолкмана и связанные с ней результаты дают утвердительный ответ на вопрос: «Близка ли сумма многих множеств к выпуклости ?» [2] Множество определяется как выпуклое , если каждый отрезок, соединяющий две его точки, является подмножеством в множестве: например, сплошной диск является выпуклым множеством, а окружность — нет, потому что отрезок, соединяющий две различные точки не является подмножеством окружности. Лемма Шепли-Фолкмана предполагает, что если количество суммируемых множеств превышает размерность векторного пространства, то их сумма Минковского приблизительно выпукла. [1]
Лемма Шепли-Фолкмана была введена как шаг в доказательстве теоремы Шепли-Фолкмана , которая устанавливает верхнюю границу расстояния между суммой Минковского и ее выпуклой оболочкой . Выпуклая оболочка множества Q — это наименьшее выпуклое множество, содержащее Q . Это расстояние равно нулю тогда и только тогда , когда сумма выпукла. Оценка теоремы на расстоянии зависит от размерности D и формы наборов слагаемых, но не от количества наборов слагаемых N , когда N > D. Формы поднабора только из D наборов слагаемых определяют границу расстояния между средним значением Минковского для N наборов
и его выпуклая оболочка. Когда N увеличивается до бесконечности , граница уменьшается до нуля (для наборов слагаемых равномерно ограниченного размера). [3] Верхняя граница теоремы Шепли-Фолкмана была уменьшена следствием Старра (альтернативно, теоремой Шепли-Фолкмана-Старра ).
Лемма Ллойда Шепли и Джона Фолкмана была впервые опубликована экономистом Россом М. Старром , который исследовал существование экономического равновесия во время учебы у Кеннета Эрроу . [1] В своей статье Старр изучал выпуклуюэкономика, в которой невыпуклые множества заменены их выпуклыми оболочками; Старр доказал, что выпуклая экономика имеет равновесия, которые очень близки к «квазиравновесиям» исходной экономики; более того, он доказал, что каждое квазиравновесие обладает многими оптимальными свойствами истинного равновесия, существование которых доказано для выпуклой экономики. После статьи Старра 1969 года результаты Шепли-Фолкмана-Старра широко использовались, чтобы показать, что основные результаты (выпуклой) экономической теории являются хорошими приближениями к крупным экономикам с невыпуклостью; например, квазиравновесия очень близки к равновесиям выпуклой экономики. «Вывод этих результатов в общей форме был одним из главных достижений послевоенной экономической теории», — писал Роджер Геснери .Тему невыпуклых множеств в экономике изучали многие лауреаты Нобелевской премии , помимо Ллойда Шепли, получившего премию в 2012 году: Эрроу (1972), Роберт Ауманн (2005), Жерар Дебре (1983), Тьяллинг Купманс (1975), Пол Кругман (2008 г.) и Пол Самуэльсон (1970 г.); дополнительная тема выпуклых множеств в экономике была подчеркнута этими лауреатами, наряду с Леонидом Гурвичем , Леонидом Канторовичем (1975) и Робертом Солоу (1987).
Лемма Шепли-Фолкмана имеет приложения также в оптимизации и теории вероятностей . [3] В теории оптимизации лемма Шепли-Фолкмана использовалась для объяснения успешного решения задач минимизации, которые представляют собой суммы многих функций . [5] [6] Лемма Шепли-Фолкмана также использовалась в доказательствах « закона средних» для случайных множеств , теоремы, которая была доказана только для выпуклых множеств. [7]