В геометрии , то 5-клетка является четырехмерной объект ограничен 5 тетраэдрических клеток . Он также известен как C 5 , pentachoron , [1] пентатопа , pentahedroid , [2] или четырехгранной пирамиды . Это 4- симплексный (синдром Кокстерамногогранник [3] ), простейший возможный выпуклый правильный 4-многогранник (четырехмерный аналог платонового тела ), аналогичен тетраэдру в трех измерениях и треугольнику в двух измерениях. Пентахорон представляет собой четырехмерную пирамиду с четырехгранным основанием.
Обычный 5-элементный (пентахорон) (4-симплексный) | |
---|---|
Тип | Выпуклый правильный 4-многогранник |
Символ Шлефли | {3,3,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | 5 {3,3} |
Лица | 10 {3} |
Края | 10 |
Вершины | 5 |
Фигура вершины | ( тетраэдр ) |
Многоугольник Петри | пятиугольник |
Группа Кокстера | А 4 , [3,3,3] |
Двойной | Самодвойственный |
Характеристики | выпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный |
Единый индекс | 1 |
Регулярные 5-клеток ограничена 5 правильных тетраэдров , и является одним из шести правильных выпуклых 4-многогранников , представленных символом Шлефли {3,3,3}.
5 ячеек - это решение проблемы: сделайте 10 равносторонних треугольников одинакового размера, используя 10 спичек, где каждая сторона каждого треугольника представляет собой ровно одну спичку. Не существует решения в трех измерениях.
Выпуклая оболочка 5-ячеечной и ее двойственной (при условии, что они конгруэнтны) - это 30- ячеечная дисфеноидальная оболочка , двойственная усеченной битовой 5-ячейке .
Альтернативные названия
- Пентахорон
- 4-симплексный
- Пентатоп
- Пентаэдроид (Генри Паркер Мэннинг)
- Пен (Джонатан Бауэрс: для пентахорон) [4]
- Гиперпирамида , тетраэдрическая пирамида
Геометрия
5-ячейка самодуальна , а ее вершина - тетраэдр. Его максимальное пересечение с трехмерным пространством - треугольная призма . Его двугранный угол составляет cos −1 (1/4), или примерно 75,52 °.
Как конфигурация
Эта матрица конфигурации представляет собой 5 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 5-ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрица этого самодвойственного многогранника идентична его повороту на 180 градусов. [5]
Строительство
5-ячейку можно построить из тетраэдра, добавив 5-ю вершину так, чтобы она была равноудалена от всех остальных вершин тетраэдра. (5-ячеечная - это четырехмерная пирамида с четырехгранным основанием и четырьмя четырехгранными сторонами.)
Самый простой набор координат: (2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (φ, φ, φ, φ) с длиной ребра 2 √ 2 , где φ - золотое сечение . [6]
В декартовы координаты вершин ориджин-центрированной регулярные 5-ячейку , имеющую длину ребра 2 и радиусом √ 1.6 являются:
Другой набор координат с центром в начале координат в 4-м пространстве можно рассматривать как гиперпирамиду с правильным тетраэдрическим основанием в 3-м пространстве, с длиной ребра 2 √ 2 и радиусом √ 3,2 :
Вершины 4-симплекса (с ребром √ 2 и радиусом 1) проще построить на гиперплоскости в 5-пространстве, как (различные) перестановки (0,0,0,0,1) или (0, 1,1,1,1); в этих положениях она является гранью из, соответственно, 5-orthoplex или выпрямленного penteract .
Спираль Бурдейка – Кокстера
5-ячейка может быть построена как спираль Бурдейка – Кокстера из пяти связанных тетраэдров, свернутых в 4-мерное кольцо. 10 треугольных граней можно увидеть в двумерной сети внутри треугольной мозаики , с 6 треугольниками вокруг каждой вершины, хотя складывание в 4-х мерное приводит к совпадению ребер. Пурпурные края представляют собой многоугольник Петри 5-ячейки.
Прогнозы
Плоскость Кокстера A 4 проецирует 5-элементную ячейку в правильный пятиугольник и пентаграмму .
К плоскости Косетер | А 4 | А 3 | А 2 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [5] | [4] | [3] |
Проекции в 3-х измерениях | |
---|---|
Каркас стереографической проекции (ребро проецируется на 3-сферу ) | Трехмерная проекция 5-ячеек, выполняющих простое вращение. |
Проекция в первую очередь вершины 5-ячейки в 3 измерениях имеет тетраэдрическую огибающую проекции. Ближайшая вершина 5-ячеек проецируется в центр тетраэдра, как показано здесь красным. Самая дальняя ячейка проецируется на саму тетраэдрическую оболочку, в то время как другие 4 ячейки проецируются на 4 сплющенные тетраэдрические области, окружающие центральную вершину. | Проекция с ребром 5-ячеек в 3 измерениях имеет треугольную дипирамидальную оболочку. Ближайший край (показанный здесь красным) проецируется на ось дипирамиды, а три окружающие его ячейки выступают в 3 тетраэдрических объема, расположенных вокруг этой оси под углом 120 градусов друг к другу. Оставшиеся 2 клетки выступают на две половины дипирамиды и находятся на дальней стороне пентатопа. |
Проекция лицом вперед 5-элементной клетки в 3 измерения также имеет треугольную дипирамидальную оболочку. Ближайшее лицо показано здесь красным. Две ячейки, которые встречаются на этой грани, проецируются на две половины дипирамиды. Остальные три ячейки находятся на дальней стороне пентатопа с точки зрения 4D и для наглядности взяты из изображения. Они расположены вокруг центральной оси дипирамиды, как и в проекции с ребром. | Проекция 5-ячеек в 3 измерения "первая ячейка" имеет тетраэдрическую оболочку. Ближайшая ячейка проецируется на всю оболочку и, с точки зрения 4D, закрывает другие 4 ячейки; следовательно, они здесь не отображаются. |
Нерегулярный 5-элементный
Есть много форм более низкой симметрии, в том числе те, которые встречаются в фигурах вершин однородных многогранников :
Симметрия | [3,3,3] Заказать 120 | [3,3,1] Заказ 24 | [3,2,1] Заказ 12 | [3,1,1] Заказ 6 | [5,2] + Заказ 10 |
---|---|---|---|---|---|
Имя | Обычная 5-ячеечная | Тетраэдрическая пирамида | Треугольно-пирамидальная пирамида | Пентагональный гипердисфеноид | |
Schläfli | {3,3,3} | {3,3} ∨ () | {3} ∨ {} | {3} ∨ () ∨ () | |
Пример фигуры вершины | 5-симплекс | Усеченный 5-симплексный | Bitruncated 5-симплексный | Cantitruncated 5-симплекс | Омнитусеченные 4-симплексные соты |
Четырехгранная пирамида является частным случаем 5-клетки , в многогранной пирамиды , построенной в качестве обычного тетраэдра основания в 3-пространстве гиперплоскость , и вершиной точки над гиперплоскости. Четыре стороны пирамиды состоят из ячеек тетраэдра.
Многие равномерные 5-многогранники имеют фигуры вершин тетраэдрической пирамиды :
Диаграмма Шлегеля | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Имя Коксетер | {} × {3,3,3} | {} × {4,3,3} | {} × {5,3,3} | т {3,3,3,3} | т {4,3,3,3} | т {3,4,3,3} |
Другие равномерные 5-многогранники имеют неправильные 5-клеточные вершины. Симметрия вершинной фигуры однородного многогранника представлена удалением окольцованных узлов диаграммы Кокстера.
Симметрия | [3,2,1], порядок 12 | [3,1,1], порядок 6 | [2 + , 4,1], порядок 8 | [2,1,1], порядок 4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|
Диаграмма Шлегеля | ||||||
Имя Коксетер | т 12 α 5 | t 12 γ 5 | т 012 α 5 | t 012 γ 5 | т 123 α 5 | т 123 γ 5 |
Симметрия | [2,1,1], порядок 2 | [2 + , 1,1], порядок 2 | [] + , заказ 1 | ||
---|---|---|---|---|---|
Диаграмма Шлегеля | |||||
Имя Коксетер | т 0123 α 5 | t 0123 γ 5 | т 0123 β 5 | t 01234 α 5 | t 01234 γ 5 |
Сложный
Соединение двух 5-ячеек в двойных конфигурациях можно увидеть в этой проекции плоскости Кокстера A5 с красными и синими 5-ячеечными вершинами и краями. Это соединение имеет симметрию [[3,3,3]], порядок 240. Пересечение этих двух 5-ячеек представляет собой однородную усеченную по битам 5-ячейку . знак равно ∩ .
Это соединение можно рассматривать как четырехмерный аналог двухмерной гексаграммы { 6 ⁄ 2 } и трехмерное соединение двух тетраэдров .
Связанные многогранники и соты
Пентахорон (5-клеточная) - простейшая из 9 однородных полихор, построенных из [3,3,3] группы Кокстера .
Schläfli | {3,3,3} | т {3,3,3} | г {3,3,3} | рр {3,3,3} | 2т {3,3,3} | tr {3,3,3} | т 0,3 {3,3,3} | т 0,1,3 {3,3,3} | т 0,1,2,3 {3,3,3} |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeter | |||||||||
Шлегель |
1 k2 фигур в размерах n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
п | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Кокстера | Е 3 = А 2 А 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Симметрия (порядок) | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [[3 2,2,1 ]] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Заказ | 12 | 120 | 1,920 | 103 680 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
График | - | - | |||||||||
Имя | 1 −1,2 | 1 02 | 1 12 | 1 22 | 1 32 | 1 42 | 1 52 | 1 62 |
2 k 1 фигур в n размерах | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
п | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Кокстера | Е 3 = А 2 А 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Симметрия | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Заказ | 12 | 120 | 384 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
График | - | - | |||||||||
Имя | 2 −1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
Он находится в последовательности регулярных полихор : тессеракт {4,3,3}, 120-элементный {5,3,3} евклидова 4- мерного пространства и гексагональные мозаичные соты {6,3,3} гиперболического пространства. . Все они имеют четырехгранную вершину .
{p, 3,3} многогранники | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | H 3 | |||||||||
Форма | Конечный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||||
Имя | {3,3,3} | {4,3,3} | {5,3,3} | {6,3,3} | {7,3,3} | {8,3,3} | ... {∞, 3,3} | ||||
Изображение | |||||||||||
Ячейки {p, 3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Это один из трех правильных 4-многогранников с тетраэдрическими ячейками, а также 16-элементный {3,3,5}, 600-элементный {3,3,5}. Порядок-6 тетраэдрические соты {3,3,6} гиперболического пространства также имеют тетраэдрическую клетку.
{3,3, p} многогранники | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | H 3 | |||||||||
Форма | Конечный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||||
Имя | {3,3,3} | {3,3,4} | {3,3,5} | {3,3,6} | {3,3,7} | {3,3,8} | ... {3,3, ∞} | ||||
Изображение | |||||||||||
Фигура вершины | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
{3, п , 3} многогранники | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | H 3 | |||||||||
Форма | Конечный | Компактный | Паракомпакт | Некомпактный | |||||||
{3, п , 3} | {3,3,3} | {3,4,3} | {3,5,3} | {3,6,3} | {3,7,3} | {3,8,3} | ... {3, ∞, 3} | ||||
Изображение | |||||||||||
Клетки | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} | ||||
Фигура вершины | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
{p, 3, p} обычные соты | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | Евклидово E 3 | H 3 | ||||||||
Форма | Конечный | Аффинный | Компактный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||
Имя | {3,3,3} | {4,3,4} | {5,3,5} | {6,3,6} | {7,3,7} | {8,3,8} | ... {∞, 3, ∞} | ||||
Изображение | |||||||||||
Клетки | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | ||||
Фигура вершины | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
Цитаты
- ^ NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр. 249
- ^ Матила Гик, Геометрия жизни и искусство (1977), с.68
- Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 120, §7.2. см иллюстрации рис 7.2 A .
- ^ Категория 1: Обычная полихора
- Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 12, §1.8. Конфигурации.
- Перейти ↑ Coxeter 1991 , p. 30, §4.2. Кристаллографические правильные многогранники.
Рекомендации
- Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
- HSM Coxeter :
- Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
- п. 120, §7.2. см. иллюстрацию Рис. 7.2 A
- п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
- Кокстер, HSM (1991), Регулярные комплексные многогранники (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Hemicubes: 1 n1 )
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Пентатоп» . MathWorld .
- Ольшевский, Георгий. «Пентахорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- 1. Выпуклая однородная полихора на основе пентахороны - Модель 1 , Георгий Ольшевский.
- Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры) x3o3o3o - перо» .
- Der 5-Zeller (5-клеточные) Регулярные многогранники Марко Мёллера в R 4 (немецкий)
- Джонатан Бауэрс, Обычная полихора
- Апплеты Java3D
- пирохорон
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный полихорон | Пентахорон | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб. | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |