Ромбокубооктаэдр | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) | |
Тип | Архимедово твердое тело Однородный многогранник |
Элементы | F = 26, E = 48, V = 24 (χ = 2) |
Лица по сторонам | 8 {3} + (6 + 12) {4} |
Обозначение Конвея | eC или aaC aaaT |
Символы Шлефли | rr {4,3} или |
т 0,2 {4,3} | |
Символ Wythoff | 3 4 | 2 |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | O h , B 3 , [4,3], (* 432), порядок 48 |
Группа вращения | O , [4,3] + , (432), порядок 24 |
Двугранный угол | 3-4: 144 ° 44′08 ″ (144,74 °) 4-4: 135 ° |
Рекомендации | U 10 , C 22 , W 13 |
Характеристики | Полурегулярный выпуклый |
Цветные лица | 3.4.4.4 ( фигура вершины ) |
Дельтоидальный икоситетраэдр ( двойственный многогранник ) | Сеть |
В геометрии , в ромбокубооктаэдре , или небольшой ромбокубооктаэдре , является архимедовым твердым веществом с восьмью треугольными и восемнадцатью квадратными гранями. Есть 24 одинаковых вершины, в каждой из которых сходятся один треугольник и три квадрата. (Обратите внимание, что шесть квадратов имеют общие вершины только с треугольниками, в то время как другие двенадцать имеют одно ребро.) Многогранник имеет октаэдрическую симметрию , как куб и октаэдр . Его двойник называется дельтовидным икоситетраэдром или трапециевидным икоситетраэдром, хотя его грани на самом деле не соответствуют действительности.трапеции .
Имена [ править ]
Иоганн Кеплер в « Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбокубооктаэдром , сокращенно от усеченного кубооктаэдрического ромба , причем кубооктаэдрический ромб был его именем для ромбического додекаэдра . [1] Существуют различные усечения ромбического додекаэдра в топологический ромбокубооктаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (центр), и выпрямление двойного кубооктаэдра (справа), которое является ядром двойное соединение .
Его также можно назвать расширенным или наклонным кубом или октаэдром из-за операций усечения на любом однородном многограннике .
Геометрические отношения [ править ]
Имеются искажения ромбокубооктаэдра, которые, хотя некоторые из граней не являются правильными многоугольниками, по-прежнему однородны по вершинам. Некоторые из них можно сделать, если взять куб или октаэдр и отрезать края, а затем обрезать углы, так что полученный многогранник имеет шесть квадратных и двенадцать прямоугольных граней. Они обладают октаэдрической симметрией и образуют непрерывный ряд между кубом и октаэдром, аналогично искажениям ромбикосододекаэдра или тетраэдрическим искажениям кубооктаэдра . Однако ромбокубооктаэдр также имеет второй набор искажений с шестью прямоугольными и шестнадцатью трапециевидными гранями, которые не обладают октаэдрической симметрией, а скорее T h симметрией, поэтому они инвариантны относительно тех же вращений, что итетраэдр, но разные отражения.
Линии, по которым можно повернуть кубик Рубика , проецируются на сферу, подобную, топологически идентичную ребрам ромбокубооктаэдра. Фактически были созданы варианты с использованием механизма кубика Рубика, которые очень напоминают ромбокубооктаэдр. [2] [3]
Ромбокубооктаэдр используется в трех однородных мозаиках, заполняющих пространство : кубические соты с углами , усеченные кубические соты и чередующиеся кубические соты .
Рассечение [ править ]
Ромбокубооктаэдр можно разделить на два квадратных купола и центральную восьмиугольную призму . Вращение одного купола на 45 градусов создает псевдо-ромбы-cubocta-гранник . Оба этих многогранника имеют одинаковую фигуру вершины: 3.4.4.4.
Есть три пары параллельных плоскостей, каждая из которых пересекает ромбокубооктаэдр в правильном восьмиугольнике. Ромбокубооктаэдр можно разделить вдоль любого из них, чтобы получить восьмиугольную призму с правильными гранями и два дополнительных многогранника, называемых квадратными куполами , которые считаются твердыми телами Джонсона ; таким образом, это удлиненная квадратная ортобикупола . Эти части можно собрать заново, чтобы получить новое твердое тело, называемое удлиненной квадратной гиробикуполой или псевдоромбикубооктаэдром., с симметрией квадратной антипризмы. В этом случае все вершины локально такие же, как у ромбокубооктаэдра, с одним треугольником и тремя квадратами, пересекающимися в каждом, но не все они идентичны по отношению ко всему многограннику, поскольку некоторые из них ближе к оси симметрии, чем другие.
Ромбокубооктаэдр | |
Псевдоромбокубооктаэдр |
Ортогональные проекции [ править ]
Ромбокубооктаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций , по центру, на вершине, на двух типов ребер и трех типов граней: треугольников и двух квадратов. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B 2 и A 2 .
В центре | Вершина | Край 3-4 | Край 4-4 | Face Square-1 | Face Square-2 | Лицо Треугольник |
---|---|---|---|---|---|---|
Твердый | ||||||
Каркас | ||||||
Проективная симметрия | [2] | [2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
Двойной |
Сферическая мозаика [ править ]
Ромбокубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
(6) с квадратным центром | (6) с квадратным центром | (8) треугольник с центром | |
Ортогональная проекция | Стереографические проекции |
---|
Пиритоэдрическая симметрия [ править ]
Полусимметричная форма ромбокубооктаэдра, , существует с пиритоэдрической симметрией , [4,3 + ], (3 * 2) как диаграмма Кокстера , Символ Шлефли s 2 {3,4}, и может быть назван кантическим курносым октаэдром . Эту форму можно визуализировать, поочередно раскрашивая края 6 квадратов . Эти квадраты можно затем превратить в прямоугольники , в то время как 8 треугольников останутся равносторонними. 12 диагональных квадратных граней станут равнобедренными трапециями . В пределе прямоугольники могут быть сведены к краям, а трапеции - в треугольники, и образуется икосаэдр за счет конструкции плоского октаэдра ,, с {3,4}. ( Соединение двух икосаэдров строится из обоих чередующихся позиций.)
Вариации пиритоэдрической симметрии | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Единая геометрия | Неоднородная геометрия | Неоднородная геометрия | В пределе курносый октаэдр икосаэдра ,, с одной из двух позиций. | Соединение двух икосаэдров из обоих чередующихся позиций. |
Алгебраические свойства [ править ]
Декартовы координаты [ править ]
Декартовы координаты для вершин ромбокубооктаэдр с центром в начале координат, причем длина ребра 2 единицы, являются все даже перестановок из
- (± 1, ± 1, ± (1 + √ 2 )).
Если исходный ромбокубооктаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной стромбический икоситетраэдр имеет длину ребра
Площадь и объем [ править ]
Площадь A и объем V ромбокубооктаэдра с длиной ребра a равны:
Плотность плотной упаковки [ править ]
Оптимальная доля упаковки ромбокубооктаэдров определяется выражением
- .
Было замечено, что это оптимальное значение получено в решетке Браве де Граафом ( 2011 ). Поскольку ромбокубооктаэдр содержится в ромбическом додекаэдре , вписанная сфера которого идентична его собственной вписанной сфере, значение оптимальной доли упаковки является следствием гипотезы Кеплера : этого можно достичь, поместив ромбокубооктаэдр в каждую ячейку ромбического додекаэдра. соты , и его нельзя превзойти, так как в противном случае оптимальную плотность упаковки сфер можно было бы превзойти, поместив сферу в каждый ромбокубооктаэдр гипотетической упаковки, которая ее превосходит.
В искусстве [ править ]
Портрет Луки Пачоли 1495 года , традиционно приписываемый Якопо де Барбари , включает стеклянный ромбокубооктаэдр, наполовину заполненный водой, который, возможно, был написан Леонардо да Винчи . [5] Первая печатная версия ромбокубооктаэдра была написана Леонардо и появилась в « Divina пропорционально» Пачоли (1509).
Сферическую панораму 180 ° × 360 ° можно спроецировать на любой многогранник; но ромбокубооктаэдр дает достаточно хорошее приближение к сфере, при этом его легко построить. Этот тип проекции, называемый « Филосфера» , возможен с помощью некоторого программного обеспечения для сборки панорам. Он состоит из двух изображений, которые печатаются отдельно и вырезаются ножницами, оставляя некоторые отвороты для сборки с помощью клея. [6]
Объекты [ править ]
В играх Freescape Driller и Dark Side была игровая карта в форме ромбокубооктаэдра.
В «Галактике Торопиться-Снег» и «Галактика Морского Слайда» в видеоигре Super Mario Galaxy есть планеты, похожие на форму ромбокубооктаэдра.
Звуковой Еж 3 ' ы льды зона оснащена колонны увенчанных rhombicuboctahedra.
Во время повального увлечения кубиком Рубика в 1980-х годах по крайней мере две проданные извилистые головоломки имели форму ромбокубооктаэдра (механизм был похож на кубик Рубика ). [2] [3]
Солнечные часы (1596)
Солнечные часы
Уличный фонарь в Майнце
Матрица с 18 маркированными гранями
Кабелас стрельбы по мишеням
Змея Рубика
Вариант кубика Рубика
Кристалл пирита
Связанные многогранники [ править ]
Ромбокубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | т {4,3} | г {4,3} г {3 1,1 } | т {3,4} т {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | ч {4,3} {3,3} | ч 2 {4,3} т {3,3} | с {3,4} с {3 1,1 } |
знак равно | знак равно | знак равно | знак равно или же | знак равно или же | знак равно | |||||
Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | В (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Мутации симметрии [ править ]
Этот многогранник топологический связан как часть последовательности cantellated многогранников с вершиной фигурой (3.4. П .4), и продолжается , как разбиения на гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .
* n 32 изменение симметрии расширенных мозаик: 3.4. п. 4 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 32 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гипербола. | Paracomp. | ||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | |
Фигура | ||||||||
Конфиг. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
* n 42 мутация симметрии расширенных мозаик : n .4.4.4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия [n, 4], (* n 42) | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | |||||||
* 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] | * ∞42 [∞, 4] | |||||
Расширенные цифры | |||||||||||
Конфиг. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Конфигурация ромбических фигур . | V3.4.4.4 | V4.4.4.4 | V5.4.4.4 | V6.4.4.4 | V7.4.4.4 | V8.4.4.4 | V∞.4.4.4 |
Расположение вершин [ править ]
У него общее расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками : звездчатым усеченным шестигранником , маленьким ромбогексаэдром (имеющим треугольные грани и шесть квадратных граней вместе) и маленьким кубокубооктаэдром (имеющим двенадцать общих квадратных граней).
Ромбокубооктаэдр | Малый кубокубооктаэдр | Малый ромбогексаэдр | Звездчатый усеченный шестигранник |
Ромбокубооктаэдрический граф | |
---|---|
Вершины | 24 |
Края | 48 |
Автоморфизмы | 48 |
Характеристики | Граф четвертого порядка , гамильтониан , регулярный |
Таблица графиков и параметров |
Ромбокубооктаэдрический граф [ править ]
В математической области теории графов , A rhombicuboctahedral график является графиком вершин и ребер из ромбокубооктаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 24 вершины и 48 ребер и является архимедовым графом квартики . [7]
См. Также [ править ]
- Соединение пяти ромбокубооктаэдров
- Куб
- Кубооктаэдр
- Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр
- Усеченный ромбокубооктаэдр
- Гиробикупола удлиненная квадратная
- Моравская звезда
- Октаэдр
- Ромбикосододекаэдр
- Змея Рубика - головоломка, которая может образовывать ромбокубооктаэдрический «шар».
- Национальная библиотека Беларуси - ее главный архитектурный элемент имеет форму ромбокубооктаэдра.
- Усеченный кубооктаэдр (большой ромбокубооктаэдр )
Ссылки [ править ]
- ^ Harmonies Of The World Иоганна Кеплера, переведено на английский язык с введением и примечаниями EJ Aiton , AM Duncan , JV Field , 1997, ISBN 0-87169-209-0 (стр. 119)
- ^ a b "Советский шар-пазл" . TwistyPuzzles.com . Проверено 23 декабря 2015 года .
- ^ a b "Головоломка в алмазном стиле" . Страница головоломок Яапа . Проверено 31 мая 2017 года .
- ^ RitrattoPacioli.it
- ^ Маккиннон, Ник (1993). "Портрет фра Лука Пачоли". Математический вестник . 77 (479): 143. DOI : 10,2307 / 3619717 .
- ^ Филосфера
- ^ Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press, стр. 269
Дальнейшее чтение [ править ]
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
- Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.
- Кокстер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (13 мая 1954 г.). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 246 (916): 401–450. Bibcode : 1954RSPTA.246..401C . DOI : 10.1098 / RSTA.1954.0003 .
- de Graaf, J .; van Roij, R .; Дейкстра, М. (2011), "Плотные регулярные упаковки нерегулярных невыпуклых частиц", Phys. Rev. Lett. , 107 : 155501, arXiv : 1107.0603 , Bibcode : 2011PhRvL.107o5501D , doi : 10.1103 / PhysRevLett.107.155501 , PMID 22107298
- Betke, U .; Хенк, М. (2000), "Плотные решетчатые упаковки 3-многогранников", Comput. Геом. , 16 : 157, arXiv : math / 9909172 , doi : 10.1016 / S0925-7721 (00) 00007-9
- Torquato, S .; Цзяо, Ю. (2009), «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел», Nature , 460 : 876, arXiv : 0908.4107 , Bibcode : 2009Natur.460..876T , doi : 10.1038 / nature08239 , PMID 19675649
- Хейлз, Томас К. (2005), «Доказательство гипотезы Кеплера», Annals of Mathematics , 162 : 1065, arXiv : math / 9811078v2 , doi : 10.4007 / annals.2005.162.1065
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме ромбокубооктаэдра . |
- Эрик В. Вайсштейн , Ромбокубооктаэдр ( твердое тело Архимеда ) в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Малый ромбокубооктаэдрический граф" . MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3o4x - sirco" .
- Равномерные многогранники
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- Редактируемая сетка для печати ромбокубооктаэдра с интерактивным трехмерным изображением
- Ромбокубооктаэдрическая звезда Шандора Кабая, Демонстрационный проект Вольфрама .
- Ромбокубооктаэдр: бумажные полоски для плетения