В квантовой теории поля , тождество Уорда-Такахаши является тождество между корреляционными функциями , что следует из глобальных или калибровочных симметрий теории, и которая остается в силе после перенормировки .
Уорд-Такахаши идентичность квантовой электродинамики (КЭД) первоначально использовался John Clive Ward [1] и Ясуши Takahashi [2] , чтобы связать волновую функцию перенормировки от электрона к его фактору вершина перенормировки , гарантируя отмену ультрафиолетового расхождения в все порядки теории возмущений . Более позднее использование включает распространение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.
В более общем смысле тождество Уорда – Такахаши - это квантовая версия классического сохранения тока, связанная с непрерывной симметрией по теореме Нётер . Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к этим обобщенным тождествам Уорда – Такахаши, которые накладывают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Этот обобщенный смысл следует отличать при чтении литературы, такой как учебник Майкла Пескина и Дэниела Шредера [3], от оригинальной идентичности Уорда – Такахаши.
Подробное обсуждение ниже касается QED, абелевой теории, к которой применимо тождество Уорда – Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова – Тейлора .
Идентичность Уорда-Такахаши
Тождество Уорда – Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве , которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке . Позволять
- корреляционная функция КЭД с участием внешнего фотона с импульсом k (где- вектор поляризации фотона и суммирование поподразумевается), n электронов в начальном состоянии с импульсами, и n электронов в конечном состоянии с импульсами. Также определитечтобы быть более простой амплитудой, которая получается удалением фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда идентичность Уорда-Такахаши читается так:
где e - заряд электрона, знак отрицательный. Обратите внимание, что еслиимеет свои внешние электроны на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеет одну внешнюю частицу вне оболочки, и поэтому они не вносят вклад в элементы S-матрицы .
Идентичность подопечного
Тождество Уорда - это специализация тождества Уорда – Такахаши на S-матричных элементах, которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке . Снова позвольте - амплитуда для некоторого процесса КЭД с участием внешнего фотона с импульсом , где - вектор поляризации фотона. Затем личность Уорда гласит:
Физически это тождество означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в ξ-калибровке , нефизична и исчезает из S-матрицы.
Примеры его использования включают ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и электронной вершинной функции в КЭД.
Вывод в формулировке интеграла по путям
В формулировке интеграла по путям тождества Уорда – Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования . Точнее, если представляет собой калибровочное преобразование (и это применимо даже в том случае, когда физическая симметрия системы глобальна или даже не существует; здесь нас беспокоит только инвариантность функциональной меры ), тогда
выражает инвариантность функциональной меры, где S - действие, аявляется функциональным из полей . Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории, то
для некоторого " текущего " J (как функционал полей) после интегрирования по частям и в предположении, что поверхностными членами можно пренебречь.
Затем идентичности Уорда-Такахаши становятся
Это КТП аналог уравнения неразрывности Нётер. .
Если калибровочное преобразование соответствует реальной калибровочной симметрии, то
где S - калибровочно-инвариантное действие, а S gf - не калибровочно-инвариантный член, фиксирующий калибровку .
Но обратите внимание, что даже если нет глобальной симметрии (т.е. симметрия нарушена), у нас все еще есть тождество Уорда – Такахаши, описывающее скорость несохранения заряда.
Если функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет
где - некоторый функционал полей , мы имеем аномальное тождество Уорда – Такахаши , например, когда поля имеют киральную аномалию .
Рекомендации
- ^ Уорд, Джон Клайв (1950). «Тождество в квантовой электродинамике». Физический обзор . 78 (2): 182. Bibcode : 1950PhRv ... 78..182W . DOI : 10.1103 / PhysRev.78.182 .
- ^ Такахаши, Ясуши (1957). «Об обобщенной подопечной идентичности». Il Nuovo Cimento . 6 (2): 371–375. Bibcode : 1957NCim .... 6..371T . DOI : 10.1007 / BF02832514 .
- ^ Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Westview Press. Раздел 7.4 («Тождество Уорда-Такахаши»). ISBN 978-0-201-50397-5.