Купол (геометрия)
В геометрии купол представляет собой твердое тело , образованное путем соединения двух многоугольников , один (основание) с вдвое большим количеством ребер , чем другой, чередующейся полосой равнобедренных треугольников и прямоугольников . Если треугольники равносторонние , а прямоугольники — квадраты , а основание и противоположная ему грань — правильные многоугольники , то треугольные , квадратные и пятиугольные купола относятся к телам Джонсона и могут быть образованы, взяв сечения кубооктаэдра , ромбокубооктаэдра , и ромбокододекаэдр соответственно.
Купол можно рассматривать как призму , в которой один из многоугольников сложен пополам путем слияния альтернативных вершин.
Куполу можно присвоить расширенный символ Шлефли { n } || t{ n }, представляющий правильный многоугольник { n } , соединенный параллелью его усечения t { n } или {2 n }.
Его двойник содержит форму, которая представляет собой своего рода сварной шов между половиной n -стороннего трапецоэдра и 2 n -сторонней пирамидой .
Упомянутые выше три многогранника — единственные нетривиальные выпуклые купола с правильными гранями: « Шестиугольный купол» — плоская фигура, а треугольную призму можно считать «куполом» 2-й степени (купол отрезка и квадрат). Однако купола многоугольников более высокой степени могут быть построены с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.
Определение купола не требует, чтобы основание (или сторона, противоположная основанию, которую можно назвать вершиной) была правильным многоугольником, но удобно рассмотреть случай, когда купол имеет максимальную симметрию C n v . В этом случае вершиной является правильный n -угольник, а основанием является либо правильный 2n - угольник, либо 2n - угольник, у которого две разные длины сторон чередуются и те же углы, что и у правильного 2n - угольника. Удобно зафиксировать систему координат так, чтобы основание лежало в плоскости xy , а вершина - в плоскости, параллельной плоскости xy . Ось z является осью n -кратности, а плоскости зеркала проходят через ось z и делят стороны основания пополам. Они также делят пополам стороны или углы верхнего многоугольника, или и то, и другое. (Если n четное, половина зеркальных плоскостей делит пополам стороны верхнего многоугольника и половина — углы, а если n нечетное, каждая зеркальная плоскость делит пополам одну сторону и один угол верхнего многоугольника.) Вершины основания можно обозначить через , а вершины верхнего многоугольника можно обозначить через . С помощью этих соглашений координаты вершин можно записать как:
