1 | я | j | k | |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | я | j | k |
я | я | −1 | k | - j |
j | j | - к | −1 | я |
k | k | j | - я | −1 |
В математике , то кватернион система счисления расширяет комплексные числа . Кватернионы были впервые описаны ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году [1] [2] и применены к механике в трехмерном пространстве . Гамильтон определил кватернион как частное двух направленных прямых в трехмерном пространстве [3] или, что то же самое, как частное двух векторов . [4] Умножение кватернионов некоммутативно .
Кватернионы обычно представлены в виде
где a , b , c и d - действительные числа ; а i , j и k - основные кватернионы .
Кватернионы используются в чистой математике , но также имеют практическое применение в прикладной математике , особенно для вычислений, включающих трехмерные вращения , например, в трехмерной компьютерной графике , компьютерном зрении и анализе кристаллографической текстуры . [5] Их можно использовать вместе с другими методами вращения, такими как углы Эйлера и матрицы вращения , или в качестве альтернативы им, в зависимости от приложения.
В современном математическом языке , кватернионы образуют четырех- мерной ассоциативная нормированная алгебру с делением над вещественными числами, и , следовательно , также область . Алгебра кватернионов часто обозначается H (для Гамильтона ) или жирным шрифтом на доске -Он также может быть задан классификациями алгебры Клиффорда Фактически, это была первая открытая некоммутативная алгебра с делением .
Согласно теореме Фробениуса алгебраявляется одним из двух конечномерных тел, содержащих собственное подкольцо, изоморфное действительным числам; другой - комплексные числа. Эти кольца также являются евклидовой алгеброй Гурвица , из которых кватернионы являются наибольшей ассоциативной алгеброй . Дальнейшее расширение кватернионов дает неассоциативные октонионы , которые являются последней нормированной алгеброй с делением над действительными числами. ( Седенионы , расширение октонионов, имеют делители нуля и поэтому не могут быть нормированной алгеброй с делением.) [6]
В единичных кватернионов можно рассматривать как выбор группы структуры на 3-сферы S 3 , что дает группе Крутить (3) , которая изоморфна SU (2) , а также к универсальной накрывающей на SO (3) .
История
Кватернионы были введены Гамильтоном в 1843 [7] Важные прекурсоры в эту работу включены четыре-квадрат идентичности Эйлера (1748) и Олинд Родриг ' параметризацию общих оборотов по четырем параметрам (1840 г.), но ни один из этих авторов не рассматривали четыре параметра вращения как алгебра. [8] [9] Карл Фридрих Гаусс также открыл кватернионы в 1819 году, но эта работа не была опубликована до 1900 года. [10] [11]
Гамильтон знал, что комплексные числа можно интерпретировать как точки на плоскости , и искал способ сделать то же самое для точек в трехмерном пространстве . Точки в пространстве могут быть представлены их координатами, которые представляют собой тройки чисел, и в течение многих лет он знал, как складывать и вычитать тройки чисел. Однако Гамильтон долгое время занимался проблемой умножения и деления. Он не мог понять, как вычислить частное из координат двух точек в пространстве. Фактически, Фердинанд Георг Фробениус позже доказал в 1877 году, что для того, чтобы алгебра с делением над действительными числами была конечномерной и ассоциативной, она не может быть трехмерной, и есть только три таких алгебры с делением: (комплексные числа) и (кватернионы), которые имеют размерность 1, 2 и 4 соответственно.
Великий прорыв в кватернионах, наконец, произошел в понедельник 16 октября 1843 года в Дублине , когда Гамильтон направлялся в Королевскую ирландскую академию, где он собирался председательствовать на заседании совета. Когда он со своей женой шел по тропинке к Королевскому каналу , концепции кватернионов обретали форму в его сознании. Когда до него дошел ответ, Гамильтон не смог устоять перед желанием создать формулу для кватернионов:
в камень моста Брум-Бридж, когда он остановился на нем. Хотя резьба с тех пор исчезла, с 1989 года ежегодно проводится паломничество под названием Гамильтонская прогулка для ученых и математиков, которые идут от обсерватории Дансинк до моста через Королевский канал в память об открытии Гамильтона.
На следующий день Гамильтон написал письмо своему другу и коллеге-математику Джону Т. Грейвсу, в котором описал ход мыслей, который привел к его открытию. Это письмо позже было опубликовано в лондонском, Эдинбургском и Дублинском философском журнале и журнале Science ; [12] Гамильтон утверждает:
И тут меня осенило, что мы должны в некотором смысле допустить четвертое измерение пространства для целей вычисления с тройками ... Электрическая цепь, казалось, замкнулась, и вспыхнула искра. [12]
Гамильтон назвал четверку с этими правилами умножения кватернионом , и он посвятил большую часть своей жизни изучению и обучению им. Трактовка Гамильтона более геометрическая, чем современный подход, который подчеркивает алгебраические свойства кватернионов . Он основал школу «кватернионистов» и попытался популяризировать кватернионы в нескольких книгах. Последний и самый длинный из его книг, элементов кватернионов , [13] было 800 страниц длиной; его отредактировал его сын и опубликовал вскоре после его смерти.
После смерти Гамильтона его ученик Питер Тейт продолжил продвигать кватернионы. В то время кватернионы были обязательной темой экзаменов в Дублине. Темы физики и геометрии, которые теперь будут описываться с помощью векторов, такие как кинематика в пространстве и уравнения Максвелла , были полностью описаны в терминах кватернионов. Существовала даже профессиональная исследовательская ассоциация Quaternion Society , занимавшаяся изучением кватернионов и других гиперкомплексных систем счисления.
Сцена чаепития Безумного Шляпника в « Алисе в стране чудес» была сатирой на кватернионы Льюиса Кэролла, который возражал против того, что он считал их «нетрадиционной» математикой. [14]
С середины 1880-х годов кватернионы начали вытесняться векторным анализом , который был разработан Джозией Уиллардом Гиббсом , Оливером Хевисайдом и Германом фон Гельмгольцем . Векторный анализ описал те же явления, что и кватернионы, поэтому некоторые идеи и терминологию были заимствованы из литературы по кватернионам. Однако векторный анализ был концептуально проще и понятнее с точки зрения обозначений, и в конечном итоге кватернионам отводилась второстепенная роль в математике и физике . Побочным эффектом этого перехода является то, что работы Гамильтона трудно понять многим современным читателям. Первоначальные определения Гамильтона незнакомы, а его стиль письма был многословным и трудным для понимания.
Однако кватернионы возродились с конца 20-го века, в первую очередь из-за их полезности при описании пространственного вращения . Представления вращений кватернионами более компактны и быстрее вычисляются, чем представления матрицами . Кроме того, в отличие от углов Эйлера, они не подвержены « блокировке кардана ». По этой причине кватернионы используются в компьютерной графике , [15] [16] компьютерном зрении , робототехнике , [17] теории управления , обработке сигналов , управлении ориентацией , физике , биоинформатике , [18] [19] молекулярной динамике , компьютерном моделировании , и орбитальная механика . Например, для систем управления ориентацией космических аппаратов обычно используются кватернионы. Кватернионы получили еще один импульс от теории чисел из-за их отношений с квадратичными формами . [20]
Кватернионы в физике
Очерк П. Р. Жирара 1984 г. Группа кватернионов и современная физика [21] обсуждает некоторые роли кватернионов в физике. В эссе показано, как различные группы физических ковариаций, а именно SO (3) , группа Лоренца, группа общей теории относительности, алгебра Клиффорда SU (2) и конформная группа, могут быть легко связаны с группой кватернионов в современной алгебре . Girard начали с обсуждения представлений групп и представляющих некоторые пространственные группы по кристаллографии . Он перешел к кинематике движения твердого тела . Затем он использовал сложные кватернионы ( бикватернионы ), чтобы представить группу Лоренца специальной теории относительности, включая прецессию Томаса . Он процитировал пяти авторов, начиная с Людвика Зильберштейна , который использовал потенциальную функцию одной кватернионной переменной, чтобы выразить уравнения Максвелла в одном дифференциальном уравнении . Что касается общей теории относительности, он выразил вектор Рунге – Ленца . Он упомянул бикватернионы Клиффорда ( расщепленные бикватернионы ) как пример алгебры Клиффорда. Наконец, ссылаясь на обратную в бикватерниона, Girard описал конформные отображения на пространстве - времени . Среди пятидесяти упоминаний Жирар включил Александра Макфарлейна и его Бюллетень Общества Кватерниона . В 1999 году он показал, как уравнения общей теории относительности Эйнштейна могут быть сформулированы в рамках алгебры Клиффорда, которая напрямую связана с кватернионами. [22]
Нахождение 1924 , что в квантовой механике спина электрона и других частиц вещества (известный как спинорами ) может быть описана с использованием кватернионов продвинул их интерес; кватернионы помогли понять, как вращения электронов на 360 ° можно отличить от вращений на 720 ° (« трюк с пластиной »). [23] [24] По состоянию на 2018 г.[Обновить], их использование не обогнало группы ротации . [а]
Определение
Кватернионов является выражением вида
где a , b , c , d - действительные числа , а i , j , k - символы, которые можно интерпретировать как единичные векторы, указывающие вдоль трех пространственных осей. На практике, если один из a , b , c , d равен 0, соответствующий член опускается; если a , b , c , d все равны нулю, кватернион - это нулевой кватернион , обозначенный 0; если один из b , c , d равен 1, соответствующий член записывается просто i , j или k .
Гамильтон описывает кватернион , как состоящий из скалярной части и векторной части. Кватернионназывается векторной частью (иногда мнимой ) q , а a - скалярной частью (иногда действительной ) q . Кватернион, равный его действительной части (то есть его векторная часть равна нулю), называется скалярным или действительным кватернионом и идентифицируется с соответствующим действительным числом. То есть в кватернионы вложены действительные числа . (Точнее, поле действительных чисел изоморфно подмножеству кватернионов. Поле комплексных чисел также изоморфно трем подмножествам кватернионов.) [25] Кватернион, равный своей векторной части, называется векторным кватернионом .
Набор кватернионов представляет собой 4-мерное векторное пространство над действительными числами, св качестве основы покомпонентным сложением
и покомпонентное скалярное умножение
Мультипликативная групповая структура, называемая произведением Гамильтона , обозначаемая сопоставлением, может быть определена на кватернионах следующим образом:
- Настоящий кватернион 1 является элементом идентичности .
- В реальных кватернионах коммутируют со всеми другими кватернионами, то есть водно = QA для каждых кватернионов ц и любых вещественных кватернионами а . В алгебраической терминологии это означает, что поле действительных кватернионов является центром этой алгебры кватернионов.
- Произведение сначала дается для базовых элементов (см. Следующий подраздел), а затем распространяется на все кватернионы с использованием свойства распределения и свойства центра реальных кватернионов. Произведение Гамильтона не коммутативно , но ассоциативно , поэтому кватернионы образуют ассоциативную алгебру над действительными числами.
- Кроме того, каждый ненулевой кватернион имеет обратный по отношению к произведению Гамильтона:
Таким образом, кватернионы образуют алгебру с делением.
Умножение базисных элементов
× | 1 | я | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | я | j | k |
я | я | −1 | k | - j |
j | j | - к | −1 | я |
k | k | j | - я | −1 |
Умножение на 1 базисных элементов i , j и k определяется тем фактом, что 1 является мультипликативным тождеством , т. Е.
Остальные продукты базовых элементов определяются из правил продукта для а также
а также
Затем остальные правила продукта получаются заменой от и применение ассоциативности и антикоммутативность из а также (это, ), который дает
Центр
Центр из некоммутативного кольца является подкольцом элементов гр такие , что см = хс для каждого х . Центр алгебры кватернионов - это подполе вещественных кватернионов. Фактически, это часть определения, что настоящие кватернионы принадлежат центру. Наоборот, если q = a + b i + c j + d k принадлежит центру, то
и c = d = 0 . Аналогичное вычисление с j вместо i показывает, что также b = 0 . Таким образом, q = a - действительный кватернион.
Кватернионы образуют алгебру с делением. Это означает, что некоммутативность умножения - единственное свойство, которое отличает кватернионы от поля . Эта некоммутативность имеет некоторые неожиданные последствия, в том числе то, что полиномиальное уравнение над кватернионами может иметь более различные решения, чем степень полинома. Например, уравнение г 2 + 1 = 0 , имеет бесконечное множество решений кватернионов, которые являются кватернионов г = Ь я + с J + d к таким образом, что б 2 + гр 2 + D 2 = 1 . Таким образом, эти «корни из –1» образуют единичную сферу в трехмерном пространстве векторных кватернионов.
Гамильтон продукт
Для двух элементов a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k и a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k их произведение, называемое произведением Гамильтона ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ), определяется произведением базисных элементов и законом распределения . Закон распределения позволяет расширить продукт так, чтобы он представлял собой сумму произведений основных элементов. Это дает следующее выражение:
Теперь базовые элементы можно умножить, используя приведенные выше правила, чтобы получить: [7]
Произведение двух кватернионов вращения [26] будет эквивалентно вращению a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k с последующим вращением a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k .
Скалярная и векторная части
Кватернион вида a + 0 i + 0 j + 0 k , где a - действительное число, называется скалярным , а кватернион вида 0 + b i + c j + d k , где b , c и d - действительные числа, и хотя бы одно из b , c или d не равно нулю, называется векторным кватернионом . Если a + b i + c j + d k - любой кватернион, то a называется его скалярной частью, а b i + c j + d k называется его векторной частью . Несмотря на то, что каждый кватернион можно рассматривать как вектор в четырехмерном векторном пространстве, принято называть векторную часть векторами в трехмерном пространстве. Согласно этому соглашению, вектор - это то же самое, что и элемент векторного пространства.[b]
Гамильтон также называл векторные кватернионы правыми кватернионами [28] [29] и действительные числа (рассматриваемые как кватернионы с нулевой векторной частью) скалярными кватернионами .
Если кватернион разделен на скалярную часть и векторную часть, то есть
то формулы сложения и умножения таковы:
где "" а также ""обозначают, соответственно, скалярное произведение и перекрестное произведение .
Спряжение, норма и реципрокность
Сопряжение кватернионов аналогично сопряжению комплексных чисел и транспонированию (также известному как обращение) элементов алгебр Клиффорда. Чтобы определить это, пустьбыть кватернионом. Конъюгат из ц является кватернионами. Обозначается через q ∗ , q t ,, или q . [7] Сопряжение - это инволюция , что означает, что оно является обратным к самому себе , поэтому двойное сопряжение элемента возвращает исходный элемент. Конъюгат продукта двух кватернионов является продуктом конъюгатов в обратном порядке . То есть, если p и q кватернионы, то ( pq ) ∗ = q ∗ p ∗ , а не p ∗ q ∗ .
Сопряжение кватерниона, в отличие от сложной настройки, может быть выражено умножением и сложением кватернионов:
Сопряжение можно использовать для извлечения скалярной и векторной частей кватерниона. Скалярная часть p равна1/2( p + p ∗ ) , а векторная часть p равна1/2( p - p ∗ ) .
Квадратный корень из произведения кватернион с его конъюгату называется ее нормой и обозначается || q || (Гамильтон назвал эту величину тензора от д , но конфликты с современным значением « тензор »). В формулах это выражается следующим образом:
Это всегда неотрицательное действительное число, и оно совпадает с евклидовой нормой на рассматривается как векторное пространство . При умножении кватерниона на действительное число его норма масштабируется на абсолютное значение числа. То есть, если α вещественно, то
Это частный случай того факта, что норма мультипликативна , что означает, что
для любых двух кватернионов p и q . Мультипликативность - это следствие формулы сопряженного произведения. В качестве альтернативы из тождества следует
(где i обозначает обычную мнимую единицу ) и, следовательно, из мультипликативного свойства определителей квадратных матриц.
Эта норма позволяет определить расстояние d ( p , q ) между p и q как норму их разности:
Это делает метрическое пространство . Сложение и умножение непрерывны в метрической топологии . В самом деле, для любого скаляра положительное a выполняется
Непрерывность следует принимать к нулю в пределе. Аналогично выполняется непрерывность умножения.
Кватернион единицы
Блок кватернионы являются Кватернионными нормами одного. Разделив Ненулевой кватернион д по своей норме производит единичный кватернион U д , называемый versor из ц :
Каждый кватернион имеет полярное разложение .
Использование сопряжения и нормы позволяет определить обратную величину ненулевого кватерниона. Произведение кватерниона на обратное должно равняться 1, и приведенные выше соображения подразумевают, что произведение а также равно 1 (для любого порядка умножения). Таким образом, обратная из д определяется как
Это позволяет разделить два кватерниона p и q двумя разными способами (когда q не равно нулю). То есть их частное может быть либо p q −1, либо q −1 p ; в общем, эти произведения различаются в зависимости от порядка умножения, за исключением особого случая, когда p и q являются скалярными кратными друг другу (включая случай, когда p = 0 ). Следовательно, обозначениеп/qнеоднозначен, поскольку не определяет, делится ли q слева или справа ( умножает ли q −1 на p слева или справа).
Алгебраические свойства
Набор всех кватернионов - это векторное пространство над действительными числами с размерностью 4. [c] Умножение кватернионов является ассоциативным и распределяется по сложению векторов, но за исключением скалярного подмножества, оно не коммутативно. Следовательно, кватернионыявляются некоммутативной ассоциативной алгеброй над действительными числами. Несмотря на то содержит копии комплексных чисел, это не ассоциативная алгебра над комплексными числами.
Поскольку кватернионы можно разделить, они образуют алгебру с делением. Это структура, аналогичная полю, за исключением некоммутативности умножения. Конечномерные ассоциативные алгебры с делением над действительными числами очень редки. Теорема Фробениуса утверждает, что их ровно три:, , а также . Норма превращает кватернионы в нормированную алгебру , и нормированные алгебры с делением над действительными числами также очень редки: теорема Гурвица гласит, что их всего четыре:, , , а также (октонионы). Кватернионы также являются примером алгебры композиции и унитальной банаховой алгебры .
Поскольку произведение любых двух базисных векторов равно плюс или минус другому базисному вектору, набор {± 1, ± i , ± j , ± k } образует группу при умножении. Эта неабелева группа называется группой кватернионов и обозначается Q 8 . [30] Реальное групповое кольцо из Q 8 представляет собой кольцо которое также является восьмимерным векторным пространством над Он имеет один базисный вектор для каждого элемента Кватернионы изоморфны факторкольцу группыот идеала , порожденный элементами 1 + (-1) , я + (- я ) , J + (- J ) , и к + (- K ) . Здесь первый член в каждой из разностей является одним из базисных элементов 1, i , j и k , а второй член является одним из базисных элементов −1, - i , - j и - k , а не аддитивными обратными из 1, i , j и k .
Кватернионы и геометрия пространства
Векторная часть кватерниона может быть интерпретирована как вектор координат в следовательно, алгебраические операции кватернионов отражают геометрию Такие операции, как векторные точки и перекрестные произведения, могут быть определены в терминах кватернионов, и это позволяет применять методы кватернионов везде, где возникают пространственные векторы. Кватернионы можно использовать для интерполяции ориентации ключевых кадров в компьютерной графике. [15]
В оставшейся части этого раздела i , j и k будут обозначать оба три мнимых [31] базисных вектора и основа для Замена I на - I , J пути - J , и к по - к посылает вектор его аддитивному обратный , так что добавка обратного вектора является таким же , как его конъюгат , как кватернион. По этой причине сопряжение иногда называют пространственным обратным .
Для двух векторных кватернионов p = b 1 i + c 1 j + d 1 k и q = b 2 i + c 2 j + d 2 k их скалярное произведение по аналогии с векторами в является
Это также может быть выражено без компонентов как
Это равно скалярным частям произведений pq ∗ , qp ∗ , p ∗ q и q ∗ p . Обратите внимание, что их векторные части разные.
Векторное произведение по р и д по отношению к ориентации определяется упорядоченной основе я , J и K является
(Напомним, что ориентация необходима для определения знака.) Это равно векторной части произведения pq (в виде кватернионов), а также векторной части - q ∗ p ∗ . Он также имеет формулу
Для коммутатора , [ p , q ] = pq - qp , двух векторных кватернионов получается
В общем, пусть p и q - кватернионы, и напишите
где p s и q s - скалярные части, а p v и q v - векторные части p и q . Тогда у нас есть формула
Это показывает, что некоммутативность умножения кватернионов происходит от умножения векторных кватернионов. Это также показывает, что два кватерниона коммутируют тогда и только тогда, когда их векторные части коллинеарны. Гамильтон [32] показал, что это произведение вычисляет третью вершину сферического треугольника из двух заданных вершин и связанных с ними длин дуги, которая также является алгеброй точек в эллиптической геометрии .
Кватернионы единиц могут быть идентифицированы вращением в и были названы версорами Гамильтоном. [32] Также см. Кватернионы и пространственное вращение для получения дополнительной информации о моделировании трехмерных вращений с использованием кватернионов.
См. Hanson (2005) [33] для визуализации кватернионов.
Матричные представления
Как комплексные числа могут быть представлены в виде матриц , так и кватернионы. Существует как минимум два способа представления кватернионов в виде матриц таким образом, чтобы сложение и умножение кватернионов соответствовало сложению матриц и умножению матриц . Один - использовать комплексные матрицы 2 × 2 , а другой - использовать вещественные матрицы 4 × 4 . В каждом случае данное представление является одним из семейства линейно связанных представлений. В терминологии абстрактной алгебры это инъективные гомоморфизмы изк матрице кольца М (2, ℂ) и M (4, ℝ) , соответственно.
Используя комплексные матрицы 2 × 2, кватернион a + bi + cj + dk может быть представлен как
Обратите внимание, что «i» комплексных чисел отличается от «i» кватернионов.
Это представление обладает следующими свойствами:
- Ограничение любых двух из b , c и d нулем дает представление комплексных чисел. Например, установка c = d = 0 дает диагональное комплексное матричное представление комплексных чисел, а установка b = d = 0 дает вещественное матричное представление.
- Норма кватерниона (квадратный корень из произведения с его сопряженным, как с комплексными числами) - это квадратный корень из определителя соответствующей матрицы. [34]
- Сопряжение кватерниона соответствует сопряженному транспонированию матрицы.
- Ограничением это представление дает изоморфизм между подгруппой единичных кватернионов и их образом SU (2) . Топологически единичные кватернионы являются 3-сферой, поэтому базовое пространство SU (2) также является 3-сферой. Группа SU (2) важна для описания спина в квантовой механике ; см. матрицы Паули .
- Между кватернионными единицами и матрицами Паули существует сильная связь. Получите восемь единичных матриц кватернионов, взяв a , b , c и d , установив три из них на ноль, а четвертую на 1 или -1. Умножение любых двух матриц Паули всегда дает единичную матрицу кватернионов, все они кроме −1. −1 получается через i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1; например, последнее равенство
Используя вещественные матрицы 4 × 4, тот же кватернион можно записать как
Однако представление кватернионов в M (4, ℝ) не единственно. Например, тот же кватернион также может быть представлен как
Существует 48 различных матричных представлений этой формы, в которых одна из матриц представляет скалярную часть, а все три других кососимметричны. Точнее, существует 48 наборов четверок матриц с этими ограничениями симметрии, так что функция, отправляющая 1, i , j и k матрицам в четверке, является гомоморфизмом, то есть она переводит суммы и произведения кватернионов в суммы и изделия из матриц. [35] В этом представлении сопряжение кватерниона соответствует транспонированию матрицы. Четвертая степень нормы кватерниона является определителем соответствующей матрицы. Как и в приведенном выше комплексном представлении 2 × 2, комплексные числа снова могут быть получены путем соответствующего ограничения коэффициентов; например, в виде блочно-диагональных матриц с двумя блоками 2 × 2, задав c = d = 0 .
Каждое матричное представление кватернионов 4 × 4 соответствует таблице умножения единичных кватернионов. Например, последнее приведенное выше матричное представление соответствует таблице умножения
× | а | d | - б | - с |
---|---|---|---|---|
а | а | d | −b | −c |
−d | −d | а | c | −b |
б | б | - с | а | - г |
c | c | б | d | а |
который изоморфен - через - к
× | 1 | k | - я | - j |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | k | - я | - j |
- к | - к | 1 | j | - я |
я | я | - j | 1 | - к |
j | j | я | k | 1 |
Если ограничить любую такую таблицу умножения идентичностью в первой строке и столбце и чтобы знаки заголовков строк были противоположны знакам заголовков столбцов, тогда есть 3 возможных варианта для второго столбца (игнорируя знак), 2 возможных варианты выбора для третьего столбца (знак игнорирования) и 1 возможный выбор для четвертого столбца (знак игнорирования); что дает 6 возможностей. Затем второй столбец может быть выбран положительным или отрицательным, третий столбец может быть выбран положительным или отрицательным, а четвертый столбец может быть выбран положительным или отрицательным, что дает 8 вариантов для знака. Умножение возможных позиций букв и их знаков дает 48. Затем замена 1 на a , i на b , j на c и k на d и удаление заголовков строк и столбцов дает матричное представление a + b i + c j + d к .
Теорема Лагранжа о четырех квадратах
Кватернионы также используются в одном из доказательств теоремы Лагранжа о четырех квадратах в теории чисел , которая утверждает, что каждое неотрицательное целое число является суммой четырех целых квадратов. Помимо того, что сама по себе элегантная теорема, теорема Лагранжа о четырех квадратах имеет полезные приложения в областях математики за пределами теории чисел, таких как комбинаторная теория проектирования . Доказательство на основе кватернионов использует кватернионы Гурвица, подкольцо кольца всех кватернионов, для которого существует аналог алгоритма Евклида .
Кватернионы как пары комплексных чисел
Кватернионы можно представить как пары комплексных чисел. С этой точки зрения кватернионы являются результатом применения конструкции Кэли – Диксона к комплексным числам. Это обобщение построения комплексных чисел как пар действительных чисел.
Позволять - двумерное векторное пространство над комплексными числами. Выбираем базис, состоящий из двух элементов 1 и j . Вектор вв терминах базисных элементов 1 и j можно записать как
Если мы определим j 2 = −1 и i j = - j i , то мы можем перемножить два вектора, используя закон распределения. Использование k в качестве сокращенного обозначения продукта i j приводит к тем же правилам умножения, что и обычные кватернионы. Следовательно, приведенный выше вектор комплексных чисел соответствует кватерниону a + bi + c j + d k . Если мы напишем элементы как упорядоченные пары и кватернионы как четверки, то соответствие
Квадратные корни
Квадратные корни из −1
В комплексных числах есть только два числа, i и - i , квадрат которых равен −1. Всуществует бесконечно много квадратных корней из минус единицы: решение кватерниона для квадратного корня из −1 является единичной сферой вЧтобы убедиться в этом, пусть q = a + b i + c j + d k - кватернион, и предположим, что его квадрат равен −1. В терминах a , b , c и d это означает
Чтобы удовлетворить последним трем уравнениям, либо a = 0, либо b , c и d равны 0. Последнее невозможно, потому что a - действительное число, а первое уравнение означало бы, что a 2 = −1 . Следовательно, a = 0 и b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Другими словами: кватернион возводится в квадрат до −1 тогда и только тогда, когда он является векторным кватернионом с нормой 1. По определению, множество всех таких векторов образует единичную сферу.
Только отрицательные действительные кватернионы имеют бесконечно много квадратных корней. У всех остальных их всего два (или один в случае 0). [ необходима цитата ] [d]
Как союз сложных плоскостей
Каждая пара квадратных корней из -1 создает отдельную копию комплексных чисел внутри кватернионов. Если q 2 = −1 , то копия определяется функцией
На языке абстрактной алгебры , каждый из них является инъективны кольцо гомоморфизм из к . Образы вложений, соответствующих q и - q , идентичны.
Каждый нереальный кватернион порождает подалгебру кватернионов, изоморфную и, таким образом, является плоским подпространством в запишите q как сумму его скалярной части и его векторной части:
Далее разложите векторную часть как произведение ее нормы и ее версора :
(Обратите внимание, что это не то же самое, что .) Версор векторной части q ,, является правым версором с квадратом –1. Прямая проверка показывает, что
определяет инъективный гомоморфизм из нормированных алгебр изв кватернионы. При этом гомоморфизме q - образ комплексного числа.
В виде является объединением образов всех этих гомоморфизмов, это позволяет рассматривать кватернионы как объединение комплексных плоскостей, пересекающихся на вещественной прямой . Каждая из этих комплексных плоскостей содержит ровно одну пару противоположных точек сферы квадратных корней из минус единицы.
Коммутативные подкольца
Отношения кватернионов друг с другом в сложных подплосках также могут быть идентифицированы и выражены в терминах коммутативных подколец . В частности, поскольку два кватерниона p и q коммутируют (т. Е. Pq = qp ), только если они лежат в одной и той же комплексной подплоскости, профиль как объединение комплексных плоскостей возникает, когда кто-то пытается найти все коммутативные подкольца кватернионного кольца .
Квадратные корни из произвольных кватернионов
Любой кватернион (представлен здесь в скалярно-векторном представлении) имеет по крайней мере один квадратный корень который решает уравнение . Рассмотрение скалярной и векторной частей в этом уравнении по отдельности дает два уравнения, решение которых дает решения
где это норма а также это норма . Для любого скалярного кватерниона, это уравнение дает правильные квадратные корни, если интерпретируется как произвольный единичный вектор.
Следовательно, ненулевые, нескалярные кватернионы или положительные скалярные кватернионы имеют ровно два корня, в то время как 0 имеет ровно один корень (0), а отрицательные скалярные кватернионы имеют бесконечно много корней, которые являются векторными кватернионами, расположенными на , т.е. где скалярная часть равна нулю, а векторная часть расположена на двумерной сфере с радиусом.
Функции кватернионной переменной
Подобно функциям комплексной переменной , функции кватернионной переменной предлагают полезные физические модели. Например, исходные электрические и магнитные поля, описанные Максвеллом, были функциями кватернионной переменной. Примеры других функций включают расширение множества Мандельброта и множеств Жюлиа в 4-мерное пространство. [37]
Экспоненциальная, логарифмическая и степенная функции
Учитывая кватернион,
экспонента вычисляется как [38]
а логарифм равен [38]
Отсюда следует, что полярное разложение кватерниона можно записать
где угол [e]
и единичный вектор определяется:
Любой кватернион единицы может быть выражен в полярной форме как:
- .
Мощности кватерниона , возведенной в произвольной (реальный) показатель х определяется по формуле:
Геодезическая норма
Геодезическое расстояние d г ( р , д ) между единичным кватернионами р и ц определяются следующим образом:
- [40]
и составляет по абсолютной величине половины угла, р и д вдоль большой дуги из S 3 сферы. Этот угол также можно вычислить из кватернионного скалярного произведения без логарифма как:
Трехмерные и четырехмерные группы вращения
Слово « сопряжение », помимо значения, данного выше, может также означать преобразование элемента a в r a r -1, где r - некоторый ненулевой кватернион. Все элементы, которые сопряжены с данным элементом (в этом смысле слова сопряженные), имеют одинаковую действительную часть и одинаковую норму векторной части. (Таким образом, сопряженное в другом смысле является одним из сопряженных в этом смысле.)
Таким образом, мультипликативная группа ненулевых кватернионов действует сопряжением на копии состоящий из кватернионов с вещественной частью, равной нулю. Сопряжение единичного кватерниона (кватерниона с абсолютным значением 1) с действительной частью cos ( φ ) представляет собой поворот на угол 2 φ , ось вращения является направлением векторной части. Преимущества кватернионов:
- Как избежать блокировки кардана , проблема с такими системами, как углы Эйлера.
- Быстрее и компактнее матриц .
- Неособое представление (например, по сравнению с углами Эйлера).
- Пары единичных кватернионов представляют вращение в четырехмерном пространстве (см. Вращения в четырехмерном евклидовом пространстве: Алгебра четырехмерных вращений ).
Множество всех единичных кватернионов ( версоров ) образует 3-сферу S 3 и группу ( группу Ли ) при умножении, дважды покрывая группу SO (3, ℝ) вещественных ортогональных матриц размера 3 × 3 с определителем 1, поскольку две единичные кватернионы соответствуют каждому вращению при указанном выше соответствии. Посмотрите на трюк с тарелкой .
Образ подгруппы версоров является точечной группой , и, наоборот, прообраз точечной группы является подгруппой версоров. Прообраз конечной точечной группы называется тем же именем с префиксом binary . Например, прообраз группы икосаэдра является бинарная группа икосаэдра .
Группа версоров изоморфна SU (2) , группе комплексных унитарных матриц 2 × 2 с определителем 1.
Пусть A будет набором кватернионов вида a + b i + c j + d k, где a, b, c и d либо все целые числа, либо все полуцелые числа . Множество A является кольцом (фактически областью ) и решеткой и называется кольцом кватернионов Гурвица. В этом кольце 24 единичных кватерниона, и они являются вершинами правильной 24 клетки с символом Шлефли {3,4,3}. Они соответствуют двойной крышке вращательной группы симметрии правильного тетраэдра . Точно так же вершины правильной клетки 600 с символом Шлефли {3,3,5} могут быть взяты как единичные икозианы , соответствующие двойному покрытию группы вращательной симметрии правильного икосаэдра . Двойная крышка вращательной группы симметрии правильного октаэдра соответствует кватернионам, которые представляют вершины дисфеноидальной 288-ячейки .
Кватернионные алгебры
Кватернионы могут быть обобщены на другие алгебры, называемые алгебрами кватернионов . Пусть F - любое поле с характеристикой, отличной от 2, а a и b - элементы F ; четырехмерный унитарная ассоциативная алгебра может быть определена над F с базисом 1, я , J , и Ij , где я 2 = , J 2 = Ь и IJ = - джи (так (Ij) 2 = - AB ).
Алгебры кватернионов изоморфны алгебре матриц 2 × 2 над F или образуют алгебры с делением над F , в зависимости от выбора a и b .
Кватернионы как четная часть Cl 3,0 (ℝ)
Полезность кватернионов для геометрических вычислений может быть обобщена на другие измерения, идентифицировав кватернионы как четную часть. алгебры Клиффорда Это ассоциативная многовекторная алгебра, построенная из фундаментальных базисных элементов σ 1 , σ 2 , σ 3 с использованием правил произведения
Если взять эти фундаментальные базисные элементы для представления векторов в трехмерном пространстве, то окажется, что отражение вектора r в плоскости, перпендикулярной единичному вектору w, можно записать:
Два отражения поворачиваются на угол, в два раза превышающий угол между двумя плоскостями отражения, поэтому
соответствует повороту на 180 ° в плоскости, содержащей σ 1 и σ 2 . Это очень похоже на соответствующую формулу кватерниона,
На самом деле они идентичны, если мы проведем идентификацию
и несложно подтвердить, что это сохраняет соотношения Гамильтона
На этом рисунке так называемые «векторные кватернионы» (то есть чисто воображаемые кватернионы) соответствуют не векторам, а бивекторам - величинам, величина и ориентация которых связаны с конкретными 2D- плоскостями, а не с одномерными направлениями . Связь с комплексными числами также становится более ясной: в 2D, с двумя направлениями вектора σ 1 и σ 2 , есть только один бивекторный базисный элемент σ 1 σ 2 , поэтому только один мнимый. Но в 3D с тремя векторными направлениями есть три бивекторных базисных элемента σ 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 , так что три воображаемых.
Это рассуждение распространяется дальше. В алгебре Клиффордаимеется шесть бивекторных базисных элементов, поскольку с четырьмя различными направлениями базовых векторов можно определить шесть разных пар и, следовательно, шесть различных линейно независимых плоскостей. Вращения в таких пространствах с использованием этих обобщений кватернионов, называемых роторами , могут быть очень полезны для приложений, включающих однородные координаты . Но только в 3D количество базисных бивекторов равно количеству базисных векторов, и каждый бивектор может быть идентифицирован как псевдовектор .
Размещение кватернионов в этом более широком контексте дает несколько преимуществ: [41]
- Роторы являются естественной частью геометрической алгебры и легко понимаются как кодирование двойного отражения.
- В геометрической алгебре ротор и объекты, на которые он действует, живут в одном пространстве. Это устраняет необходимость изменять представления и кодировать новые структуры данных и методы, что традиционно требуется при дополнении линейной алгебры кватернионами.
- Роторы универсально применимы к любому элементу алгебры, не только к векторам и другим кватернионам, но также к линиям, плоскостям, окружностям, сферам, лучам и так далее.
- В конформной модели евклидовой геометрии роторы позволяют кодировать вращение, перемещение и масштабирование в одном элементе алгебры, универсально воздействуя на любой элемент. В частности, это означает, что роторы могут представлять вращение вокруг произвольной оси, тогда как кватернионы ограничены осью, проходящей через начало координат.
- Преобразования, кодируемые ротором, делают интерполяцию особенно простой.
- Роторы естественно переносятся псевдоевклидовыми пространств , к примеру, пространство Минковского в специальной теории относительности . В таких пространствах роторы могут использоваться для эффективного представления повышения Лоренца и для интерпретации формул, включающих гамма-матрицы .
Дополнительные сведения о геометрическом использовании алгебр Клиффорда см. В разделе Геометрическая алгебра .
Группа Брауэра
Кватернионы являются «по существу» единственной (нетривиальной) центральной простой алгеброй (CSA) над действительными числами в том смысле, что каждая CSA над действительными числами является эквивалентом Брауэра либо действительным числам, либо кватернионам. Явно группа Брауэра действительных чисел состоит из двух классов, представленных действительными числами и кватернионами, где группа Брауэра представляет собой набор всех CSA, вплоть до отношения эквивалентности одного CSA, являющегося матричным кольцом над другим. Согласно теореме Артина – Веддерберна (в частности, части Веддерберна), все CSA - это матричные алгебры над алгеброй с делением, и, таким образом, кватернионы являются единственной нетривиальной алгеброй с делением над действительными числами.
CSA - кольца над полем, которые являются простыми алгебрами (не имеют нетривиальных двусторонних идеалов, как и в случае с полями), центром которых является в точности поле, - являются некоммутативным аналогом полей расширений и являются более ограничительными, чем общие расширения колец. . Тот факт, что кватернионы являются единственным нетривиальным CSA над действительными числами (с точностью до эквивалентности), можно сравнить с тем фактом, что комплексные числа являются единственным нетривиальным расширением поля действительных чисел.
Котировки
Я рассматриваю это как неэлегантность или несовершенство в кватернионах, или, скорее, в том состоянии, в котором оно было до сих пор развернуто, всякий раз, когда становится или кажется необходимым прибегнуть к помощи x, y, z и т. Д.
- Уильям Роуэн Гамильтон [42]
Говорят, что время имеет только одно измерение, а пространство - три измерения. ... Математический кватернион состоит из обоих этих элементов; на техническом языке это можно назвать «время плюс пространство» или «пространство плюс время»: и в этом смысле оно имеет или, по крайней мере, включает ссылку на четыре измерения. И как опоясан Один Времени, Три Пространства, Могут быть в Цепи Символов .
- Уильям Роуэн Гамильтон [43] [ требуется полная ссылка ]
Кватернионы пришли от Гамильтона после того, как он проделал действительно хорошую работу; и, хотя они были прекрасны и изобретательны, они были несмешанным злом для тех, кто хоть как-то прикоснулся к ним, включая Клерка Максвелла .
- У. Томпсон, лорд Кельвин (1892) [ необходима цитата ]
Позже я пришел к выводу, что с точки зрения векторного анализа, который мне требовался, кватернион не только не требовался, но и был положительным злом немалой величины; и что благодаря его избеганию создание векторного анализа стало довольно простым, и его работа также была упрощена, и что его можно было удобно согласовать с обычной декартовой работой.
- Оливер Хевисайд (1893) [44]
Ни матрицы, ни кватернионы, ни обычные векторы не были исключены из этих десяти [дополнительных] глав. Ибо, несмотря на неоспоримую мощь современного тензорного исчисления, эти старые математические языки, на мой взгляд, продолжают предлагать заметные преимущества в ограниченной области специальной теории относительности. Более того, как в науке, так и в повседневной жизни, владение более чем одним языком также ценно, поскольку оно расширяет наши взгляды, способствует критике и защищает от ипостаси [слабого основания] высказываемого вопроса. словами или математическими символами.
- Людвик Зильберштейн (1924) [45] [ требуется полная ссылка ]
... кватернионы, кажется, источают атмосферу упадка девятнадцатого века как довольно неудачный вид в борьбе за жизнь математических идей. По общему признанию, математики все еще хранят в своих сердцах теплое место из-за замечательных алгебраических свойств кватернионов, но, увы, такой энтузиазм мало что значит для упрямого физика.
- Саймон Л. Альтманн (1986) [46]
Смотрите также
- Преобразование между кватернионами и углами Эйлера
- Двойной кватернион
- Двойное комплексное число
- Внешняя алгебра
- Порядок кватерниона Гурвица
- Гиперболический кватернион
- Ленарт сфера
- Матрицы Паули
- Кватернионная матрица
- Кватернионный многогранник
- Кватернионное проективное пространство
- Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве
- Slerp
- Сплит-кватернион
- Тессеракт
Заметки
- ^ Более личный взгляд на кватернионы был написан Иоахимом Ламбеком в 1995 году. Он написал в своем эссе « Если бы Гамильтон победил: кватернионы в физике» : «Мой собственный интерес как аспиранта был вызван вдохновляющей книгой Зильберштейна». В заключение он заявил: «Я твердо верю, что кватернионы могут помочь чистым математикам, желающим ознакомиться с некоторыми аспектами теоретической физики». Ламбек, Дж. (1995). «Если бы Гамильтон победил: кватернионы в физике». Математика. Интеллигенсер . Vol. 17 нет. 4. С. 7–15. DOI : 10.1007 / BF03024783 .
- ^ Важно отметить, что векторная часть кватерниона на самом деле является «осевым» вектором или « псевдовектором », а не обычным или «полярным» вектором, как было формально доказано Альтманном (1986). [27] Полярный вектор может быть представлен в вычислениях (например, для вращения с помощью кватернионного «преобразования подобия») чисто воображаемым кватернионом без потери информации, но эти два понятия не следует путать. Ось «бинарного» (180 °) кватерниона вращения соответствует направлению представленного полярного вектора в таком случае.
- ^ Для сравнения, реальные числа имеют размерность 1, комплексные числа имеют размерность 2, а октонионы иметь размер 8.
- ^ Определение квадратных корней из минус единицы вбыло дано Гамильтоном [36], но часто опускалось в других текстах. К 1971 году сфера была включена Сэмом Перлисом в его трехстраничную экспозицию, включенную в « Исторические темы алгебры» (стр. 39), опубликованные Национальным советом учителей математики . Совсем недавно сфера квадратных корней из минус единицы описана в книге Яна Р. Портеуса « Алгебры Клиффорда и классические группы» (Кембридж, 1995) в предложении 8.13 на стр. 60.
- ^ Книги по прикладной математике, такие как Corke (2017) [39], часто используют другие обозначения с φ : = 1/2θ - то есть другая переменная θ = 2 φ .
Рекомендации
- ^ «О кватернионах; или о новой системе воображаемых в алгебре». Письмо Джону Т. Грейвсу . 17 октября 1843 г.
- ^ Розенфельд, Борис Абрамович (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства . Springer. п. 385. ISBN 9780387964584.
- ^ Гамильтон . Ходжес и Смит. 1853. с. 60 .
кватернион факторные линии трехмерное пространство время
- ^ Hardy 1881 . Джинн, Хит и др. 1881. с. 32. ISBN 9781429701860.
- ^ Кунце, Карстен; Шебен, Гельмут (ноябрь 2004 г.). «Распределение кватернионов Бингама и его сферическое преобразование радона в текстурном анализе». Математическая геология . 36 (8): 917–943. DOI : 10,1023 / Б: MATG.0000048799.56445.59 . S2CID 55009081 .
- ^ Смит, Фрэнк (Тони). "Почему не седенион?" . Проверено 8 июня 2018 .
- ^ a b c См. Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004 , p. 12
- Перейти ↑ Conway & Smith 2003 , p. 9
- ^ Брэдли, Роберт Э .; Сандифер, Чарльз Эдвард (2007). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . п. 193. ISBN. 978-0-444-52728-8.. Они упоминают заявление Вильгельма Блашке в 1959 году о том, что «кватернионы были впервые идентифицированы Л. Эйлером в письме к Гольдбаху, написанному 4 мая 1748 года», и комментируют, что «нет никакого смысла говорить, что Эйлер« идентифицировал » кватернионы в этом письме ... это утверждение абсурдно ".
- ^ Альтманн, Саймон Л. (декабрь 1989 г.). «Гамильтон, Родригес и скандал с кватернионом». Математический журнал . 62 (5): 306. DOI : 10,2307 / 2689481 . JSTOR 2689481 .
- ^ Гаусс, CF (1900). «Mutationen des Raumes [Преобразования пространства] (около 1819 г.)». В Мартине Бренделе (ред.). Карл Фридрих Гаусс Верке [ Работы Карла Фридриха Гаусса ]. 8 . статья отредактирована профессором Штекелем из Киля, Германия. Геттинген, Германия: Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften [Королевское общество наук]. С. 357–361.
- ^ а б Гамильтон, WR (1844). "Письмо". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Vol. xxv. С. 489–495.
- ^ Гамильтон, сэр WR (1866). Гамильтон, мы (ред.). Элементы кватернионов . Лондон, Великобритания: Longmans, Green, & Co.
- ^ https://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_03_10.html
- ^ а б Шумейк, Кен (1985). «Анимация вращения с помощью кватернионных кривых» (PDF) . Компьютерная графика . 19 (3): 245–254. DOI : 10.1145 / 325165.325242 .Представлен на SIGGRAPH '85.
- ^ Tomb Raider (1996) часто называют первой компьютерной игрой для массового рынка, в которой кватернионы использовались для достижения плавного трехмерного вращения. См. Например Ник Бобик (июль 1998 г.). «Вращение объектов с помощью кватернионов» . Разработчик игр .
- ^ Маккарти, Дж. М. (1990). Введение в теоретическую кинематику . MIT Press. ISBN 978-0-262-13252-7.
- ^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Оу, LS (2004). «Попарное выравнивание последовательности ДНК с использованием представления гиперкомплексного числа». Вестник математической биологии . 66 (5): 1423–1438. arXiv : 1403.2658 . DOI : 10.1016 / j.bulm.2004.01.005 . PMID 15294431 . S2CID 27156563 .
- ^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Ли Ю. (2010). «Гиперкомплексная кросс-корреляция последовательностей ДНК». Журнал биологических систем . 18 (4): 711–725. arXiv : 1402,5341 . DOI : 10.1142 / S0218339010003470 . S2CID 5395916 .
- ^ Гурвица, А. (1919), Vorlesungen über умереть Zahlentheorie дер Quaternionen , Берлин: Дж Шпрингер, СУЛ 47.0106.01, относительно кватернионов Гурвица
- ^ Жирар, PR (1984). «Группа кватернионов и современная физика». Европейский журнал физики . 5 (1): 25–32. Bibcode : 1984EJPh .... 5 ... 25G . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 5/1/007 .
- ^ Жирар, Патрик Р. (1999). «Уравнения Эйнштейна и алгебра Клиффорда» (PDF) . Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда . 9 (2): 225–230. DOI : 10.1007 / BF03042377 . S2CID 122211720 . Архивировано из оригинального (PDF) 17 декабря 2010 года.
- ^ Уэрта, Джон (27 сентября 2010 г.). "Знакомство с кватернионами" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 21.10.2014 . Проверено 8 июня 2018 .
- ^ Вуд, Чарли (6 сентября 2018 г.). «Странные числа, породившие современную алгебру» . Блог абстракций . Журнал Quanta.
- ^ Eves (1976 , стр. 391)
- ^ «Математика - Преобразования с использованием кватернионов» . Евклидово пространство .
Вращение q1 с последующим вращением q2 эквивалентно одному вращению q2 q1 . Обратите внимание на изменение порядка, то есть мы помещаем первое вращение в правую часть умножения.
- ^ Альтман, SL Вращения, кватернионы и двойные группы . Гл. 12.
- ^ Гамильтон, сэр Уильям Роуэн (1866). «Статья 285». Элементы кватернионов . Longmans, Green, & Company. п. 310 .
- ^ Харди (1881). «Элементы кватернионов» . Наука . library.cornell.edu. 2 (75): 65. DOI : 10.1126 / science.os-2.75.564 . PMID 17819877 .
- ^ «группа кватернионов» . Wolframalpha.com .
- ^ Гиббс, Дж. Уиллард; Уилсон, Эдвин Бидвелл (1901). Векторный анализ . Издательство Йельского университета. п. 428 .
правый тензорный диадик
- ^ а б Гамильтон, WR (1844–1850). «О кватернионах или новой системе воображаемых в алгебре» . Коллекция Дэвида Р. Уилкинса. Философский журнал . Тринити-колледж, Дублин .
- ^ «Визуализация кватернионов» . Морган-Кауфманн / Эльзевир. 2005 г.
- ^ «[название не указано; определяющая оценка]» . Wolframalpha.com .
- ^ Farebrother, Ричард Уильям; Грос, Юрген; Трошке, Свен-Оливер (2003). «Матричное представление кватернионов» . Линейная алгебра и ее приложения . 362 : 251–255. DOI : 10.1016 / s0024-3795 (02) 00535-9 .
- ^ Гамильтон, WR (1899). Элементы кватернионов (2-е изд.). п. 244. ISBN 1-108-00171-8.
- ^ «[название не указано]» (PDF) . bridgesmathart.org . архив . Проверено 19 августа 2018 .
- ^ а б Сяркка, Симо (28 июня 2007 г.). «Заметки о кватернионах» (PDF) . Lce.hut.fi . Архивировано из оригинального (PDF) 5 июля 2017 года.
- ^ Корк, Питер (2017). Робототехника, зрение и управление - фундаментальные алгоритмы в MATLAB® . Springer . ISBN 978-3-319-54413-7.
- ^ Парк, ФК; Равани, Бахрам (1997). «Плавная инвариантная интерполяция вращений». ACM-транзакции на графике . 16 (3): 277–295. DOI : 10.1145 / 256157.256160 . S2CID 6192031 .
- ^ «Кватернионы и геометрическая алгебра» . geometricalgebra.net . Проверено 12 сентября 2008 . Смотрите также: Дорст, Лео; Фонтийне, Даниэль; Манн, Стивен (2007). Геометрическая алгебра для компьютерных наук . Морган Кауфманн . ISBN 978-0-12-369465-2.
- ↑ Цитата из письма Тэйта Кэли. [ необходима цитата ]
- ^ Graves, RP Жизнь сэра Уильяма Роуэна Гамильтона .
- ^ Хевисайд, Оливер (1893). Электромагнитная теория . Я . Лондон, Великобритания: Издательско-полиграфическая компания «Электрик». С. 134–135.
- ^ Людвик Зильберштейн (1924). Заметки о подготовке второго издания его теории относительности .
- ^ Альтманн, Саймон Л. (1986). Вращения, кватернионы и двойные группы . Кларендон Пресс. ISBN 0-19-855372-2. LCCN 85013615 .
дальнейшее чтение
Книги и публикации
- Гамильтон, Уильям Роуэн (1844). «О кватернионах, или о новой системе воображаемых в алгебре» . Философский журнал . 25 (3): 489–495. DOI : 10.1080 / 14786444408645047 .*
- Гамильтон, Уильям Роуэн (1853 г.), « Лекции по кватернионам ». Королевская ирландская академия.
- Гамильтон (1866) Элементы Quaternions University of Dublin Press. Отредактировал Уильям Эдвин Гамильтон, сын покойного автора.
- Гамильтон (1899) Элементы кватернионов, том I, (1901), том II. Отредактированный Чарльзом Джаспером Джоли ; опубликованные Longmans, Green & Co. .
- Тейт, Питер Гатри (1873 г.), « Элементарный трактат о кватернионах ». 2-е изд., Кембридж, [англ.]: The University Press.
- Максвелл, Джеймс Клерк (1873 г.), « Трактат об электричестве и магнетизме ». Кларендон Пресс, Оксфорд.
- Тейт, Питер Гатри (1886), "«Архивная копия» . Архивировано 8 августа 2014 года . Проверено 26 июня 2005 года .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка ) CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )". MA Sec. RSE Encyclopædia Britannica , Девятое издание, 1886 г., том XX, стр. 160–164. (Файл PostScript в формате bzip )
- Джоли, Чарльз Джаспер (1905). Руководство кватернионов . Макмиллан. LCCN 05036137 .
- Макфарлейн, Александр (1906). Векторный анализ и кватернионы (4-е изд.). Вайли. LCCN 16000048 .
- Чисхолм, Хью, изд. (1911). . Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета.( См. Раздел о кватернионах. )
- Финкельштейн, Дэвид; Jauch, Josef M .; Шиминович, Самуил; Speiser, Дэвид (1962). «Основы квантовой механики кватернионов». J. Math. Phys . 3 (2): 207–220. DOI : 10.1063 / 1.1703794 .
- Дю Валь, Патрик (1964). Гомографии, кватернионы и вращения . Оксфордские математические монографии. Кларендон Пресс. LCCN 64056979 .
- Кроу, Майкл Дж. (1967), История векторного анализа : эволюция идеи векторной системы , University of Notre Dame Press. Обзор основных и второстепенных векторных систем XIX века (Гамильтон, Мебиус, Беллавитис, Клиффорд, Грассманн, Тейт, Пирс, Максвелл, Макфарлейн, Маколи, Гиббс, Хевисайд).
- Альтманн, Саймон Л. (1989). «Гамильтон, Родригес и скандал с кватернионом». Математический журнал . 62 (5): 291–308. DOI : 10.1080 / 0025570X.1989.11977459 .
- Адлер, Стивен Л. (1995). Кватернионная квантовая механика и квантовые поля . Международная серия монографий по физике. 88 . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-506643-X. LCCN 94006306 .
- Уорд, JP (1997). Кватернионы и числа Кэли: алгебра и приложения . Kluwer Academic. ISBN 0-7923-4513-4.
- Кантор, Иллинойс; Солодников, А.С. (1989). Гиперкомплексные числа, элементарное введение в алгебры . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96980-2.
- Гюрлебек, Клаус; Sprössig, Вольфганг (1997). Кватернионное исчисление и исчисление Клиффорда для физиков и инженеров . Математические методы на практике. 1 . Вайли. ISBN 0-471-96200-7. LCCN 98169958 .
- Койперс, Джек (2002). Кватернионы и последовательности вращения: учебник по применению к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности . Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-10298-8.
- Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . А.К. Петерс. ISBN 1-56881-134-9.( обзор ).
- Джек, PM (2003). «Физическое пространство как кватернионная структура, I: уравнения Максвелла. Краткое примечание». arXiv : math-ph / 0307038 .
- Кравченко, Владислав (2003). Прикладной кватернионный анализ . Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-228-8.
- Hazewinkel, Michiel ; Губарени, Надия; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . 1 . Springer. ISBN 1-4020-2690-0.
- Хэнсон, Эндрю Дж. (2006). Визуализация кватернионов . Эльзевир. ISBN 0-12-088400-3.
- Бинц, Эрнст; Стручки, Соня (2008). «1. Тело кватернионов». Геометрия групп Гейзенберга . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4495-3.
- Доран, Крис JL ; Ласенби, Энтони Н. (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-48022-2.
- Винс, Джон А. (2008). Геометрическая алгебра для компьютерной графики . Springer. ISBN 978-1-84628-996-5.
- Для молекул, которые можно рассматривать как классические твердые тела, при компьютерном моделировании молекулярной динамики используются кватернионы. Впервые они были введены для этой цели Эванс, DJ (1977). «О представлении ориентационного пространства». Мол. Phys . 34 (2): 317–325. DOI : 10.1080 / 00268977700101751 .
- Чжан, Фучжэнь (1997). «Кватернионы и матрицы кватернионов» . Линейная алгебра и ее приложения . 251 : 21–57. DOI : 10.1016 / 0024-3795 (95) 00543-9 .
- Рон Голдман (2010). Переосмысление кватернионов: теория и вычисления . Морган и Клейпул. ISBN 978-1-60845-420-4.
- Ив, Ховард (1976), Введение в историю математики (4-е изд.), Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , ISBN 0-03-089539-1
Ссылки и монографии
- «Уведомления Quaternion» . Уведомления и материалы, относящиеся к презентациям на конференции Quaternion
- "Quaternion" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- «Часто задаваемые вопросы» . Матрица и кватернион . 1.21.
- Sweetser, Дуг. «Выполнение физики с кватернионами» .
- Кватернионы для компьютерной графики и механики (Гернот Хоффман)
- Гспонер, Андре; Хурни, Жан-Пьер (2002). "Физическое наследие сэра В. Р. Гамильтона". arXiv : math-ph / 0201058 .
- Уилкинс, Д.Р. "Исследование кватернионов Гамильтоном" .
- Гроссман, Дэвид Дж. «Quaternion Julia Fractals» .] Кватернион Джулия Фракталы с трассировкой лучей в 3D
- «Кватернионная математика и преобразования» . Отличная страница, объясняющая основы математики со ссылками на прямые формулы преобразования вращения.
- Мэтьюз, Джон Х. «Библиография кватернионов» . Архивировано из оригинала на 2006-09-02.
- «Кватернионные силы» . GameDev.net.
- Хэнсон, Эндрю. «Визуализация домашней страницы Quaternions» . Архивировано из оригинала на 2006-11-05.
- Карни, Чарльз Ф.Ф. (январь 2007 г.). «Кватернионы в молекулярном моделировании». J. Mol. График. Мод . 25 (5): 595–604. arXiv : физика / 0506177 . DOI : 10.1016 / j.jmgm.2006.04.002 . PMID 16777449 . S2CID 6690718 .
- Мебиус, Йохан Э. (2005). «Матричное доказательство теоремы о представлении кватернионов для четырехмерных вращений». arXiv : math / 0501249 .
- Мебиус, Йохан Э. (2007). «Вывод формулы Эйлера – Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений». arXiv : math / 0701759 .
- «Гамильтонская прогулка» . Департамент математики, NUI Maynooth .
- «Использование кватернионов для представления вращения» . OpenGL: Учебники . Архивировано из оригинала на 2007-12-15.
- Дэвид Эриксон, Министерство оборонных исследований и разработок Канады (DRDC), Полный вывод матрицы вращения из унитарного представления кватернионов в статье DRDC TR 2005-228.
- Мартинес, Альберто. «Отрицательная математика, как математические правила могут быть положительно согнуты» . Исторический факультет Техасского университета. Архивировано из оригинала на 2011-09-24.
- Штальке, Д. "Кватернионы в классической механике" (PDF) .
- Морье-Жену, Софи; Овсиенко, Валентин (2008). «Ну что, папа, тройняшек умножить можно?». arXiv : 0810.5562 [ math.AC ].описывает, как кватернионы могут быть преобразованы в косо-коммутативную алгебру, градуированную Z / 2 × Z / 2 × Z / 2 .
- Джойс, Хелен (ноябрь 2004 г.). «Любопытные кватернионы» . организованный Джоном Баэзом .
- Ибанез, Луис. «Учебник по кватернионам. Часть I» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 04 февраля 2012 года . Проверено 5 декабря 2011 . Часть II (PDF; с использованием терминологии Гамильтона, которая отличается от современной)
- Ghiloni, R .; Моретти, В .; Перотти, А. (2013). «Непрерывное срезное функциональное исчисление в кватернионных гильбертовых пространствах». Rev. Math. Phys . 25 (4): 1350006–126. arXiv : 1207.0666 . Bibcode : 2013RvMaP..2550006G . DOI : 10.1142 / S0129055X13500062 . S2CID 119651315 .
Ghiloni, R .; Моретти, В .; Перотти, А. (2017). «Спектральные представления нормальных операторов с помощью переплетающихся кватернионных проекционно-значимых мер». Rev. Math. Phys . 29 : 1750034. arXiv : 1602.02661 . DOI : 10.1142 / S0129055X17500349 . две пояснительные статьи о непрерывном функциональном исчислении и спектральной теории в квантернионных гильбертовых пространствах, полезные в строгой кватернионной квантовой механике. - Quaternions в приложении Android показывает кватернион, соответствующий ориентации устройства.
- Статья « Вращение объектов с использованием кватернионов», в которой рассказывается об использовании кватернионов для вращения в видеоиграх / компьютерной графике.
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с кватернионами на Викискладе?