В математике , А единичный вектор в нормированном векторном пространстве является вектор (часто пространственный вектор ) от длины единичного вектора 1. А часто обозначается строчной буквой с диакритическим , или «шапкой», как и в(произносится как «в-шляпа»). [1] [2]
Термин « вектор направления» используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления, и такие величины обычно обозначаются как d ; Представленные таким образом двумерные пространственные направления численно эквивалентны точкам на единичной окружности . Та же конструкция используется для указания пространственных направлений в 3D, которые эквивалентны точке на единичной сфере .
Нормализуется вектор и из ненулевого вектора U представляет собой единичный вектор в направлении U , т.е.
где | u | - норма (или длина) u . [3] [4] Термин « нормализованный вектор» иногда используется как синоним единичного вектора .
Единичные векторы часто выбираются для формирования основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.
По определению, скалярное произведение двух единичных векторов в евклидовом пространстве является скалярным значением, равным косинусу меньшего приложенного угла. В трехмерном евклидовом пространстве перекрестное произведение двух произвольных единичных векторов является третьим вектором, ортогональным им обоим, длина которого равна синусу меньшего приложенного угла. Нормализованное перекрестное произведение корректирует эту изменяющуюся длину и дает взаимно ортогональный единичный вектор для двух входов, применяя правило правой руки для разрешения одного из двух возможных направлений.
Ортогональные координаты
Декартовы координаты
Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат равны
Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемых стандартным базисом в линейной алгебре .
Они часто обозначаются с использованием общепринятых векторных обозначений (например, i или), а не стандартную запись единичного вектора (например, ). В большинстве случаев можно предположить, что i , j и k , (или а также ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Обозначения, , , или же , со шляпой или без нее , также используются, [3] особенно в контекстах, где i , j , k может привести к путанице с другой величиной (например, с индексными символами, такими как i , j , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).
Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовой системе счисления как линейная комбинация i , j , k , его три скалярных компонента могут называться направляющими косинусами . Значение каждого компонента равно косинусу угла, образованного единичным вектором - с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой линии, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).
Цилиндрические координаты
Три ортогональных единичных вектора, соответствующих цилиндрической симметрии:
- (также обозначенный или же ), представляющее направление, вдоль которого измеряется расстояние точки от оси симметрии;
- , представляющий направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
- , представляющий направление оси симметрии;
Они связаны с декартовым основанием , , от:
Важно отметить, что а также являются функциями , И не постоянна в направлении. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо также оперировать этими единичными векторами. Производные по находятся:
Сферические координаты
Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии, следующие: , направление увеличения радиального расстояния от начала координат; , направление, в котором угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x увеличивается; а также, направление увеличения угла от положительной оси z . Чтобы свести к минимуму избыточность представлений, полярный уголобычно лежит в диапазоне от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного триплета, записанного в сферических координатах , поскольку роли а также часто меняются местами. Здесь используется американское «физическое» соглашение [5] . Это оставляет азимутальный угол определяется так же, как в цилиндрических координатах. В декартовых отношения:
Сферические единичные векторы зависят как от а также , и, следовательно, есть 5 возможных ненулевых производных. Для более полного описания см. Матрица Якоби и определитель . Ненулевые производные:
Общие единичные векторы
Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : [6]
Единичный вектор | Номенклатура | Диаграмма |
---|---|---|
Касательный вектор к кривой / линии потока | Нормальный вектор на плоскость, содержащую и определяемую вектором радиального положения и угловое тангенциальное направление вращения необходимо, чтобы выполнялись векторные уравнения углового движения. | |
Нормально к касательной плоскости / плоскости поверхности, содержащей компонент радиального положения и угловой тангенциальный компонент | ||
Бинормальный вектор к касательной и нормали | [7] | |
Параллельно какой-то оси / линии | Один единичный вектор выровнен параллельно главному направлению (красная линия) и перпендикулярному единичному вектору находится в любом радиальном направлении относительно главной линии. | |
Перпендикулярно некоторой оси / линии в некотором радиальном направлении | ||
Возможное угловое отклонение относительно некоторой оси / линии | Единичный вектор при остром угле отклонения φ (включая 0 или π / 2 рад) относительно главного направления. |
Криволинейные координаты
В общем, система координат может быть однозначно указана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов.[3] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного 3-мерного пространства эти векторы можно обозначить. Почти всегда удобно определять систему как ортонормированную и правую :
где - символ Кронекера (который равен 1 для i = j и 0 в противном случае) и- символ Леви-Чивиты (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и −1 для перестановок, упорядоченных как kji ).
Правый противник
Единичный вектор в ℝ 3 был назван В. Р. Гамильтоном правым версором , когда он развил свои кватернионы ℍ ⊂ ℝ 4 . Фактически, он был создателем термина вектор , поскольку каждый кватернионимеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v - единичный вектор в ℝ 3 , то квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом , по формуле Эйлера ,является версором в 3-сфере . Когда θ является прямым углом , версор является прямым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в ℝ 3 .
Смотрите также
- Декартова система координат
- Система координат
- Криволинейные координаты
- Четырехскоростной
- Матрица Якоби и определитель
- Нормальный вектор
- Полярная система координат
- Стандартная основа
- Единичный интервал
- Единичный квадрат , куб , круг , сфера и гипербола
- Обозначение вектора
- Вектор из них
Заметки
- ^ "Полный список символов алгебры" . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ «Единичный вектор» . www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ а б в Вайсштейн, Эрик В. «Единичный вектор» . mathworld.wolfram.com . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ «Единичные векторы | Блестящая вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ Тевиан Дрей и Коринна А. Manogue, сферические координаты, Колледж Math Journal 34, 168-169 (2003).
- ^ Ф. Эйрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия набросков Шаума) (5-е изд.). Мак Гроу Хилл. ISBN 978-0-07-150861-2.
- ^ MR Spiegel; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (серия набросков Шаума) (2-е изд.). Мак Гроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
Рекомендации
- ГБ Арфкен и Х. Дж. Вебер (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-059825-6.
- Шпигель, Мюррей Р. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-038203-4.
- Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.