Конус представляет собой трехмерная геометрическая форма , что сужается плавно от плоского основания (часто, хотя и не обязательно, кругового) до точки называется вершина или вершина .
Конус образован набором отрезков , полуосей или линий, соединяющих общую точку, вершину, со всеми точками на основании, которое находится в плоскости , не содержащей вершины. В зависимости от автора, основание может быть ограничено кругом , любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любым из вышеперечисленного плюс все замкнутые точки. Если замкнутые точки включены в основание, конус является твердым объектом ; в противном случае это двумерныйобъект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью ; если боковая поверхность не ограничена, это коническая поверхность .
В случае отрезков прямой конус не выходит за пределы основания, а в случае полупрямой - бесконечно далеко. В случае линий конус простирается бесконечно далеко в обоих направлениях от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом.. Половина двойного конуса на одной стороне вершины называется покровом .
Ось конуса представляет собой прямую линию (если таковые имеются), проходя через вершину, о которой основание (и весь конус) имеет круговую симметрию .
В обычном использовании в элементарной геометрии конусы считаются правильными круговыми , где круг означает, что основание является кругом, а право означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к его плоскости. [1] Если конус прямоугольный, пересечение плоскости с боковой поверхностью является коническим сечением . В общем, однако, основание может иметь любую форму [2], а вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь , а вершина лежит вне плоскости основания). В отличие от правых конусов, это косые конусы, в которых ось проходит через центр основания неперпендикулярно. [3]
Конус с многоугольным основанием называется пирамидой .
В зависимости от контекста, «конус» может также означать, в частности, выпуклый конус или проективный конус .
Конусы также могут быть обобщены на более высокие измерения .
Дополнительная терминология
Периметр основания конуса называется «направляющей», а каждый из отрезков прямой между направляющей и вершиной является «образующей» или «образующей» боковой поверхности. (О связи между этим смыслом термина «директриса» и директрисой конического сечения см. Сферы Данделина .)
«Радиус основания» круглого конуса - это радиус его основания; часто это просто называют радиусом конуса. Диафрагма прямого кругового конуса максимальный угол между двумя линиями образующей; если образующая составляет угол θ к оси, апертура равна 2 θ .
Конус с отрезанной плоскостью участком, включая его вершину, называется « усеченным конусом»; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, она называется усеченной . [1] «Эллиптический конус» - это конус с эллиптическим основанием. [1] «Обобщенный конус» - это поверхность, созданная набором линий, проходящих через вершину и каждую точку на границе (также см. Визуальную оболочку ).
Измерения и уравнения
Объем
объем любого конического твердого тела составляет одну треть произведения площади основания и высота [4]
В современной математике эту формулу легко вычислить с помощью исчисления - это, с точностью до масштабирования, интеграл Без исчисления формулу можно доказать, сравнив конус с пирамидой и применив принцип Кавальери, в частности, сравнив конус с (вертикально масштабированной) прямоугольной пирамидой, которая составляет одну треть куба. Эта формула не может быть доказана без использования таких бесконечно малых аргументов - в отличие от двумерных формул для площади многогранника, хотя и аналогичной площади круга - и, следовательно, допускала менее строгие доказательства до появления исчисления, когда древние греки использовали метод истощение . Это, по сути, содержание третьей проблемы Гильберта - точнее, не все многогранные пирамиды конгруэнтны по принципу ножниц (могут быть разрезаны на конечные части и переставлены в другие), и, таким образом, объем не может быть вычислен исключительно с помощью аргумента разложения. [5]
Центр массы
Центр масс коники твердого вещества с равномерной плотностью лежит одной четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии , соединяющей два.
Правый круговой конус
Объем
Для кругового конуса радиусом r и высотой h основание представляет собой круг площадьюи поэтому формула для объема становится [6]
Наклонная высота
Наклонная высота правого кругового конуса - это расстояние от любой точки на окружности его основания до вершины через линейный сегмент на поверхности конуса. Это дается, где - радиус основания иэто высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора .
Площадь поверхности
Площадь боковой поверхности правого кругового конуса равна где - радиус окружности в нижней части конуса, а наклонная высота конуса. [4] Площадь нижнего круга конуса такая же, как у любого круга,. Таким образом, общая площадь правильного кругового конуса может быть выражена следующим образом:
- Радиус и высота
- (площадь основания плюс площадь боковой поверхности; термин наклонная высота)
- где это радиус и это высота.
- Радиус и наклонная высота
- где это радиус и наклонная высота.
- Окружность и наклонная высота
- где это окружность и наклонная высота.
- Угол и высота при вершине
- где угол при вершине и это высота.
Круговой сектор
Круговой сектор , полученный путем разворачивания поверхности одного покрова конуса имеет:
- радиус R
- длина дуги L
- центральный угол φ в радианах
Форма уравнения
Поверхность конуса параметризуется как
где угол "вокруг" конуса, и это «высота» по конусу.
Правый сплошной круговой конус с высотой и диафрагма , осью которой является ось координат, вершина которой является началом координат, параметрически описывается как
где диапазон более , , а также , соответственно.
В неявной форме то же твердое тело определяется неравенствами
где
В более общем смысле, правильный круговой конус с вершиной в начале координат, ось параллельна вектору , и диафрагма , задается неявным векторным уравнением где
- или же
где , а также обозначает скалярное произведение .
Эллиптический конус
В системе декартовых координат , эллиптический конус представляет собой геометрическое место уравнения вида [7]
Это аффинный образ прямоугольного единичного конуса с уравнениемИз того факта, что аффинное изображение конического сечения является коническим сечением того же типа (эллипс, парабола, ...), получаем:
- Любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением.
Очевидно, что в любом правом круговом конусе есть окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. Круглый раздел ).
Проективная геометрия
В проективной геометрии , А цилиндр просто конус, вершина которого на бесконечности. [8] Интуитивно, если сохранить фиксированное основание и принять предел, когда вершина уходит в бесконечность, можно получить цилиндр, угол стороны которого увеличивается как arctan , в пределе, образующем прямой угол . Это полезно при определении вырожденных коник , которые требуют рассмотрения цилиндрических коник .
Согласно Г.Б. Холстеду , конус генерируется аналогично конике Штейнера только с проективным и осевым пучками (не в перспективе), а не с проективными диапазонами, используемыми для коники Штейнера:
«Если два копунктуальных непрямых осевых карандаша являются проекционными, но не перспективными, точки пересечения коррелированных плоскостей образуют« коническую поверхность второго порядка »или« конус »». [9]
Высшие измерения
Определение конуса может быть расширено до более высоких измерений (см. Выпуклые конусы ). В этом случае говорят , что выпуклое множество С в режиме реального векторного пространства R п является конусом (с вершиной в начале координат) , если для каждого вектора х в С и каждого неотрицательного действительного числа а , вектор ах в C . [2] В этом контексте аналоги круговых конусов обычно не являются чем-то особенным; на самом деле многие интересуются многогранными конусами .
Смотрите также
- Биконусы
- Конус (линейная алгебра)
- Конус (топология)
- Цилиндр (геометрия)
- Демокрит
- Обобщенная коническая
- Гиперболоид
- Список фигур
- Пирометрический конус
- Квадрик
- Вращение осей
- Линейчатая поверхность
- Перевод осей
Заметки
- ^ a b c Джеймс, RC; Джеймс, Гленн (1992-07-31). Математический словарь . Springer Science & Business Media. С. 74–75. ISBN 9780412990410.
- ^ a b Грюнбаум, Выпуклые многогранники , второе издание, стр. 23.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Конус» . MathWorld .
- ^ а б Александр, Даниэль С .; Кёберлейн, Гералин М. (01.01.2014). Элементарная геометрия для студентов . Cengage Learning. ISBN 9781285965901.
- ^ Хартсхорн, Робин (11.11.2013). Геометрия: Евклид и не только . Springer Science & Business Media. Глава 27. ISBN 9780387226767.
- ^ Бланк, Брайан Э .; Кранц, Стивен Джордж (01.01.2006). Исчисление: одна переменная . Springer Science & Business Media. Глава 8. ISBN 9781931914598.
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. 583)
- ^ Доулинг, Линней Вейланд (1917-01-01). Проективная геометрия . Книжная компания Макгроу-Хилл, инкорпорейтед.
- ^ GB Halsted (1906) Синтетическая проективная геометрия , страница 20
Рекомендации
- Protter, Murray H .; Морри младший, Чарльз Б. (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN 76087042
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Конус» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Двойной конус» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный конус» . MathWorld .
- Интерактивный вращающийся конус от Maths Is Fun
- Конус для бумажной модели
- Площадь боковой поверхности косого конуса
- Cut a Cone Интерактивная демонстрация пересечения конуса с плоскостью.