В топологии , ветвь математики , втягивание является непрерывным отображением из топологического пространства в подпространство , которое сохраняет положение всех точек в этом подпространстве. [1] Подпространство тогда называется ретрактом исходного пространства. Отвод деформации - это отображение, которое отражает идею непрерывного сжатия пространства в подпространство.
Абсолютная окрестность отводной ( АНР ) является особенно хорошо себя тип топологического пространства. Например, каждое топологическое многообразие является ANR. Каждый ANR имеет гомотопический тип очень простого топологического пространства - комплекса CW .
Определения
Отозвать
Пусть X топологическое пространство и подпространство X . Тогда непрерывное отображение
является ретракцией , если ограничение на г к А является тождественным отображением на А ; это,для всех а в А . Эквивалентно, обозначая
включение , ретракция непрерывного отображения г такое , что
то есть, состав т с включением является единицей A . Следует отметить , что, по определению, втягивание отображает X на A . Подпространство называется отводной из X , если такой существует ретракции. Например, любое непустое пространство втягивается в точку очевидным образом (постоянная карта дает втягивание). Если Х является Хаусдорфово , то должно быть замкнутое подмножество из X .
Если является ретракция, то композиция ι∘ г представляет собой идемпотентное непрерывное отображение X в X . Наоборот, для любого идемпотентного непрерывного отображениямы получаем ретракцию на изображение s , ограничивая область значений .
Отвод деформации и отвод сильной деформации
Непрерывная карта
является деформационной ретракции из пространства X на подпространство А , если для каждого х в X и в A ,
Другими слова, деформация втягивание является Гомотопическим между втягиванием и тождественным отображением на X . Подпространство называется деформационным ретрактом из X . Деформационная ретракция - это частный случай гомотопической эквивалентности .
Отвод не обязательно должен быть отводом деформации. Так , например, имеющий единственную точку в качестве деформации ретракта пространства X будет означать , что Х является линейно связным (и в том , что Х является сжимаемым ).
Примечание: эквивалентное определение деформации втягивания следующее. Непрерывная картадеформация отвод , если он является ретракцией и ее состав с включением гомотопный тождественным отображения на X . В этой формулировке ретракция деформации несет в себе гомотопию между тождественным отображением на X и самим собой.
Если в определение ретракции деформации добавить требование, чтобы
для всех t в [0, 1] и a в A , то F называется сильным деформационным ретрактом . Другими словами, сильная ретракция деформации оставляет точки в A неподвижными на всей гомотопии. (Некоторые авторы, такие как Хэтчер , принимают это за определение ретракции деформации.)
Например, n- сфера сильный деформационный отвод в качестве ретракции сильной деформации можно выбрать карту
Отвод софибрации и деформации окрестности
Отображение топологических пространств f : A → X является (по Гуревичу ) кокослоением, если оно обладает свойством гомотопического продолжения для отображений в любое пространство. Это одно из центральных понятий теории гомотопии . Кослоение f всегда инъективно, фактически являясь гомеоморфизмом своего образа. [2] Если X отделимо (или компактно генерируемый слабое хаусдорфову пространство ), то изображение корасслоения F замкнуто в X .
Среди всех закрытых включений кофибрации можно охарактеризовать следующим образом. Включение замкнутого подпространства А в пространстве X является корасслоением тогда и только тогда , когда является окрестность деформационного ретрактом из X , а это означает , что существует непрерывное отображение с участием и гомотопия такой, что для всех для всех а также а также если . [3]
Например, включение подкомплекса в комплекс CW - это кофибрация.
Характеристики
- Одно из основных свойств отвода A из X (с отводом) состоит в том, что всякое непрерывное отображение имеет хотя бы одно расширение а именно .
- Деформационная ретракция - это частный случай гомотопической эквивалентности. Фактически, два пространства гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда они оба гомеоморфны деформационным ретрактам одного большего пространства.
- Любое топологическое пространство, которое деформация стягивается в точку, сжимаемо, и наоборот. Однако существуют стягиваемые пространства, которые не сильно деформируются, возвращаясь в точку. [4]
Теорема об отсутствии ретракции
Граница из п - мерного шара , то есть ( п -1) -сфера, не ретракт шара. (См. Теорему Брауэра о неподвижной точке § Доказательство с использованием гомологии .)
Абсолютный возврат по соседству (ANR)
Закрытое подмножество топологического пространства называется окрестностью отводной из если является ретрактом некоторого открытого подмножества это содержит .
Позволять - класс топологических пространств, замкнутых относительно гомеоморфизмов и перехода к замкнутым подмножествам. Вслед за Борсуком (с 1931 г.) пространствоназывается абсолютным ретрактом для класса, написано если в и когда замкнутое подмножество пространства в , это отказ от . Пространствоявляется ретрактом абсолютной окрестности класса, написано если в и когда замкнутое подмножество пространства в , это соседский ретракт .
Различные классы такие как нормальные пространства были рассмотрены в этом определении, но классиз метризуемых пространств было установлено, дают наиболее удовлетворительную теорию. По этой причине обозначения AR и ANR сами по себе используются в этой статье для обозначения а также . [5]
Метризуемое пространство является AR тогда и только тогда, когда оно стягиваемо и ANR. [6] По Дугунджи , каждое локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство является AR; вообще, каждое непустое выпуклое подмножество такого векторного пространстваэто AR. [7] Например, любое нормированное векторное пространство ( полное или неполное) является AR. Точнее, евклидово пространствоединичный куб и куб Гильберта являются АР.
ANR образуют замечательный класс топологических пространств с хорошим поведением . Среди их свойств:
- Каждое открытое подмножество ANR - это ANR.
- По Ханнеру , метризуемое пространство, открытое покрытие ANR, является ANR. [8] (То есть, быть ANR является локальным свойством для метризуемых пространств.) Отсюда следует, что каждое топологическое многообразие является ANR. Например, сфераявляется ANR, но не AR (потому что он не сокращается). В бесконечных измерениях теорема Ханнера означает, что каждое гильбертово кубическое многообразие, а также (довольно разные, например, не локально компактные ) гильбертовы многообразия и банаховы многообразия являются ANR.
- Каждый локально конечный комплекс CW является ANR. [9] Произвольный CW-комплекс не обязательно должен быть метризуемым, но каждый CW-комплекс имеет гомотопический тип ANR (который по определению метризуем). [10]
- Каждый ANR X является локально стягиваемым в том смысле, что для любой открытой окрестности точки в , есть открытый район из содержалась в так что включение гомотопно постоянному отображению . Конечномерны метрическое пространство является ANR тогда и только тогда , когда оно локально стягивает в этом смысле. [11] Например, множество Кантора - это компактное подмножество вещественной прямой, которое не является ANR, поскольку оно даже не локально связно .
- Контрпримеры: Борсук нашел компактное подмножество это ANR, но не ограничиваемый строго локально. [12] (Пространство строго локально стягиваемо, если каждая открытая окрестность каждой точки содержит стягиваемую открытую окрестность .) Борсук также нашел компактное подмножество гильбертова куба, которое является локально стягиваемым (как определено выше), но не является ANR. [13]
- Каждый ANR имеет гомотопический тип комплекса CW Уайтхеда и Милнора . [14] Более того, локально компактный ANR имеет гомотопический тип локально конечного CW-комплекса; и, по Уэсту, компактный ANR имеет гомотопический тип конечного CW-комплекса. [15] В этом смысле ANR избегают всех теоретико-гомотопических патологий произвольных топологических пространств. Например, теорема Уайтхеда верна для ANR: отображение ANR, которое индуцирует изоморфизм на гомотопических группах (для любого выбора базовой точки), является гомотопической эквивалентностью. Поскольку ANR включают топологические многообразия, гильбертовы кубические многообразия, банаховы многообразия и т. Д., Эти результаты применимы к большому классу пространств.
- Многие пространства отображения являются ANR. В частности, пусть Y быть НРУ с замкнутым подпространством А , который является ANR, и пусть Х любое компактное метрическое пространство с замкнутым подпространством B . Тогда пространствокарт пар (с компактно-открытой топологией на пространстве отображений ) является ANR. [16] Отсюда следует, например, что пространство петель любого CW-комплекса имеет гомотопический тип CW-комплекса.
- По Коти, метризуемое пространство является ANR тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество имеет гомотопический тип комплекса CW. [17]
- По Коти существует метрическое линейное пространство (имеется в виду топологическое векторное пространство с трансляционно-инвариантной метрикой), которое не является AR. Можно взятьбыть сепарабельным и F-пространством (т. е. полным метрическим линейным пространством). [18] (По теореме Дугунджи выше, не может быть локально выпуклым.) Поскольку является сокращаемым и не является AR, это также не ANR. По теореме Коти выше, имеет открытое подмножество который не является гомотопически эквивалентным комплексу CW. Таким образом, существует метризуемое пространствокоторый строго локально стягиваем, но не гомотопически эквивалентен CW комплексу. Неизвестно, должно ли компактное (или локально компактное) метризуемое пространство, которое является строго локально стягиваемым, быть ANR.
Заметки
- ↑ Борсук (1931).
- ^ Хэтчер (2002), Предложение 4H.1.
- ^ Puppe (1967), Satz 1.
- ^ Хэтчер (2002), упражнение 0.6.
- ^ Мардешич (1999), стр. 242.
- ^ Ху (1965), предложение II.7.2.
- ^ Ху (1965), следствие II.14.2 и теорема II.3.1.
- ^ Ху (1965), теорема III.8.1.
- ^ Мардешич (1999), стр. 245.
- ↑ Fritsch & Piccinini (1990), теорема 5.2.1.
- ^ Ху (1965), теорема V.7.1.
- ↑ Borsuk (1967), раздел IV.4.
- ^ Борсук (1967), теорема V.11.1.
- ↑ Fritsch & Piccinini (1990), теорема 5.2.1.
- ↑ West (2004), стр. 119.
- ^ Ху (1965), теорема VII.3.1 и замечание VII.2.3.
- ^ Cauty (1994), Фонд. Математика. 144: 11–22.
- ^ Cauty (1994), Фонд. Математика. 146: 85–99.
Рекомендации
- Борсук, Кароль (1931), "Sur les rétractes" , Fundamenta Mathematicae , 17 : 152–170, Zbl 0003.02701
- Борсук, Кароль (1967), Теория ретрактов , Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0216473
- Коти, Роберт (1994), "Une caractérisation des rétractes absolus de voisinage" , Fundamenta Mathematicae , 144 : 11–22, MR 1271475
- Коти, Роберт (1994), "Un espace métrique linéaire qui n'est pas un rétracte absolu" , Fundamenta Mathematicae , 146 : 85–99, MR 1305261
- Фрич, Рудольф; Пиччинини, Ренцо (1990), сотовые структуры в топологии , Cambridge University Press , ISBN 0-521-32784-9, Руководство по ремонту 1074175
- Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
- Ху, Сзе-Цен (1965), Теория ретрактов , Wayne State University Press, MR 0181977
- Мардешич, Сибе (1999), «Абсолютное соседство втягивается и теория формы», Джеймс, И.М. (редактор), История топологии , Амстердам: Северная Голландия , стр. 241–269, ISBN. 0-444-82375-1, Руководство по ремонту 1674915
- Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278
- Милнор, Джон (1959), "О пространствах , имеющих гомотопический тип CW-комплекс", Труды Американского математического общества , 90 : 272-280, DOI : 10,2307 / 1993204 , MR 0100267
- Puppe, Дитер (1967), "Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien", Archiv der Mathematik , 18 : 81–88, doi : 10.1007 / BF01899475 , MR 0206954
- Уэст, Джеймс (2004), «Абсолютное втягивание», в Hart, KP (ed.), Encyclopedia of General Topology , Amsterdam: Elsevier , ISBN 0-444-50355-2, Руководство по ремонту 2049453
Внешние ссылки
- Эта статья включает в себя материал из отзыва о PlanetMath из Neighborhood , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .