Шэпайте-Фолкман леммой является результатом в выпуклой геометрии с приложениями в математической экономике , описывающее сложение Минковского из множеств в векторном пространстве . Добавление Минковского определяется как дополнение множеств членов : например, добавив множество , состоящее из целых чисел ноль и один к себе дает множество , состоящее из одного нуля, и два:
- {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}.
Лемма Шепли – Фолкмана и связанные с ней результаты дают положительный ответ на вопрос: «Близка ли сумма многих множеств к выпуклой ?» [2] Набор определяется как выпуклый, если каждый отрезок линии, соединяющий две его точки, является подмножеством в наборе: например, твердый диск выпуклое множество, но круг нет, потому что отрезок прямой, соединяющий две разные точки не является частью круга. Лемма Шепли – Фолкмана предполагает, что если количество суммированных множеств превышает размерность векторного пространства, то их сумма Минковского будет приблизительно выпуклой. [1]
Шэпли-Фолкман лемма была введена в качестве шага в доказательстве части Шэпли-Folkman теоремы , в которой говорится верхняя граница на расстоянии между суммой Минковского и ее выпуклой оболочки . Выпуклая оболочка из множества Q является наименьшее выпуклое множество, содержащее Q . Это расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда сумма выпуклая. Теорема Граница на расстоянии зависит от размера D и на формах слагаемых-множества, но не от числа слагаемых-множеств N , при N > D . Формы подколлекции, состоящей только из D наборов слагаемых, определяют границу расстояния между средними Минковского из N наборов.
- 1 ⁄ N ( Q 1 + Q 2 + ... + Q N )
и его выпуклая оболочка. Когда N увеличивается до бесконечности , оценка уменьшается до нуля (для наборов слагаемых равномерно ограниченного размера). [3] Верхняя оценка теоремы Шепли – Фолкмана была понижена следствием Старра (альтернативно теореме Шепли – Фолкмана – Старра ).
Лемма Ллойда Шепли и Джона Фолкмана была впервые опубликована экономистом Россом М. Старром , который исследовал существование экономического равновесия во время обучения у Кеннета Эрроу . [1] В своей статье Старр изучал выпуклую экономику, в которой невыпуклые множества заменялись их выпуклой оболочкой; Старр доказал, что выпуклая экономика имеет равновесия, которые близко аппроксимируются «квазиравновесиями» исходной экономики; кроме того, он доказал, что каждое квазиравновесие обладает многими из оптимальных свойств истинного равновесия, существование которых доказано для выпуклой экономики. После статьи Старра 1969 года результаты Шепли – Фолкмана – Старра широко использовались, чтобы показать, что основные результаты (выпуклой) экономической теории являются хорошим приближением к крупным экономикам с невыпуклостью; например, квазиравновесия близко аппроксимируют равновесия выпуклой экономики. «Получение этих результатов в общем виде было одним из главных достижений послевоенной экономической теории», - писал Роджер Геснери . [4] Тема невыпуклых множеств в экономике изучалась многими нобелевскими лауреатами , помимо Ллойда Шепли, получившего премию в 2012 году: Эрроу (1972), Роберта Ауманна (2005), Жерара Дебре (1983), Тьяллинга Купманса ( 1975), Пол Кругман (2008) и Пол Самуэльсон (1970); дополнительная тема выпуклых множеств в экономике была подчеркнута этими лауреатами, наряду с Леонидом Гурвичем , Леонидом Канторовичем (1975) и Робертом Солоу (1987).
Лемма Шепли – Фолкмана имеет приложения также в оптимизации и теории вероятностей . [3] В теории оптимизации лемма Шепли – Фолкмана использовалась для объяснения успешного решения задач минимизации, которые являются суммами многих функций . [5] [6] Шепли-Фолкман лемма была также использована в доказательствах в «законе средних» для случайных множеств , теорема , которая была доказана только для выпуклых множеств. [7]
Вводный пример
Например, подмножество целых чисел {0, 1, 2} содержится в интервале от действительных чисел [0, 2], которая является выпуклой. Из леммы Шепли – Фолкмана следует, что каждая точка в [0, 2] является суммой целого числа из {0, 1} и действительного числа из [0, 1]. [8]
Расстояние между выпуклым интервалом [0, 2] и невыпуклым множеством {0, 1, 2} равно половине
- 1/2 = | 1 - 1/2 | = | 0 - 1/2 | = | 2 - 3/2 | = | 1 - 3/2 |.
Однако расстояние между средней суммой Минковского
- 1/2 ({0, 1} + {0, 1}) = {0, 1/2, 1}
а его выпуклая оболочка [0, 1] составляет только 1/4, что составляет половину расстояния (1/2) между его слагаемым {0, 1} и [0, 1]. По мере того, как все больше наборов складывается вместе, среднее значение их суммы «заполняет» его выпуклую оболочку: максимальное расстояние между средним значением и его выпуклой оболочкой приближается к нулю, поскольку среднее значение включает больше слагаемых . [8]
Предварительные мероприятия
Лемма Шепли – Фолкмана зависит от следующих определений и результатов выпуклой геометрии .
Реальные векторные пространства
Реальное векторное пространство двух измерений можно придать декартову систему координат , в которой каждая точка идентифицируются с помощью упорядоченной пары действительных чисел, называемых «координатой», которые обычно обозначаемых х и у . Две точки в декартовой плоскости могут быть добавлены по координатам
- ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 );
далее балл можно умножить на каждое действительное число λ по координатам
- λ ( x , y ) = ( λx , λy ).
В более общем смысле , любое вещественное векторное пространство (конечной) размерности D можно рассматривать как набор всех D -наборов из D действительных чисел {( V 1 , V 2 ,..., V D ) } , на которых две операции определены : сложение векторов и умножение на действительное число . Для конечномерных векторных пространств каждая операция сложения векторов и умножения действительных чисел может быть определена покоординатно, следуя примеру декартовой плоскости. [9]
Выпуклые множества
В реальном векторном пространстве, непустое множество Q определяется как выпуклым , если для каждой пары его точек, каждая точка отрезка , соединяющего их является подмножество из Q . Например, твердый диск выпуклый но круг нет, потому что он не содержит отрезка линии, соединяющего его точки ; невыпуклый набор из трех целых чисел {0, 1, 2} содержится в интервале [0, 2], который является выпуклым. Например, твердый куб выпуклый; однако все, что является полым или помятым, например, в форме полумесяца , не является выпуклым. Пустое множество выпукло, либо по определению [10] или бессодержательно , в зависимости от автора.
Более формально множество Q является выпуклым, если для всех точек v 0 и v 1 в Q и для каждого действительного числа λ в единичном интервале [0,1] точка
- (1 - λ ) v 0 + λv 1
является членом из Q .
По математической индукции , множество Q выпукло тогда и только тогда , когда каждая выпуклая комбинация членов Q также принадлежит Q . По определению, выпуклая комбинация индексированного подмножества { V 0 , V 1 ,. . . , v D } векторного пространства - это любое средневзвешенное значение λ 0 v 0 + λ 1 v 1 +. . . + Λ D v D , для некоторого индексированного множества неотрицательных действительных чисел { λ д } , удовлетворяющих уравнению λ 0 + λ 1 +. . . + λ D = 1. [11]
Из определения выпуклого множества следует, что пересечение двух выпуклых множеств является выпуклым множеством. В более общем смысле, пересечение семейства выпуклых множеств является выпуклым множеством. В частности, пересечение двух непересекающихся множеств - это пустое множество, которое является выпуклым. [10]
Выпуклый корпус
Для каждого подмножества Q вещественного векторного пространства, его выпуклая оболочка Conv ( Q ) является минимальным выпуклым множеством, содержащим Q . Таким образом , ко ( Q ) есть пересечение всех выпуклых множеств , что крышка Q . Выпуклая оболочка множества может быть эквивалентно определяется как множество всех выпуклых комбинаций точек в Q . [12] Например, выпуклая оболочка множества целых чисел {0,1} является замкнутым интервалом из действительных чисел [0,1], которая содержит целое число конечных точек. [8] Выпуклая оболочка единичной окружности - это замкнутый единичный круг , который содержит единичную окружность.
Сложение Минковского
В любом векторном пространстве (или алгебраической структуре с добавлением) , сумма Минковского двух непустых множеств определяется как поэлементная операция (См. Также. [13] ) Например
Эта операция явно коммутативна и ассоциативна на совокупности непустых множеств. Все такие операции четко определенным образом распространяются на рекурсивные формы.По принципу индукции легко видеть, что [14]
Выпуклые оболочки сумм Минковского
Сложение Минковского хорошо себя ведет по отношению к выпуклым оболочкам. В частности, для всех подмножеств реального векторного пространства, , То выпуклая оболочка их суммы Минковского сумма Минковского выпуклых оболочек. Это,
И по индукции следует, что
для любой и непустые подмножества , . [15] [16]
Заявления
Согласно предыдущему тождеству для каждой точки в выпуклой оболочке есть элементы, для , в зависимости от , и такой, что .
Лемма Шепли и Фолкмана.
Работая с описанной выше схемой, лемма Шепли – Фолкмана утверждает, что в приведенном выше представлении
в большинстве слагаемых нужно брать строго из выпуклых оболочек. То есть существует представление указанной выше формы такое, что. При необходимости перетасовка индексов, это означает, что точка имеет представление
где для а также для . Обратите внимание, что повторная индексация зависит от точки. [17] Более кратко лемма Шепли – Фолкмана утверждает, что
Например, каждая точка в согласно лемме является суммой элемента в и элемент в . [8]
Размерность реального векторного пространства
Наоборот, лемма Шепли – Фолкмана характеризует размерность конечномерных вещественных векторных пространств. То есть, если векторное пространство подчиняется лемме Шепли – Фолкмана для натурального числа D и не меньше, чем D , то его размерность в точности равна D ; [18] лемма Шепли – Фолкмана верна только для конечномерных векторных пространств. [19]
Теорема Шепли – Фолкмана и следствие Старра.
Шепли и Фолкман использовали свою лемму для доказательства своей теоремы, которая ограничивает расстояние между суммой Минковского и ее выпуклой оболочкой, « выпуклой » суммой:
- Теорема Шепли – Фолкмана утверждает, что квадрат евклидова расстояния от любой точки выпуклой суммы Conv (∑ Q n ) до исходной (невыпуклой) суммы ∑ Q n ограничен суммой квадратов D наибольших описанных радиусов множеств Q n (радиусы наименьших сфер, охватывающих эти множества ). [20] Эта оценка не зависит от количества слагаемых N (если N > D ). [21]
Теорема Шепли – Фолкмана устанавливает ограничение на расстояние между суммой Минковского и ее выпуклой оболочкой; это расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда сумма выпукла. Их оценка на расстоянии зависит от размера D и на формах слагаемых-множества, но не от числа слагаемых-множеств N , при N > D . [3]
Радиус описанной окружности часто превышает (и не может быть меньше) внутренний радиус : [22]
- Внутренний радиус некоторого множества Q п определяется как наименьшее число г такое , что для любой точки д в выпуклой оболочки Q п , есть сфера радиуса г , который содержит подмножество Q п которого выпуклая оболочка содержит д .
Старр использовал внутренний радиус для уменьшения верхней границы, сформулированной в теореме Шепли – Фолкмана:
- Следствие Старра из теоремы Шепли – Фолкмана утверждает, что квадрат евклидова расстояния от любой точки x в выпуклой сумме Conv (∑ Q n ) до исходной (невыпуклой) суммы ∑ Q n ограничен суммой квадратов D наибольшего внутренние радиусы множеств Q n . [22] [23]
Следствие Старра устанавливает верхнюю границу евклидова расстояния между суммой Минковского N множеств и выпуклой оболочкой суммы Минковского; это расстояние между суммой и ее выпуклой оболочкой является мерой невыпуклости множества. Для простоты это расстояние называется « невыпуклостью » множества (относительно измерения Старра). Таким образом, оценка Старра невыпуклости суммы зависит только от D наибольших внутренних радиусов множеств слагаемых; Однако Старра оценка не зависит от числа слагаемых-множеств N , при N > D . Например, расстояние между выпуклым интервалом [0, 2] и невыпуклым множеством {0, 1, 2} равно половине
- 1/2 = | 1 - 1/2 | = | 0 - 1/2 | = | 2 - 3/2 | = | 1 - 3/2 |.
Таким образом, оценка Старра невыпуклости среднего
- 1 ⁄ N ∑ Q n
уменьшается по мере увеличения числа слагаемых N возрастает. Например, расстояние между усредненным набором
- 1/2 ({0, 1} + {0, 1}) = {0, 1/2, 1}
а его выпуклая оболочка [0, 1] составляет только 1/4, что составляет половину расстояния (1/2) между его слагаемым {0, 1} и [0, 1]. Формы подколлекции, состоящей только из D наборов слагаемых, определяют границу расстояния между средним набором и его выпуклой оболочкой; таким образом, когда число слагаемых увеличивается до бесконечности , оценка уменьшается до нуля (для наборов слагаемых равномерно ограниченного размера). [3] Фактически, оценка Старра невыпуклости этого среднего множества уменьшается до нуля по мере увеличения числа слагаемых N до бесконечности (когда внутренние радиусы всех слагаемых ограничены одним и тем же числом). [3]
Доказательства и вычисления
Первоначальное доказательство леммы Шепли – Фолкмана установило только существование представления, но не предоставило алгоритм для вычисления представления: аналогичные доказательства были даны Эрроу и Ханом , [24], Касселсом , [25] и Шнайдером, [ 26] среди других. Абстрактное и элегантное доказательство Экеланда было расширено Арстейном. [27] [28] Различные доказательства также появлялись в неопубликованных статьях. [2] [29] В 1981 году Старр опубликовал итерационный метод вычисления представления заданной суммы; однако его вычислительное доказательство дает более слабую оценку, чем исходный результат. [30] Элементарное доказательство леммы Шепли – Фолкмана в конечномерном пространстве можно найти в книге Берцекаса [31] вместе с приложениями к оценке разрыва двойственности в сепарабельных задачах оптимизации и играх с нулевой суммой.
Приложения
Лемма Шепли – Фолкмана позволяет исследователям распространить результаты для сумм Минковского выпуклых множеств на суммы общих множеств, которые не обязательно должны быть выпуклыми. Такие суммы множеств возникают в экономике , в математической оптимизации и в теории вероятностей ; в каждой из этих трех математических наук невыпуклость - важная особенность приложений.
Экономика
В экономике предпочтения потребителя определяются по всем «корзинам» товаров. Каждая корзина представлена неотрицательным вектором, координаты которого представляют количество товаров. На этом наборе корзин для каждого потребителя определяется кривая безразличия ; кривая безразличия потребителя содержит все корзины товаров, которые потребитель считает эквивалентными: то есть для каждой пары корзин на одной кривой безразличия потребитель не предпочитает одну корзину другой. Через каждую товарную корзину проходит одна кривая безразличия. Набор предпочтений потребителя (относительно кривой безразличия) представляет собой объединение кривой безразличия и всех товарных корзин, которые потребитель предпочитает кривой безразличия. Потребительские предпочтения являются выпуклыми , если все таким предпочтениями множество выпукло. [32]
Оптимальная корзина товаров возникает там, где бюджетная линия поддерживает набор предпочтений потребителя, как показано на диаграмме. Это означает, что оптимальная корзина находится на максимально возможной кривой безразличия с учетом бюджетной линии, которая определяется в терминах вектора цен и дохода потребителя (вектора обеспеченности). Таким образом, набор оптимальных корзин является функцией цен, и эта функция называется потребительским спросом . Если набор предпочтений является выпуклым, то при каждой цене потребительский спрос представляет собой выпуклый набор, например, уникальную оптимальную корзину или линейный сегмент корзин. [33]
Невыпуклые предпочтения
Однако, если набор предпочтений невыпуклый , то некоторые цены определяют линию бюджета, которая поддерживает две отдельные оптимальные корзины. Например, мы можем представить, что для зоопарков лев стоит столько же, сколько орел, и, кроме того, бюджета зоопарка хватает на одного орла или одного льва. Мы также можем предположить, что смотритель зоопарка считает любое животное равноценным. В этом случае зоопарк покупал либо одного льва, либо одного орла. Конечно, современный зоотехник не захочет покупать половину орла и половину льва (или грифона )! Таким образом, предпочтения хранителя зоопарка невыпуклые: хранитель зоопарка предпочитает иметь любое животное, а не любую строго выпуклую их комбинацию. [34]
Когда набор предпочтений потребителя невыпуклый, то (для некоторых цен) потребительский спрос не связан ; отключенный спрос подразумевает некоторую прерывистость поведения потребителя, как отмечал Гарольд Хотеллинг :
Если рассматривать кривые безразличия для покупок как имеющие волнистый характер, выпуклые к исходной точке в одних регионах и вогнутые в других, мы вынуждены прийти к выводу, что только части, выпуклые к исходной точке, можно рассматривать как имеющие какое-либо значение. , поскольку остальные по сути ненаблюдаемы. Их можно обнаружить только по разрывам, которые могут возникать в спросе при изменении соотношений цен, что приводит к резкому скачку точки касания через пропасть при повороте прямой линии. Но, хотя такие разрывы могут указывать на существование пропастей, они никогда не могут измерить их глубину. Вогнутые части кривых безразличия и их многомерные обобщения, если они существуют, должны навсегда остаться в неизмеримой безвестности. [35]
Трудности изучения невыпуклых предпочтений подчеркивали Герман Вольд [36] и еще раз Пол Самуэльсон , который писал, что невыпуклости «окутаны вечной тьмой ...» [37], согласно Диверту. [38]
Тем не менее, с 1959 по 1961 год невыпуклые предпочтения были освещены серией статей в журнале «Политическая экономия» ( JPE ). Основными участниками были Фаррелл, [39] Батор, [40] Купманс , [41] и Ротенберг. [42] В частности, в статье Ротенберга обсуждается приблизительная выпуклость сумм невыпуклых множеств. [43] Эти документы JPE стимулировали публикацию статьи Ллойда Шепли и Мартина Шубика , в которой рассматривались выпуклые предпочтения потребителей и вводилась концепция «приблизительного равновесия». [44] Документы JPE и Шепли-Шубика повлияли на другое понятие «квазиравновесия», созданное Робертом Ауманом . [45] [46]
Статья Старра 1969 года и современная экономика
Предыдущие публикации по невыпуклости и экономике были собраны в аннотированной библиографии Кеннета Эрроу . Он дал библиографию Старру , который тогда был студентом, поступившим на продвинутый курс математической экономики Эрроу. [47] В своей курсовой работе Старр изучал общие равновесия искусственной экономики, в которой невыпуклые предпочтения были заменены их выпуклой оболочкой. В выпуклой экономике при каждой цене совокупный спрос представлял собой сумму выпуклых корпусов требований потребителей. Идеи Старра заинтересовали математиков Ллойда Шепли и Джона Фолкмана , которые доказали свою одноименную лемму и теорему в «частной переписке», о чем сообщалось в опубликованной статье Старра 1969 года [1].
В своей публикации 1969 года Старр применил теорему Шепли – Фолкмана – Старра. Старр доказал, что «выпуклая» экономика имеет общее равновесие, которое может быть близко аппроксимировано « квазиравновесием » исходной экономики, когда количество агентов превышает размер товаров: Конкретно, Старр доказал, что существует по крайней мере один квазиравновесие. -равновесие цен p opt со следующими свойствами:
- Для каждой квазиравновесной цены p opt все потребители могут выбрать оптимальные корзины (максимально предпочтительные и отвечающие их бюджетным ограничениям).
- При квазиравновесных ценах p opt в выпуклой экономике рынок каждого товара находится в равновесии: его предложение равно его спросу.
- Для каждого квазиравновесии, цены «почти ясно» рынков для первоначальной Экономики: верхняя границы на расстоянии между множеством положений равновесия «овыпукленной» экономикой и множеством квази-равновесием исходной экономики вытекала из Старры следствие теоремы Шепли – Фолкмана. [48]
Старр установил, что
"в совокупности несоответствие между распределением в фиктивной экономике, порожденным [взятием выпуклой оболочки всех наборов потребления и производства], и некоторым распределением в реальной экономике ограничено способом, который не зависит от количества экономических агентов. Следовательно, средний агент испытывает отклонение от намеченных действий, значение которого исчезает по мере того, как число агентов стремится к бесконечности ". [49]
После работы Старра 1969 года результаты Шепли – Фолкмана – Старра широко использовались в экономической теории. Роджер Гезнери резюмировал их экономические последствия: «Некоторые ключевые результаты, полученные при допущении выпуклости, остаются (приблизительно) актуальными в обстоятельствах, когда выпуклость не работает. Например, в странах с большой стороной потребления невыпуклость предпочтений не разрушает стандартные результаты». [50] «Получение этих результатов в общей форме было одним из главных достижений послевоенной экономической теории», - писал Гезнери. [4] Тема невыпуклых множеств в экономике изучалась многими лауреатами Нобелевской премии : Эрроу (1972), Робертом Ауманом (2005), Жераром Дебре (1983), Тьяллингом Купмансом (1975), Полом Кругманом (2008) и Пол Самуэльсон (1970); дополнительная тема выпуклых множеств в экономике была подчеркнута этими лауреатами, наряду с Леонидом Гурвичем , Леонидом Канторовичем (1975) и Робертом Солоу (1987). [51] Результаты Шепли-Фолкман-Starr были показаны в экономической литературе: в микроэкономике , [52] в теории общего равновесия, [53] [54] в государственной экономике [55] ( в том числе и провалов рынка ), [56 ] , а также в теории игр , [57] в математической экономике , [58] и в прикладной математике (для экономистов). [59] [60] Результаты Шепли – Фолкмана – Старра также повлияли на экономические исследования с использованием теории меры и интеграции . [61]
Математическая оптимизация
Лемма Шепли – Фолкмана использовалась для объяснения того, почему большие задачи минимизации с невыпуклостями могут быть почти решены (с помощью итерационных методов , доказательства сходимости которых сформулированы только для выпуклых задач ). Лемма Шепли – Фолкмана подтолкнула к использованию методов выпуклой минимизации в других приложениях с суммами многих функций. [62]
Предварительные сведения по теории оптимизации
Нелинейная оптимизация основана на следующих определениях функций :
- График некоторой функции F есть множество пар аргументов х и оценка функции F ( х )
- График ( f ) = { ( x , f ( x ) ) }
- Эпиграф из вещественной функции F есть множество точек выше графики
- Epi ( f ) = { ( x , u ): f ( x ) ≤ u } .
- Действительнозначная функция определяется как выпуклая функция, если ее надграфик является выпуклым множеством. [63]
Например, квадратичная функция f ( x ) = x 2 является выпуклой, как и функция абсолютного значения g ( x ) = | х |. Однако синусоидальная функция (на фото) невыпуклая на интервале (0, π).
Проблемы аддитивной оптимизации
Во многих задачах оптимизации целевая функция f разделима : то есть f является суммой многих слагаемых-функций, каждая из которых имеет свой собственный аргумент:
- f ( x ) = f ( ( x 1 , ..., x N ) ) = ∑ f n ( x n ).
Например, проблемы линейной оптимизации отделимы. Для отделимой задачи с оптимальным решением фиксируем оптимальное решение
- x мин = ( x 1 , ..., x N ) мин
с минимальным значением f ( x min ). Для этой сепарабельной задачи мы также рассматриваем оптимальное решение ( x min , f ( x min ) ) « выпуклой задачи », где выпуклые оболочки берутся у графиков слагаемых функций. Такое оптимальное решение является пределом последовательности точек выпуклой задачи
- ( x j , f ( x j ) ) ∈ ∑ Conv ( Graph ( f n ) ) . [5] [64]
Конечно, данная оптимальная точка является суммой точек на графиках исходных слагаемых и небольшого числа выпуклых слагаемых согласно лемме Шепли – Фолкмана.
Этот анализ был опубликован Иваром Экеландом в 1974 году для объяснения кажущейся выпуклости сепарабельных задач со многими слагаемыми, несмотря на невыпуклость проблем с слагаемыми. В 1973 году молодой математик Клод Лемарешаль был удивлен его успехом в применении методов выпуклой минимизации в задачах, которые, как известно, были невыпуклыми; для минимизации нелинейных проблем решение двойственной задачи не должно предоставлять полезную информацию для решения прямой задачи, если только основная задача не является выпуклой и не удовлетворяет ограничению . Проблема Лемарешала была аддитивно отделимой, и каждая функция слагаемого была невыпуклой; тем не менее, решение двойственной задачи обеспечило близкое приближение к оптимальному значению прямой задачи. [65] [5] [66] Анализ Экланда объяснил успех методов выпуклой минимизации для больших и разделимых задач, несмотря на невыпуклость слагаемых функций. Экеланд и более поздние авторы утверждали, что аддитивная отделимость создает приблизительно выпуклую совокупную проблему, даже несмотря на то, что слагаемые функции были невыпуклыми. Решающим шагом в этих публикациях является использование леммы Шепли – Фолкмана. [5] [66] [67] Лемма Шепли – Фолкмана подтолкнула к использованию методов выпуклой минимизации в других приложениях с суммами многих функций. [5] [6] [59] [62]
Теория вероятностей и меры
Выпуклые множества часто изучаются с помощью теории вероятностей . Каждая точка на выпуклой оболочке ( непустой ) подмножества Q конечного-мерного пространства является ожидаемым значением из простого случайного вектора , который принимает значения в Q , как следствие леммы Каратеодори . Таким образом, для непустого множества Q , совокупность ожидаемых значений простой, Q - значных случайных векторов равна Q «s выпуклую оболочку; это равенство означает, что результаты Шепли – Фолкмана – Старра полезны в теории вероятностей. [68] С другой стороны, теория вероятностей предоставляет инструменты для изучения выпуклых множеств в целом и результатов Шепли – Фолкмана – Старра в частности. [69] Результаты Шепли-Фолкман-Starr широко используется в вероятностной теории случайных множеств , [70] , например, доказать закон больших чисел , [7] [71] центральная предельная теорема , [71] [72] и принцип больших уклонений . [73] Эти доказательства вероятностных предельных теорем использовали результаты Шепли – Фолкмана – Старра, чтобы избежать предположения, что все случайные множества будут выпуклыми.
Вероятностная мера является конечной мерой , и Шепайте-Фолкман лемма имеет приложение в невероятностной теории меры, такие как теории объема и о векторных мерах . Лемма Шепли – Фолкмана позволяет уточнить неравенство Брунна – Минковского , которое ограничивает объем сумм в терминах объемов их множеств слагаемых. [74] Объем множества определяется в терминах меры Лебега , которая определена на подмножествах евклидова пространства . В пожилом меры теории Шепли-Фолкман лемма используется для доказательства теоремы Ляпунова , в котором говорится о том , что диапазон из векторной меры выпукло. [75] Здесь традиционный термин « диапазон » (альтернативно «изображение») - это набор значений, производимых функцией. Векторная мера является вектор-обобщение меры; например, если p 1 и p 2 - вероятностные меры, определенные в одном и том же измеримом пространстве , то функция произведения p 1 p 2 является векторной мерой, где p 1 p 2 определяется для каждого события ω следующим образом:
- ( p 1 p 2 ) ( ω ) = ( p 1 ( ω ), p 2 ( ω ) ) .
Теорема Ляпунова использовалась в экономике , [45] [76] в ( «взрывной» ) теории управления и в статистической теории . [77] Теорема Ляпунова была названа непрерывным аналогом леммы Шепли – Фолкмана [3], которая сама была названа дискретным аналогом теоремы Ляпунова. [78]
Заметки
- ^ а б в г д Старр (1969)
- ^ a b Howe (1979 , стр. 1) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFHowe1979 ( справка ) : Howe, Roger (3 ноября 1979 г.). О тенденции к выпуклости векторной суммы множеств (PDF) (Отчет). Документы для обсуждения Фонда Коулза. 538 . Нью-Хейвен, штат Коннектикут: Фонд исследований экономики Коулза , Йельский университет . Проверено 1 января 2011 года .
- ^ Б с д е е Starr (2008)
- ^ a b Guesnerie (1989 , стр.138 )
- ^ a b c d e ( Ekeland 1999 , стр. 357–359): опубликованное в первом английском издании 1976 г., приложение Ekeland доказывает лемму Шепли – Фолкмана, также признавая эксперименты Лемареша на стр. 373.
- ^ a b Бертсекас (1996 , стр. 364–381), признающий Экеланда (1999) на стр. 374 и Обин и Экеланд (1976) на стр. 381:
Бертсекас, Дмитрий П. (1996). «5.6. Крупномасштабные разделяемые задачи целочисленного программирования и экспоненциальный метод множителей». Оптимизация с ограничениями и методы множителя Лагранжа (Перепечатка (1982) Academic Press ed.). Бельмонт, Массачусетс .: Athena Scientific. С. xiii + 395. ISBN 1-886529-04-3. Руководство по ремонту 0690767 .
Бертсекас (1996 , стр. 364–381) описывает применение двойственных методов Лагранжа к планированию работы электростанций (« проблемы с обязательством единиц »), где невыпуклость возникает из-за целочисленных ограничений :
Бертсекас, Дмитрий П .; Лауэр, Грегори С .; Sandell, Nils R., Jr .; Посберг, Томас А. (январь 1983 г.). «Оптимальное краткосрочное планирование крупных энергосистем» (PDF) . IEEE Transactions по автоматическому контролю . 28 (1): 1–11. DOI : 10,1109 / tac.1983.1103136 . Проверено 2 февраля 2011 года . Протоколы конференции IEEE 1981 г. по вопросам принятия решений и контроля, Сан-Диего, Калифорния, декабрь 1981 г., стр. 432–443.
- ^ a b Artstein & Vitale (1975 , стр. 881–882): Арстейн, Цви; Витале, Ричард А. (1975). «Усиленный закон больших чисел для случайных компактов» . Летопись вероятности . 3 (5): 879–882. DOI : 10.1214 / AOP / 1176996275 . JSTOR 2959130 . Руководство по ремонту 0385966 . Zbl 0313.60012 . ЧП euclid.ss / 1176996275 .
- ↑ a b c d Картер (2001 , с. 94)
- ↑ Эрроу и Хан (1980 , с. 375)
- ^ a b Рокафеллар (1997 , с. 10)
- ↑ Эрроу и Хан (1980 , стр. 376), Рокафеллар (1997 , стр. 10–11) и Грин и Хеллер (1981 , стр. 37)
- ↑ Эрроу и Хан (1980 , стр. 385) и Рокафеллар (1997 , стр. 11–12)
- Перейти ↑ Schneider (1993 , p. Xi) и Rockafellar (1997 , p. 16)
- ^ Рокафеллара (1997 , стр. 17) и Старр (1997 , стр. 78)
- ↑ Шнайдер (1993 , стр. 2–3)
- ↑ Эрроу и Хан (1980 , стр. 387)
- ↑ Starr (1969 , стр. 35–36)
- ↑ Шнайдер (1993 , стр.131)
- ↑ Шнайдер (1993 , с. 140) приписывает этот результат Борвейну и О'Брайену (1978) : Борвейн, Дж. М .; О'Брайен, Р. К. (1978). «Отмена характеризует выпуклость». Nanta Mathematica (Университет Наньян) . 11 : 100–102. ISSN 0077-2739 . Руководство по ремонту 0510842 .
- ↑ Шнайдер (1993 , с. 129)
- ↑ Starr (1969 , стр.36)
- ^ а б Старр (1969 , с. 37)
- ↑ Шнайдер (1993 , стр. 129–130)
- ↑ Эрроу и Хан (1980 , стр. 392–395)
- ^ Касселс (1975 , стр. 435-436)
- ↑ Шнайдер (1993 , стр.128)
- ^ Экланда (1999 , стр. 357-359)
- ^ Artstein (1980 , стр. 180)
- ^ Андерсон, Роберт М. (14 марта 2005 г.). "1 Теорема Шепли – Фолкмана" (PDF) . Экономика 201B: невыпуклые предпочтения и приблизительные равновесия . Беркли, Калифорния: экономический факультет Калифорнийского университета в Беркли. С. 1–5 . Проверено 1 января 2011 года .
- ^ Старр, Росс М. (1981). «Приближение точек выпуклой оболочки суммы множеств точками суммы: элементарный подход». Журнал экономической теории . 25 (2): 314–317. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (81) 90010-7 . Руководство по ремонту 0640201 .
- ^ Бертсекас, Дмитрий П. (2009). Теория выпуклой оптимизации . Бельмонт, Массачусетс .: Athena Scientific. ISBN 978-1-886529-31-1.
- ↑ Mas-Colell (1985 , стр. 58–61) и Arrow & Hahn (1980 , стр. 76–79)
- ↑ Эрроу и Хан (1980 , стр. 79–81)
- ↑ Starr (1969 , стр. 26): «В конце концов, можно безразлично выбирать между автомобилем и лодкой, но в большинстве случаев нельзя ни водить, ни управлять комбинацией из полу-лодки-полуавтомобиля».
- ^ Hotelling (1935 , стр 74.) Хотеллинг, Гарольд (январь 1935 г.). «Спрос функции с ограниченным бюджетом». Econometrica . 3 (1): 66–78. DOI : 10.2307 / 1907346 . JSTOR 1907346 .
- ^ Вольд (1943b , стр 231 и 239-240.): Уолд, Герман (1943b). «Синтез чистого анализа спроса II ». Скандинависк Актуариетидскрифт [Скандинавский актуарный журнал] . 26 : 220–263. DOI : 10.1080 / 03461238.1943.10404737 . Руководство по ремонту 0011939 .
Wold & Juréen (1953 , стр. 146): Уолд, Герман ; Юрин, Ларс (совместно с Уолдом) (1953). «8 Некоторые дальнейшие применения полей предпочтений (стр. 129–148)». Анализ спроса: исследование по эконометрике . Публикации Wiley по статистике. Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc., стр. Xvi + 358. Руководство по ремонту 0064385 .
- ↑ Самуэльсон (1950 , стр. 359–360):
Самуэльсон, Пол А. (ноябрь 1950). «Проблема интегрируемости в теории полезности». Economica . Новая серия. 17 (68): 355–385. DOI : 10.2307 / 2549499 . JSTOR 2549499 . Руководство по ремонту 0043436 .Следует отметить, что любая точка, в которой кривые безразличия являются скорее выпуклыми, чем вогнутыми, не может наблюдаться на конкурентном рынке. Такие точки окутаны вечной тьмой - если только мы не сделаем нашего потребителя монопсонистом и не позволим ему выбирать между товарами, лежащими на очень выпуклой «кривой бюджета» (по которой он влияет на цену того, что он покупает). В этом случае монопсонии мы все еще могли вывести наклон кривой безразличия человека из наклона наблюдаемого ограничения в точке равновесия.
«Вечная тьма» описывает ад из « Потерянного рая» Джона Мильтона , чья вогнутость сравнивается с сербонским болотом в Книге II, строки 592–594 :
Описание Милтоном вогнутости служит литературным эпиграфом перед седьмой главой книги Эрроу и Хана (1980 , стр. 169) «Рынки с невыпуклыми предпочтениями и производства», в которой представлены результаты Старра (1969) .Глубокая пропасть, такая же глубокая, как это сербонское болото между
старым Дамьятом и горой Касиус,
Где затонули целые армии. - ^ Дайуэрта (1982 , стр. 552-553)
- ^ Фаррелл, М. Дж. (Август 1959 г.). «Предположение о выпуклости в теории конкурентных рынков». Журнал политической экономии . 67 (4): 371–391. DOI : 10.1086 / 258197 . JSTOR 1825163 .Фаррелл, М. Дж. (Октябрь 1961a). «О выпуклости, эффективности и рынках: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 484–489. DOI : 10.1086 / 258541 . JSTOR 1828538 .Фаррелл, М. Дж. (Октябрь 1961b). «Предположение о выпуклости в теории конкурентных рынков: возражение». Журнал политической экономии . 69 (5): 493. DOI : 10.1086 / 258544 . JSTOR 1828541 .
- ^ Батор, Фрэнсис М. (октябрь 1961a). «О выпуклости, эффективности и рынках». Журнал политической экономии . 69 (5): 480–483. DOI : 10.1086 / 258540 . JSTOR 1828537 .Батор, Фрэнсис М. (октябрь 1961b). «О выпуклости, эффективности и рынках: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 489. DOI : 10,1086 / 258542 . JSTOR 1828539 .
- ^ Купманс, Тьяллинг К. (октябрь 1961 г.). «Допущения выпуклости, эффективность распределения и конкурентное равновесие». Журнал политической экономии . 69 (5): 478–479. DOI : 10.1086 / 258539 . JSTOR 1828536 .
Купманс (1961 , стр. 478) и другие - например, Фаррелл (1959 , стр. 390–391) и Фаррелл (1961a , стр. 484), Батор (1961a , стр. 482–483), Ротенберг (1960 , стр. 438), и Старр (1969 , стр. 26) - прокомментировал Koopmans (1957 , стр. 1–126, особенно 9–16 [1.3 Суммирование множеств возможностей], 23–35 [1.6 Выпуклые множества и ценовые последствия оптимальность] и 35–37 [1.7 Роль предположений о выпуклости в анализе]):
Купманс, Тьяллинг К. (1957). «Размещение ресурсов и система цен». В Koopmans, Tjalling C (ред.). Три очерка о состоянии экономической науки . Нью-Йорк: Книжная компания Макгроу-Хилла. С. 1–126. ISBN 0-07-035337-9.
- ↑ Ротенберг (1960 , стр. 447): Ротенберг, Джером (октябрь 1960). «Невыпуклость, агрегирование и оптимальность по Парето». Журнал политической экономии . 68 (5): 435–468. DOI : 10.1086 / 258363 . JSTOR 1830308 . ( Ротенберг, Джером (октябрь 1961 г.). «Комментарии о невыпуклости». Журнал политической экономии . 69 (5): 490–492. DOI : 10.1086 / 258543 . JSTOR 1828540 .)
- ↑ Эрроу и Хан (1980 , стр.182)
- ^ Шепли и Шубик (1966 , стр. 806): Шепли, Л. С .; Шубик М. (октябрь 1966 г.). «Квазиядра в монетарной экономике с невыпуклыми предпочтениями» . Econometrica . 34 (4): 805–827. DOI : 10.2307 / 1910101 . JSTOR 1910101 . Zbl 0154.45303 .
- ^ а б Ауманн (1966 , стр. 1-2): Ауманн, Роберт Дж. (Январь 1966 г.). «Существование конкурентного равновесия на рынках с континуумом трейдеров». Econometrica . 34 (1): 1–17. DOI : 10.2307 / 1909854 . JSTOR 1909854 . Руководство по ремонту 0191623 . Ауманн (1966) использует результаты Ауманна ( 1964 , 1965 ):
Ауманн, Роберт Дж. (Январь – апрель 1964 г.). «Рынки с континуумом трейдеров». Econometrica . 32 (1-2): 39-50. DOI : 10.2307 / 1913732 . JSTOR 1913732 . Руководство по ремонту 0172689 .
Ауманн, Роберт Дж. (Август 1965 г.). «Интегралы от многозначных функций». Журнал математического анализа и приложений . 12 (1): 1–12. DOI : 10.1016 / 0022-247X (65) 90049-1 . Руководство по ремонту 0185073 .
- ^ Принятие выпуклой оболочки невыпуклых предпочтений ранее обсуждалось Уолдом (1943b , стр. 243) и Уолдом и Юрином (1953 , стр. 146), согласно Диверту (1982 , стр. 552).
- ^ a b Starr & Stinchcombe (1999 , стр. 217–218): Старр, Р. М .; Стинкомб, М. Б. (1999). «Обмен в сети торговых постов». В Чичильнском, Грасиела (ред.). Рынки, информация и неопределенность: Очерки экономической теории в честь Кеннета Дж. Эрроу . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. 217–234. DOI : 10.2277 / 0521553555 . ISBN 978-0-521-08288-4.
- ^ Arrow & Hahn (1980 , стр. 169-182). Старр (1969 , стр. 27–33).
- ↑ Green & Heller (1981 , стр. 44)
- ^ Guesnerie (1989 , стр. 99)
- ↑ Мас-Колелл (1987)
- ↑ Вариан (1992 , стр. 393–394): Вариан, Хэл Р. (1992). «21.2 Выпуклость и размер». Микроэкономический анализ (3-е изд.). W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-95735-8. Руководство по ремонту 1036734 .
Мас-Колелл, Whinston & Green (1995 , стр. 627–630): Мас-Колелл, Андреу ; Whinston, Michael D .; Грин, Джерри Р. (1995). «17.1 Крупные экономики и невыпуклости». Микроэкономическая теория . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-507340-9.
- ^ Arrow & Hahn (1980 , стр. 169-182)
Мас-Колелл (1985 , стр. 52–55, 145–146, 152–153 и 274–275): Мас-Колелл, Андре (1985). «1.L Средние наборы». Теория общего экономического равновесия: дифференцируемый подход . Монографии Эконометрического общества. 9 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-26514-2. Руководство по ремонту 1113262 .
Хильденбранд (1974 , стр. 37, 115–116, 122 и 168): Хильденбранд, Вернер (1974). Ядро и равновесие большой экономики . Принстонские исследования в области математической экономики. 5 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. viii + 251. ISBN 978-0-691-04189-6. Руководство по ремонту 0389160 .
- ↑ Starr (1997 , стр.169): Старр, Росс М. (1997). «8 Выпуклых множеств, теорем о разделении и невыпуклых множеств в R N (новые главы 22 и 25–26 во втором издании (2011))». Теория общего равновесия: Введение (Первое изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. xxiii + 250. ISBN 0-521-56473-5. Руководство по ремонту 1462618 .
Элликсон (1994 , стр. Xviii, 306–310, 312, 328–329, 347 и 352): Элликсон, Брайан (1994). Конкурентное равновесие: теория и приложения . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.2277 / 0521319889 . ISBN 978-0-521-31988-1.
- ^ Лаффон, Жан-Жак (1988). «3. Невыпуклости». Основы общественной экономики . MIT Press. С. 63–65. ISBN 0-262-12127-1.
- ^ Salanié (2000 , стр 112-113 и 107-115.): Салани, Бернар (2000). «7 невыпуклостей». Микроэкономика сбоев рынка (английский перевод французской Microéconomie (1998) : Les défaillances du marché (Economica, Paris) ed.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 107–125. ISBN 0-262-19443-0.
- ^ Ichiishi (1983 , стр 24-25.): Итииси, Тацуро (1983). Теория игр для экономического анализа . Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. с. x + 164. ISBN 0-12-370180-5. Руководство по ремонту 0700688 .
- ^ Касселс (1981 , стр 127 и 33-34.): Касселс, Дж. У. С. (1981). «Приложение А Выпуклые множества». Экономика для математиков . Серия лекций Лондонского математического общества. 62 . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. xi + 145. ISBN 0-521-28614-X. Руководство по ремонту 0657578 .
- ^ a b Обен (2007 , стр. 458–476): Обен, Жан-Пьер (2007). «14.2 Двойственность в случае невыпуклого интегрального критерия и ограничений (особенно 14.2.3 Теорема Шепли – Фолкмана, страницы 463–465)». Математические методы игры и экономическая теория (Перепечатка с новым предисловием 1982 года, пересмотренное английское изд. Северной Голландии). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. Xxxii + 616. ISBN 978-0-486-46265-3. Руководство по ремонту 2449499 .
- ↑ Картер (2001 , стр. 93–94, 143, 318–319, 375–377 и 416)
- ^ Trockel (1984 , стр30): Трокель, Вальтер (1984). Рыночный спрос: анализ крупных экономик с невыпуклыми предпочтениями . Конспект лекций по экономике и математическим системам. 223 . Берлин: Springer-Verlag. С. viii + 205. ISBN 3-540-12881-6. Руководство по ремонту 0737006 .
- ^ a b Бертсекас (1999 , с. 496): Бертсекас, Дмитрий П. (1999). «5.1.6 Разделимые задачи и их геометрия». Нелинейное программирование (второе изд.). Кембридж, Массачусетс: Athena Scientific. С. 494–498. ISBN 1-886529-00-0.
- ^ Рокафеллар (1997 , стр. 23)
- ^ Предел последовательности является членом закрытия исходного множества , которое является наименьшее замкнутое множество , содержащее исходный набор. Сумма Минковского двух замкнутых множеств может не быть замкнутой, поэтому следующее включение может быть строгим.
- Clos (P) + Clos (Q) ⊆ Clos (Clos (P) + Clos (Q));
- ^ Lemaréchal (1973 , стр 38.) Лемарешаль, Клод (апрель 1973 г.). Использование двойственности для невыпуклых проблем [Использование двойственности для невыпуклых проблем] (Отчет) (на французском языке). Domaine de Voluceau, Rocquencourt , Le Chesnay , Франция: IRIA (ныне INRIA) , Laboratoire de recherche en informatique et automatique. п. 41.. Эксперименты Лемарешала обсуждались в более поздних публикациях:
Аардал (1995 , стр. 2–3): Аардал, Карен (март 1995 г.). « Оптима, интервью Клода Лемарешала» (PDF) . Оптима: Информационный бюллетень Общества математического программирования . 45 : 2–4 . Проверено 2 февраля 2011 года .
Hiriart-Urruty & Lemaréchal (1993 , стр. 143–145, 151, 153 и 156): Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (1993). «XII Абстрактная двойственность для практиков». Выпуклый анализ и алгоритмы минимизации, Том II : Расширенная теория и методы связки . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 306 . Берлин: Springer-Verlag. С. 136–193 (и библиографические комментарии к стр. 334–335). ISBN 3-540-56852-2. Руководство по ремонту 1295240 .
- ^ а б Экеланд, Ивар (1974). « Непредставленная априорная оценка невыпуклого программирования». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . Séries A et B (на французском языке). 279 : 149–151. ISSN 0151-0509 . Руководство по ремонту 0395844 .
- ^ Aubin & Экланда (1976 , стр 226, 233, 235, 238 и 241.): Aubin, J.P .; Экланд, И. (1976). «Оценки разрыва двойственности в невыпуклой оптимизации». Математика исследования операций . 1 (3): 225–245. DOI : 10.1287 / moor.1.3.225 . JSTOR 3689565 . Руководство по ремонту 0449695 .
Aubin & Экланд (1976) и Экланд (1999 , стр. 362-364) также считаются выпуклым замыканием одной задачи невыпуклой минимизации, то есть, проблема определяется как замкнутая выпуклой оболочка в эпиграфе исходной задачи. Их исследование разрывов двойственности было расширено Ди Гульельмо до квазивыпуклого замыкания невыпуклой задачи минимизации, то есть проблемы, определенной как замкнутая выпуклая оболочка множеств нижнего уровня :
Ди Гульельмо (1977 , стр. 287–288): Ди Гульельмо, Ф. (1977). «Невыпуклая двойственность в многокритериальной оптимизации». Математика исследования операций . 2 (3): 285–291. DOI : 10.1287 / moor.2.3.285 . JSTOR 3689518 . Руководство по ремонту 0484418 .
- ↑ Schneider & Weil (2008 , с. 45): Шнайдер, Рольф; Вайль, Вольфганг (2008). Стохастическая и интегральная геометрия . Вероятность и ее приложения. Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4. Руководство по ремонту 2455326 .
- ^ Касселс (1975 , стр 433-434.): Касселс, Дж. У. С. (1975). «Меры невыпуклости множеств и теорема Шепли – Фолкмана – Старра». Математические труды Кембриджского философского общества . 78 (3): 433–436. DOI : 10.1017 / S0305004100051884 . Руководство по ремонту 0385711 .
- ^ Молчанов (2005 , стр 195-198, 218, 232, 237-238 и 407): Молчанов, Илья (2005). «3 сложения Минковского». Теория случайных множеств . Вероятность и ее приложения. Лондон:. Springer-Verlag London Ltd. С. 194 -240. DOI : 10.1007 / 1-84628-150-4 . ISBN 978-1-84996-949-9. Руководство по ремонту 2132405 .
- ^ a b Puri & Ralescu (1985 , стр. 154–155): Puri, Madan L .; Ралеску, Дэн А. (1985). «Предельные теоремы для случайных компактов в банаховом пространстве». Математические труды Кембриджского философского общества . 97 (1): 151–158. Bibcode : 1985MPCPS..97..151P . DOI : 10.1017 / S0305004100062691 . Руководство по ремонту 0764504 .
- ↑ Weil (1982 , стр. 203 и 205–206): Вайль, Вольфганг (1982). «Применение центральной предельной теоремы для случайных величин со значениями в банаховом пространстве к теории случайных множеств». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete [Теория вероятностей и смежные области] . 60 (2): 203–208. DOI : 10.1007 / BF00531823 . Руководство по ремонту 0663901 .
- ↑ Cerf (1999 , стр. 243–244): Серф, Рафаэль (1999). «Большие уклонения для сумм iid случайных компактов» . Труды Американского математического общества . 127 (8): 2431–2436. DOI : 10.1090 / S0002-9939-99-04788-7 . Руководство по ремонту 1487361 .Серф использует приложения леммы Шепли – Фолкмана из Puri & Ralescu (1985 , стр. 154–155).
- ^ Ruzsa (1997 , стр 345.) Ружа, Имре З. (1997). «Неравенство Брунна – Минковского и невыпуклые множества». Geometriae Dedicata . 67 (3): 337–348. DOI : 10,1023 / А: 1004958110076 . Руководство по ремонту 1475877 .
- ^ Tardella (1990 , стр 478-479.): Тарделла, Фабио (1990). «Новое доказательство теоремы Ляпунова о выпуклости». SIAM Journal по управлению и оптимизации . 28 (2): 478–481. DOI : 10.1137 / 0328026 . Руководство по ремонту 1040471 .
- ^ Винд (1964 , стр. 168 и 175): Винд, Карл (май 1964). «Распределение Эджворта в биржевой экономике с большим количеством трейдеров». Международное экономическое обозрение . 5 (2): 165–77. DOI : 10.2307 / 2525560 . JSTOR 2525560 .Статью Винда отметил лауреат Нобелевской премии по экономике 1983 года Жерар Дебре . Дебре (1991 , с. 4) писал:
Концепция выпуклого множества (т. Е. Множества, содержащего отрезок, соединяющий любые две его точки) неоднократно помещалась в центр экономической теории до 1964 года. Она появилась в новом свете с введением теории интеграции в исследование экономическая конкуренция: если связать с каждым агентом экономики произвольный набор в товарном пространстве и если усреднить эти индивидуальные наборы по набору незначительных агентов, то результирующий набор обязательно будет выпуклым . [Дебре добавляет эту сноску: «Об этом прямом следствии теоремы А.А. Ляпунова см. Винд (1964) »]. Но объяснения ... функций цен ... могут быть основаны на выпуклости полученных множеств. этим процессом усреднения . Выпуклость товарного пространства, полученная путем агрегирования по совокупности незначительных агентов, - это понимание, которое экономическая теория обязана ... теории интеграции. [ Курсив добавлен ]
Дебре, Жерар (март 1991). «Математизация экономической теории». Американский экономический обзор . 81 ( Послание президента на 103-м заседании Американской экономической ассоциации, 29 декабря 1990 г., Вашингтон, округ Колумбия): 1–7. JSTOR 2006 785 .
- ^ Artstein (1980 ., Стр 172-183) Artstein (1980) был переиздан в сборнике , для Роберта Дж Ауманного , победителя 2008 Нобелевской премии по экономике : Арштейн, Цви (1995). «22 дискретных и непрерывных взрыва и лицевых пространств или: ищите крайние точки» . В Харте, Серджиу; Нейман, Авраам (ред.). Игра и экономическая теория: Избранные статьи в честь Роберта Дж. Ауманна . Анн-Арбор, штат Мичиган: Издательство Мичиганского университета. С. 449–462. ISBN 0-472-10673-2. Архивировано из оригинального 24 -го мая 2011 года.
- ↑ Mas-Colell (1978 , с. 210): Мас-Колелл, Андре (1978). «Примечание к основной теореме эквивалентности: сколько существует блокирующих коалиций?». Журнал математической экономики . 5 (3): 207–215. DOI : 10.1016 / 0304-4068 (78) 90010-1 . Руководство по ремонту 0514468 .
Рекомендации
- Эрроу, Кеннет Дж .; Хан, Фрэнк Х. (1980) [1971]. Общий конкурентный анализ . Учебники по экономике. 12 (перепечатка Сан-Франциско, Калифорния: Holden-Day, Inc., «Тексты математической экономики», 6 изд.). Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-85497-5. Руководство по ремонту 0439057 .
- Арштейн, Цви (1980). «Дискретный и непрерывный взрыв и лицевые пространства, или: ищите крайние точки». SIAM Обзор . 22 (2): 172–185. DOI : 10.1137 / 1022026 . JSTOR 2029960 . Руководство по ремонту 0564562 .
- Картер, Майкл (2001). Основы математической экономики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. xx + 649. ISBN 0-262-53192-5. Руководство по ремонту 1865841 . ( Сайт автора с ответами на упражнения ). Архивировано из оригинального 15 сентября 2006 года.
- Диверт, У. Э. (1982). «12 двойственных подходов к микроэкономической теории» . In Arrow, Кеннет Джозеф ; Intriligator, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, Том II. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 535–599. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02007-4 . ISBN 978-0-444-86127-6. Руководство по ремонту 0648778 .
- Экланд, Ивар (1999) [1976]. «Приложение I: Априорная оценка в выпуклом программировании». В Экланде, Ивар; Темам, Роджер (ред.). Выпуклый анализ и вариационные задачи . Классика прикладной математики. 28 (Исправленное переиздание изд. Северной Голландии). Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). С. 357–373. ISBN 0-89871-450-8. Руководство по ремонту 1727362 .
- Грин, Джерри; Хеллер, Уолтер П. (1981). «1 Математический анализ и выпуклость с приложениями к экономике». In Arrow, Кеннет Джозеф ; Intriligator, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, Том I. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 15–52. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (81) 01005-9 . ISBN 0-444-86126-2. Руководство по ремонту 0634800 .
- Геснери, Роджер (1989). «Первое наилучшее распределение ресурсов с невыпуклостями в производстве». В Корнете, Бернар; Тюлькенс, Генри (ред.). Вклад в исследования операций и экономику: двадцатая годовщина CORE (доклады симпозиума, проведенного в Лувен-ла-Нев, январь 1987 г.) . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 99–143. ISBN 0-262-03149-3. Руководство по ремонту 1104662 .
- Мас-Колелл, А. (1987). «Невыпуклость» . В Итуэлле, Джон ; Милгейт, Мюррей ; Ньюман, Питер (ред.). Новый Palgrave: экономический словарь (первое изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 653–661. DOI : 10.1057 / 9780230226203.3173 . ISBN 9780333786765. ( PDF-файл на домашней странице Mas-Colell ).
- Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997). Выпуклый анализ . Достопримечательности Принстона в математике. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. xviii + 451. ISBN 0-691-01586-4. Руководство по ремонту 1451876 .. Репринт 1970 года ( MR274683 ) Принстонская математическая серия 28
- Шнайдер, Рольф (1993). Выпуклые тела: теория Брунна – Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений. 44 . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. xiv + 490. ISBN 0-521-35220-7. Руководство по ремонту 1216521 .
- Старр, Росс М. (1969). «Квазиравновесия на рынках с невыпуклыми предпочтениями (Приложение 2: Теорема Шепли – Фолкмана, стр. 35–37)». Econometrica . 37 (1): 25–38. DOI : 10.2307 / 1909201 . JSTOR 1909201 .
- Старр, Росс М. (2008). «Теорема Шепли – Фолкмана» . В Durlauf, Стивен Н .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 317–318 (1-е изд.). DOI : 10.1057 / 9780230226203.1518 . ISBN 978-0-333-78676-5.
Внешние ссылки
- Андерсон, Роберт М. (март 2005 г.). "1 Теорема Шепли – Фолкмана" (PDF) . Экономика 201B: невыпуклые предпочтения и приблизительные равновесия . Беркли, Калифорния: экономический факультет Калифорнийского университета в Беркли. С. 1–5 . Проверено 15 января 2011 года .
- Хау, Роджер (ноябрь 1979 г.). О тенденции к выпуклости векторной суммы множеств (PDF) (Отчет). Документы для обсуждения Фонда Коулза. 538 . Нью-Хейвен, Коннектикут: Фонд исследований экономики Коулза , Йельский университет . Проверено 15 января 2011 года .
- Старр, Росс М. (сентябрь 2009 г.). «8 Выпуклых множеств, теорем о разделении и невыпуклых множеств в R N (раздел 8.2.3 Измерение невыпуклости, теорема Шепли – Фолкмана)» (PDF) . Теория общего равновесия: Введение . С. 3–6. DOI : 10.1017 / CBO9781139174749 . ISBN 9781139174749. Руководство по ремонту 1462618 . (Черновик второго издания, из курса Старра на экономическом факультете Калифорнийского университета в Сан-Диего).
- Старр, Росс М. (май 2007 г.). "Теорема Шепли – Фолкмана" (PDF) . С. 1–3. (Проект статьи для второго издания Экономического словаря New Palgrave ) . Проверено 15 января 2011 года .