( субаддитивный или удовлетворяющий неравенству треугольника )
(с положительной оценкой )
(будучи определенным )
Кроме того, в случае квадратных матриц (матриц с m = n ) некоторые (но не все) нормы матриц удовлетворяют следующему условию, которое связано с тем фактом, что матрицы - это больше, чем просто векторы: [2]
для всех матриц а также в
Матричная норма, удовлетворяющая этому дополнительному свойству, называется субмультипликативной нормой [4] [3] (в некоторых книгах терминологическая матричная норма используется только для тех норм, которые являются субмультипликативными [5] ). Набор всехматрицы вместе с такой субмультипликативной нормой являются примером банаховой алгебры .
Определение субмультипликативности иногда распространяется на неквадратные матрицы, как в случае индуцированной p -нормы, где для а также считает, что . Здесь, а также нормы, индуцированные из а также соответственно, где p , q ≥ 1 .
Предположим, что векторная норма на дано. Любойматрица A индуцирует линейный оператор из к относительно стандартного базиса, и определяется соответствующая индуцированная норма или операторная норма на пространстве из всех матрицы следующим образом:
Эти индуцированные нормы отличаются от «entrywise» р -норма и Шаттен р -норма для матриц , обработанный ниже, которые также обычно обозначаются
Примечание. Приведенное выше описание относится к норме индуцированного оператора, когда такая же векторная норма использовалась в "пространстве вылета". и "пространство прибытия" оператора . Это необязательное ограничение. В более общем смысле, учитывая норму на и норма на , можно определить матричную норму на вызванные этими нормами:
Матричная норма иногда называют подчиненной нормой. Подчиненные нормы согласуются с нормами, которые их побуждают, давая
Любая индуцированная операторная норма является субмультипликативной матричной нормой: это следует из
а также
Более того, любая индуцированная норма удовлетворяет неравенству
( 1 )
для всех положительных целых чисел г , где ρ ( ) является спектральным радиусом из A . Для симметричного или эрмитовых А , мы имеем равенство в ( 1 ) для 2-нормы, так как в этом случае 2-норма является именно спектральным радиусом А . Для произвольной матрицы у нас может не быть равенства ни по одной норме; контрпример был бы
В особых случаях индуцированные матричные нормы могут быть вычислены или оценены с помощью
это просто максимальная абсолютная сумма столбцов матрицы;
которая является просто максимальной абсолютной суммой строк матрицы;
где представляет наибольшее сингулярное значение матрицы . Имеется важное неравенство для случая:
где - норма Фробениуса . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда матрицаявляется матрицей ранга один или нулевой матрицей. Это неравенство можно вывести из того факта, что след матрицы равен сумме ее собственных значений.
Когда у нас есть эквивалентное определение для в виде . Его эквивалентность приведенным выше определениям можно показать с помощью неравенства Коши – Шварца .
Эти нормы относятся к матрица как вектор размера , и используйте одну из знакомых векторных норм. Например, используя p -норму для векторов, p ≥ 1 , получаем:
Эта норма отличается от индуцированной p -нормы (см. Выше) и p -нормы Шаттена (см. Ниже), но обозначения те же.
Частный случай p = 2 - это норма Фробениуса, а p = ∞ дает максимальную норму.
L 2,1 и L p, q нормы
Позволять быть столбцами матрицы . Вnorm [7] - это сумма евклидовых норм столбцов матрицы:
Для р , д ≥ 1 , то норму можно обобщить на норма следующим образом:
Норма Фробениуса
Когда p = q = 2 длянорма, она называется нормой Фробениуса или нормой Гильберта – Шмидта , хотя последний термин чаще используется в контексте операторов в (возможно, бесконечномерном) гильбертовом пространстве . Эту норму можно определить по-разному:
Норму Фробениуса часто легче вычислить, чем индуцированную норму, и она обладает полезным свойством инвариантности относительно вращений (и унитарных операций в целом). Это, для любой унитарной матрицы . Это свойство следует из цикличности следа ():
Максимальная норма является нормой поэлементно с р = д = ∞:
Эта норма не является субмультипликативной .
Обратите внимание, что в некоторой литературе (например, « Коммуникационная сложность» ) альтернативное определение максимальной нормы, также называемое-norm, относится к норме факторизации:
Нормы Шаттена
Шаттена р -норм возникает при применении р -норма к вектору сингулярных значений матрицы. [3] Если сингулярные значения матрица обозначаются σ i , то p -норма Шаттена определяется как
Эти нормы снова имеют общие обозначения с индуцированными и поэлементными p -нормами, но они разные.
Все нормы Шаттена субмультипликативны. Они также унитарно инвариантны, что означает, что для всех матриц и все унитарные матрицы а также .
Наиболее известные случаи: p = 1, 2, ∞. Случай p = 2 дает норму Фробениуса, введенную ранее. Случай p = ∞ дает спектральную норму, которая является операторной нормой, индуцированной векторной 2-нормой (см. Выше). Наконец, p = 1 дает ядерную норму (также известную как норма следа или n-норма Ки Фана [8] ), определяемую как
где обозначает положительно полуопределенную матрицу такой, что . Точнее, посколькуявляется положительно полуопределенной матрицей , ее квадратный корень определен корректно. Ядерная нормаявляется выпуклой оболочкой ранговой функции, поэтому его часто используют в математической оптимизации для поиска матриц с низким рангом.
Последовательные нормы
Матричная норма на называется согласованной с векторной нормой на и векторная норма на , если:
для всех . Все индуцированные нормы непротиворечивы по определению.
Совместимые нормы
Матричная норма на называется согласованным с векторной нормой на , если:
для всех .
Индуцированные нормы по определению совместимы с индуцирующей векторной нормой. Кроме того, любая субмультипликативная матричная норма на индуцирует векторную норму на с которым он совместим, просто определяя .
Монотонные нормы
Матричная норма называется монотонным, если оно монотонно относительно порядка Лёвнера . Таким образом, норма матрицы возрастает, если
Норма Фробениуса и спектральная норма являются примерами монотонных норм. [9]
Эквивалентность норм
Для любых двух матричных норм а также , у нас есть это:
для некоторых положительных чисел r и s , для всех матриц. Другими словами, все нормы поэто эквивалентно ; они индуцируют ту же топологию на. Это верно, потому что векторное пространствоимеет конечную размерность .
Более того, для любой векторной нормы на , существует единственное положительное действительное число такой, что является субмультипликативной матричной нормой для каждого .
Субмультипликативная матричная норма называется минимальной , если не существует другой субмультипликативной матричной нормы удовлетворение .
Примеры эквивалентности норм
Позволять еще раз обратитесь к норме, индуцированной вектором p -нормой (как указано выше в разделе «Индуцированная норма»).
Для матрицы из ранга , выполняются следующие неравенства: [10] [11]
Еще одно полезное неравенство между матричными нормами:
что является частным случаем неравенства Гёльдера .
Смотрите также
Двойная норма
Логарифмическая норма
Рекомендации
^ «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 24 августа 2020 .
^ а бВайсштейн, Эрик В. «Матрица-норма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 .
^ а б в г«Матричные нормы» . fourier.eng.hmc.edu . Проверено 24 августа 2020 .
^Малек-Шахмирзади, Масуд (1983). «Характеристика некоторых классов матричных норм». Линейная и полилинейная алгебра . 13 (2): 97–99. DOI : 10.1080 / 03081088308817508 . ISSN 0308-1087 .
^Хорн, Роджер А. (2012). Матричный анализ . Джонсон, Чарльз Р. (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 340–341. ISBN 978-1-139-77600-4. OCLC 817236655 .
^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, §5.2, стр.281, Общество промышленной и прикладной математики, июнь 2000.
^Дин, Крис; Чжоу, Дин; Он, Сяофэн; Чжа, Хунъюань (июнь 2006 г.). «R1-PCA: вращательный инвариантный анализ главных компонент L1-нормы для робастной факторизации подпространства». Материалы 23-й Международной конференции по машинному обучению . ICML '06. Питтсбург, Пенсильвания, США: ACM. С. 281–288. DOI : 10.1145 / 1143844.1143880 . ISBN 1-59593-383-2.
^Fan, Ky. (1951). «Максимальные свойства и неравенства для собственных значений вполне непрерывных операторов» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 37 (11): 760–766. Bibcode : 1951PNAS ... 37..760F . DOI : 10.1073 / pnas.37.11.760 . PMC 1063464 . PMID 16578416 .
^Ciarlet, Филипп Г. (1989). Введение в численную линейную алгебру и оптимизацию . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 57. ISBN 0521327881.
^ Голуб, Джин ; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления - третье издание. Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса, 56–57. ISBN 0-8018-5413-X .
^ Роджер Хорн и Чарльз Джонсон. Матричный анализ, глава 5, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 .
Библиография
Джеймс В. Деммель , Прикладная числовая линейная алгебра, раздел 1.7, опубликовано SIAM, 1997.
Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, опубликовано SIAM, 2000. [1]
Джон Уотроус , Теория квантовой информации, 2.3 Нормы операторов , конспект лекций, Университет Ватерлоо, 2011.
Кендалл Аткинсон , Введение в численный анализ, опубликованное John Wiley & Sons, Inc., 1989 г.