В квантовой механике , уровень энергии является вырожденной , если она соответствует двум или более различных измеримых состояний квантовой системы . И наоборот, два или более различных состояния квантово-механической системы называются вырожденными, если они дают одинаковое значение энергии при измерении. Количество различных состояний, соответствующих определенному уровню энергии, известно как степень вырождения уровня. Математически он представлен гамильтонианом для системы, имеющей более одного линейно независимого собственного состояния с одним и тем же собственным значением энергии . [1] : стр. 48В этом случае одной энергии недостаточно, чтобы охарактеризовать, в каком состоянии находится система, и необходимы другие квантовые числа , чтобы охарактеризовать точное состояние, когда требуется различение. В классической механике это можно понять в терминах различных возможных траекторий, соответствующих одной и той же энергии.
Вырождение играет фундаментальную роль в квантовой статистической механике . Для системы N- частиц в трех измерениях один энергетический уровень может соответствовать нескольким различным волновым функциям или энергетическим состояниям. Все эти вырожденные состояния на одном уровне с равной вероятностью могут быть заполнены. Количество таких состояний дает вырождение того или иного уровня энергии.
Математика
Возможные состояния квантово-механической системы можно рассматривать математически как абстрактные векторы в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве , в то время как наблюдаемые могут быть представлены линейными эрмитовыми операторами, действующими на них. Путем выбора подходящего базиса можно определить компоненты этих векторов и матричные элементы операторов в этом базисе. Если A - матрица N × N , X - ненулевой вектор , а λ - скаляр , такой, что, то скаляр λ называется собственным значением оператора A, а вектор X - собственным вектором, соответствующим λ . Вместе с нулевым вектором, множество всех собственных векторов , соответствующих данной собственным значением λ образует подпространство в ℂ п , которая называется собственное подпространство в Й . Собственное значение λ, которое соответствует двум или более различным линейно независимым собственным векторам, называется вырожденным , т. Е. а также , где а также являются линейно независимыми собственными векторами. Размерность в собственном пространстве , соответствующем собственное значение , что известно как его степень дегенерации , которая может быть конечной или бесконечными. Собственное значение называется невырожденным, если его собственное подпространство одномерно.
Собственные значения матриц, представляющих физические наблюдаемые в квантовой механике, дают измеримые значения этих наблюдаемых, в то время как собственные состояния, соответствующие этим собственным значениям, дают возможные состояния, в которых система может быть найдена после измерения. Измеримые значения энергии квантовой системы задаются собственными значениями оператора Гамильтона, в то время как его собственные состояния дают возможные энергетические состояния системы. Значение энергии называется вырожденным, если существует по крайней мере два линейно независимых состояния энергии, связанных с ним. Более того, любая линейная комбинация двух или более вырожденных собственных состояний также является собственным состоянием оператора Гамильтона, соответствующего одному и тому же собственному значению энергии. Это ясно следует из того факта, что собственное подпространство собственного значения значения энергии λ является подпространством (являющимся ядром гамильтониана минус λ, умноженное на единицу), следовательно, замкнуто относительно линейных комбинаций.
Доказательство приведенной выше теоремы. [2] : с. 52 Если представляет собой гамильтонов оператор, а а также два собственных состояния, соответствующие одному и тому же собственному значению E , то Позволять , где а также комплексные (в общем случае) константы, любая линейная комбинация а также . Потом,
что показывает, что является собственным состоянием с тем же собственным значением Е .
Влияние вырождения на измерение энергии
При отсутствии вырождения, если измеренное значение энергии квантовой системы определяется, соответствующее состояние системы считается известным, поскольку каждому собственному значению энергии соответствует только одно собственное состояние. Однако если гамильтониан имеет вырожденное собственное значение г степени п , то собственные связанные с ним образуют векторное подпространство в размерности г п . В таком случае несколько конечных состояний могут быть связаны с одним и тем же результатом., все из которых являются линейными комбинациями ортонормированных собственных векторов g n .
В этом случае вероятность того, что значение энергии, измеренное для системы в состоянии даст значение дается суммой вероятностей нахождения системы в каждом из состояний в этом базисе, т. е.
Вырождение в разных измерениях
Этот раздел призван проиллюстрировать существование вырожденных уровней энергии в квантовых системах, изучаемых в различных измерениях. Изучение одно- и двумерных систем помогает концептуальному пониманию более сложных систем.
Вырождение в одном измерении
В некоторых случаях аналитические результаты легче получить при исследовании одномерных систем. Для квантовой частицы с волновой функцией движется в одномерном потенциале , не зависящее от времени уравнение Шредингера можно записать как
Поскольку это обыкновенное дифференциальное уравнение, существуют две независимые собственные функции для данной энергии самое большее, так что степень вырождения никогда не превышает двух. Можно доказать, что в одномерном измерении нет вырожденных связанных состояний для нормируемых волновых функций . Достаточное условие кусочно-непрерывного потенциала и энергия существует два действительных числа с участием такой, что у нас есть . [3] В частности, ограничена снизу по этому критерию.
Доказательство приведенной выше теоремы. Рассматривая одномерную квантовую систему в потенциале с вырожденными состояниями а также соответствующему тому же собственному значению энергии , записав не зависящее от времени уравнение Шредингера для системы: Умножая первое уравнение на а второй и вычитая одно из другого, получаем:
Объединение обеих сторон
В случае хорошо определенных и нормированных волновых функций указанная выше постоянная обращается в нуль, если обе волновые функции обращаются в нуль хотя бы в одной точке, и мы находим: где в общем случае является комплексной константой. Для собственных функций связанных состояний (стремящихся к нулю при), и полагая а также удовлетворяют приведенному выше условию, можно показать [3], что первая производная волновой функции также стремится к нулю в пределе, так что указанная выше константа равна нулю и у нас нет вырождения.
Вырождение в двумерных квантовых системах
Двумерные квантовые системы существуют во всех трех состояниях материи, и большая часть разнообразия, наблюдаемого в трехмерной материи, может быть создана в двух измерениях. Настоящие двухмерные материалы состоят из одноатомных слоев на поверхности твердых тел. Некоторые примеры двумерных электронных систем, достигаемых экспериментально, включают MOSFET , двумерные сверхрешетки из гелия , неона , аргона , ксенона и т. Д. И поверхность жидкого гелия . Наличие вырожденных уровней энергии изучается на примере частицы в ящике и двумерного гармонического осциллятора , которые действуют как полезные математические модели для нескольких систем реального мира.
Частица в прямоугольной плоскости
Рассмотрим свободную частицу в плоскости измерений а также в плоскости непроницаемых стен. Не зависящее от времени уравнение Шредингера для этой системы с волновой функцией можно записать как
Допустимые значения энергии:
Нормированная волновая функция равна
где
Итак, квантовые числа а также требуются для описания собственных значений энергии, а наименьшая энергия системы определяется выражением
Для некоторых соизмеримых соотношений двух длин а также , некоторые пары состояний вырождены. Если, где p и q - целые числа, состояния а также имеют одинаковую энергию и поэтому вырождены друг к другу.
Частица в квадратном ящике
В этом случае размеры коробки а собственные значения энергии даются формулами
С а также можно менять местами без изменения энергии, каждый энергетический уровень имеет вырождение не менее двух, когда а также разные. Вырожденные состояния также получаются, когда сумма квадратов квантовых чисел, соответствующих различным уровням энергии, одинакова. Например, три состояния (n x = 7, n y = 1), (n x = 1, n y = 7) и (n x = n y = 5) все имеют и составляют вырожденное множество.
Степени вырождения разных уровней энергии для частицы в квадратном ящике:
Вырождение | |||
---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 1 |
2 1 | 1 2 | 5 5 | 2 |
2 | 2 | 8 | 1 |
3 1 | 1 3 | 10 10 | 2 |
3 2 | 2 3 | 13 13 | 2 |
4 1 | 1 4 | 17 17 | 2 |
3 | 3 | 18 | 1 |
... | ... | ... | ... |
7 5 1 | 1 5 7 | 50 50 50 | 3 |
... | ... | ... | ... |
8 7 4 1 | 1 4 7 8 | 65 65 65 65 | 4 |
... | ... | ... | ... |
9 7 6 2 | 2 6 7 9 | 85 85 85 85 | 4 |
... | ... | ... | ... |
11 10 5 2 | 2 5 10 11 | 125 125 125 125 125 | 4 |
... | ... | ... | ... |
14 10 2 | 2 10 14 | 200 200 200 | 3 |
... | ... | ... | ... |
17 13 7 | 7 13 17 | 338 338 338 | 3 |
Частица в кубической коробке
В этом случае размеры коробки а собственные значения энергии зависят от трех квантовых чисел.
С , а также можно поменять местами без изменения энергии, каждый энергетический уровень имеет вырождение не менее трех, когда не все три квантовых числа равны.
Нахождение уникального собственного базиса в случае вырождения
Если два оператора а также добираться до работы, т.е. , то для каждого собственного вектора из , также является собственным вектором с тем же собственным значением. Однако если это собственное значение, скажем, является вырожденным, можно сказать, что принадлежит собственному подпространству из , который называется глобально инвариантным относительно действия .
Для двух коммутирующих наблюдаемых A и B можно построить ортонормированный базис пространства состояний с собственными векторами, общими для этих двух операторов. Тем не мение, является вырожденным собственным значением оператора , то это собственное подпространство инвариантный под действием , Поэтому представления о на собственной основе не диагональная, а блочно-диагональная матрица , т.е. вырожденные собственные векторы матрицы не являются, вообще говоря, собственными векторами . Однако всегда можно выбрать в каждом вырожденном собственном подпространстве, базис собственных векторов, общих для а также .
Выбор полного набора коммутирующих наблюдаемых
Если данная наблюдаемая A невырождена, существует единственный базис, образованный ее собственными векторами. С другой стороны, если одно или несколько собственных значенийвырождены, задание собственного значения недостаточно для характеристики базисного вектора. Если, выбирая наблюдаемую, который курсирует с , можно построить ортонормированный базис собственных векторов, общих для а также , что уникально для каждой из возможных пар собственных значений {a, b}, то а также говорят, что они образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых . Однако, если уникальный набор собственных векторов все еще не может быть указан, по крайней мере для одной из пар собственных значений, третья наблюдаемая, который курсирует с обоими а также могут быть найдены так, что эти три образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых.
Отсюда следует, что собственные функции гамильтониана квантовой системы с общим значением энергии должны быть помечены путем предоставления некоторой дополнительной информации, что может быть сделано путем выбора оператора, который коммутирует с гамильтонианом. Эти дополнительные обозначения требовали наименования уникальной собственной функции энергии и обычно связаны с константами движения системы.
Вырожденные собственные состояния энергии и оператор четности
Оператор четности определяется своим действием в представление изменения r на -r, т.е.
Можно показать, что собственные значения P ограничены , которые являются вырожденными собственными значениями в бесконечномерном пространстве состояний. Собственный вектор матрицы P с собственным значением +1 называется четным, а вектор с собственным значением −1 - нечетным.
Теперь четный оператор тот, который удовлетворяет,
в то время как странный оператор тот, который удовлетворяет
Поскольку квадрат оператора импульса четно, если потенциал V (r) четный, гамильтониан называется четным оператором. В этом случае, если каждое из его собственных значений невырождено, каждый собственный вектор обязательно является собственным состоянием P, и поэтому можно искать собственные состояниясреди четных и нечетных состояний. Однако, если одно из собственных состояний энергии не имеет определенной четности , можно утверждать, что соответствующее собственное значение вырождено, и является собственным вектором с тем же собственным значением, что и .
Вырождение и симметрия
Физическая причина вырождения в квантово-механической системе часто заключается в наличии некоторой симметрии в системе. Изучение симметрии квантовой системы в некоторых случаях может позволить нам найти уровни энергии и вырождения, не решая уравнения Шредингера, что снижает усилия.
Математически связь вырождения с симметрией можно пояснить следующим образом. Рассмотрим операцию симметрии , связанной с унитарным оператором S . При такой операции новый гамильтониан связан с исходным гамильтонианом преобразованием подобия, порожденным оператором S , так что, поскольку S унитарна. Если гамильтониан остается неизменным при операции преобразования S , имеем
Сейчас если - собственное состояние энергии,
где E - соответствующее собственное значение энергии.
что обозначает Также энергия собственное состояние с тем же собственным значением Е . Если два государства а также линейно независимы (т.е. физически различны), поэтому они вырождены.
В случаях, когда S характеризуется непрерывным параметром , все состояния вида имеют одинаковое собственное значение энергии.
Группа симметрии гамильтониана
Говорят, что совокупность всех операторов, коммутирующих с гамильтонианом квантовой системы, образует группу симметрии гамильтониана. В коммутаторах этих генераторов этой группы определяют алгебру группы. N-мерное представление группы симметрии сохраняет таблицу умножения операторов симметрии. Возможные вырождения гамильтониана с определенной группой симметрии задаются размерностями неприводимых представлений группы. Собственные функции, соответствующие n-кратно вырожденному собственному значению, образуют базис для n-мерного неприводимого представления группы симметрии гамильтониана.
Типы вырождения
Вырождения в квантовой системе могут иметь систематический или случайный характер.
Систематическое или существенное вырождение
Это также называется геометрическим или нормальным вырождением и возникает из-за наличия некоторого вида симметрии в рассматриваемой системе, то есть инвариантности гамильтониана относительно определенной операции, как описано выше. Представление, полученное из нормального вырождения, неприводимо, и соответствующие собственные функции составляют основу этого представления.
Случайное вырождение
Это тип вырождения, возникающий из-за некоторых особенностей системы или функциональной формы рассматриваемого потенциала, и, возможно, связан со скрытой динамической симметрией в системе. [4] Это также приводит к сохранению количеств, которые часто нелегко идентифицировать. Случайные симметрии приводят к этим дополнительным вырождениям в дискретном энергетическом спектре. Случайное вырождение может быть связано с неполной группой гамильтониана. Эти вырождения связаны с существованием связанных орбит в классической физике.
Примеры: кулоновские потенциалы и потенциалы гармонического осциллятора.
Для частицы в центральном потенциале 1 / r вектор Лапласа – Рунге – Ленца является сохраняющейся величиной, возникающей в результате случайного вырождения, в дополнение к сохранению углового момента из-за инвариантности вращения.
Для частицы, движущейся по конусу под действием потенциалов 1 / r и r 2 с центром на вершине конуса, сохраняющиеся величины, соответствующие случайной симметрии, будут двумя компонентами эквивалента вектора Рунге-Ленца, кроме того к одной из компонент вектора углового момента. Эти величины порождают симметрию SU (2) для обоих потенциалов.
Пример: частица в постоянном магнитном поле.
Частица, движущаяся под действием постоянного магнитного поля, совершая циклотронное движение по круговой орбите, является еще одним важным примером случайной симметрии. Мультиплеты симметрии в этом случае являются бесконечно вырожденными уровнями Ландау .
Примеры
Атом водорода
В атомной физике связанные состояния электрона в атоме водорода показывают нам полезные примеры вырождения. В этом случае гамильтониан коммутирует с полным орбитальным угловым моментом , его составляющая в направлении z, , полный спиновый угловой момент и его z-компонента . Квантовые числа, соответствующие этим операторам, равны, , (всегда 1/2 для электрона) и соответственно.
Уровни энергии в атоме водорода зависят только от главного квантового числа n . Для данного n все состояния, соответствующиеимеют одинаковую энергию и являются вырожденными. Аналогично при заданных значениях п и л , в, государства с вырождены. Следовательно, степень вырождения уровня энергии E n равна:, которая удваивается с учетом спинового вырождения. [1] : стр. 267f
Вырождение по является существенным вырождением, которое присутствует для любого центрального потенциала и возникает из-за отсутствия предпочтительного пространственного направления. Вырождение почасто описывается как случайное вырождение, но его можно объяснить с точки зрения особых симметрий уравнения Шредингера, которые справедливы только для атома водорода, в котором потенциальная энергия задается законом Кулона . [1] : стр. 267f
Изотропный трехмерный гармонический осциллятор
Это бесспиновая частица массы m, движущаяся в трехмерном пространстве под действием центральной силы , абсолютное значение которой пропорционально расстоянию от частицы до центра силы.
Он называется изотропным, поскольку потенциал действующий на него, инвариантен относительно вращения, то есть:
где это угловая частота задается.
Поскольку пространство состояний такой частицы является тензорным произведением пространств состояний, связанных с отдельными одномерными волновыми функциями, не зависящее от времени уравнение Шредингера для такой системы имеет вид:
Итак, собственные значения энергии равны
или же,
где n - неотрицательное целое число. Итак, уровни энергии вырождены и степень вырожденности равна количеству различных наборов удовлетворение
Вырождение состояние можно найти, рассматривая распределение кванты через , а также . Имея 0 в дает возможности для распределения по а также . Имея 1 квант в дает возможности через а также и так далее. Это приводит к общему результату и суммируя по всем приводит к негодованию государственный,
Как показано, только основное состояние, в котором невырожден (т. е. имеет вырожденность ).
Устранение вырождения
Вырождение в квантово-механической системе может быть снято, если лежащая в основе симметрия нарушена внешним возмущением . Это вызывает расщепление вырожденных энергетических уровней. По сути, это расщепление исходных неприводимых представлений на такие представления возмущенной системы меньшей размерности.
Математически расщепление из-за приложения малого потенциала возмущения может быть вычислено с использованием не зависящей от времени теории вырожденных возмущений . Это аппроксимационная схема, которая может применяться для нахождения решения уравнения на собственные значения для гамильтониана H квантовой системы с приложенным возмущением, учитывая решение гамильтониана H 0 для невозмущенной системы. Он включает в себя разложение собственных значений и собственных наборов гамильтониана H в ряд возмущений. Вырожденные собственные состояния с заданным собственным значением энергии образуют векторное подпространство, но не каждый базис собственных состояний этого пространства является хорошей отправной точкой для теории возмущений, потому что обычно вблизи них не будет собственных состояний возмущенной системы. Правильный выбор - тот, который диагонализирует гамильтониан возмущения в вырожденном подпространстве.
Снятие вырождения с помощью вырожденной теории возмущений первого порядка. Рассмотрим невозмущенный гамильтониан и возмущение , так что возмущенный гамильтониан Возмущенное собственное состояние без вырождения задается следующим образом:
Собственный набор возмущенной энергии, а также сдвиги энергии более высокого порядка расходятся, когда , т. е. при наличии вырождения по энергетическим уровням. Предполагая обладает N вырожденными собственными состояниями с тем же собственным значением энергии E, а также, вообще говоря, с некоторыми невырожденными собственными состояниями. Возмущенное собственное состояние можно записать в виде линейного разложения по невозмущенным вырожденным собственным состояниям:
где относятся к собственным значениям возмущенной энергии. С является вырожденным собственным значением оператора ,
Умножение на другой невозмущенный вырожденный собственный набор дает-
Это проблема собственных значений, и запись , у нас есть-
N собственных значений, полученных путем решения этого уравнения, дают сдвиги вырожденного уровня энергии из-за приложенного возмущения, в то время как собственные векторы дают возмущенные состояния в невозмущенном вырожденном базисе . Чтобы выбрать хорошие собственные состояния с самого начала, полезно найти оператор который коммутирует с исходным гамильтонианом и имеет одновременные собственные состояния с ним.
Физические примеры снятия вырождения возмущением
Ниже приведены некоторые важные примеры физических ситуаций, когда вырожденные уровни энергии квантовой системы расщепляются приложением внешнего возмущения.
Нарушение симметрии в двухуровневых системах
Двухуровневая система , по существу , относится к физической системе , имеющей два состояния, энергия которых близко друг к другу и очень отличаются от других состояний системы. Все вычисления для такой системы выполняются на двумерном подпространстве пространства состояний.
Если основное состояние физической системы вырождено в два раза, любая связь между двумя соответствующими состояниями снижает энергию основного состояния системы и делает ее более стабильной.
Если а также являются энергетическими уровнями системы, такими, что , а возмущение представлена в двумерном подпространстве следующей матрицей 2 × 2
то возмущенные энергии равны
Примеры систем с двумя состояниями, в которых вырождение по энергетическим состояниям нарушается наличием недиагональных членов в гамильтониане, возникающих в результате внутреннего взаимодействия, обусловленного внутренним свойством системы, включают:
- Бензол с двумя возможными вариантами расположения трех двойных связей между соседними атомами углерода .
- Молекула аммиака , в которой атом азота может находиться выше или ниже плоскости, определяемой тремя атомами водорода .
- ЧАС+ 2 молекула, в которой электрон может быть локализован вокруг любого из двух ядер.
Расщепление тонкой структуры
Поправки к кулоновскому взаимодействию между электроном и протоном в атоме водорода из-за релятивистского движения и спин-орбитального взаимодействия приводят к нарушению вырождения уровней энергии для различных значений l, соответствующих одному главному квантовому числу n .
Гамильтониан возмущения из-за релятивистской поправки имеет вид
где - оператор импульса и - масса электрона. Поправка за релятивистскую энергию первого порядка в основа дается
Сейчас
где - постоянная тонкой структуры .
Спин-орбитальное взаимодействие относится к взаимодействию между собственным магнитным моментом электрона и магнитным полем, испытываемым им из-за относительного движения с протоном. Гамильтониан взаимодействия имеет вид
который можно записать как
Поправка энергии первого порядка в базис, в котором гамильтониан возмущения диагонален, имеет вид
где - радиус Бора . Полный сдвиг энергии тонкой структуры определяется выражением
для .
Эффект Зеемана
Расщепление энергетических уровней атома во внешнем магнитном поле из-за взаимодействия магнитного момента атома с приложенным полем известен как эффект Зеемана .
Учитывая орбитальный и спиновой угловые моменты, а также соответственно одного электрона в атоме водорода гамильтониан возмущения имеет вид
где а также . Таким образом,
Теперь, в случае эффекта Зеемана слабого поля, когда приложенное поле слабое по сравнению с внутренним полем, спин-орбитальная связь доминирует и а также отдельно не сохраняются. В хорошие квантовые числа являются п , л , J и т J , и в этом базисе, поправка первого порядка энергии может быть показано, что дает
- , где
называется магнетоном Бора. Таким образом, в зависимости от значения, каждый вырожденный уровень энергии распадается на несколько уровней.
В случае эффекта Зеемана в сильном поле, когда приложенное поле достаточно сильное, так что орбитальный и спиновой угловые моменты разделяются, хорошие квантовые числа теперь равны n , l , m l и m s . Здесь L z и S z сохраняются, поэтому гамильтониан возмущения задается следующим образом:
в предположении, что магнитное поле направлено в направлении z . Так,
Для каждого значения m l есть два возможных значения m s ,.
Эффект Старка
Расщепление энергетических уровней атома или молекулы под действием внешнего электрического поля известно как эффект Штарка .
Для атома водорода гамильтониан возмущения имеет вид
если электрическое поле выбрано в направлении z .
Поправки к энергии из-за приложенного поля даются математическим ожиданием в основание. Правила отбора показывают, что когда а также .
Вырождение снимается только для определенных состояний, подчиняющихся правилам отбора, в первом порядке. Расщепление первого порядка по уровням энергии для вырожденных состояний а также , оба соответствующие n = 2, задаются формулой.
Смотрите также
- Плотность состояний
Рекомендации
- ^ a b c Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили. ISBN 0471887021.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Левин, Ира Н. (1991). Квантовая химия (4-е изд.). Прентис Холл. п. 52. ISBN 0-205-12770-3.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ а б Мессия, Альберт (1967). Квантовая механика (3-е изд.). Амстердам, НЛД: Северная Голландия. С. 98–106. ISBN 0471887021.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Макинтош, Гарольд В. (1959). «О случайном вырождении в классической и квантовой механике» (PDF) . Американский журнал физики . Американская ассоциация учителей физики (AAPT). 27 (9): 620–625. DOI : 10.1119 / 1.1934944 . ISSN 0002-9505 .
дальнейшее чтение
- Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар и Лалоэ, Франк. Квантовая механика . 1 . Германн. ISBN 9782705683924.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )[ требуется полная ссылка ]
- Шанкар, Рамамурти (2013). Принципы квантовой механики . Springer. ISBN 9781461576754.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )[ требуется полная ссылка ]
- Ларсон, Рон ; Фалво, Дэвид К. (30 марта 2009 г.). Элементарная линейная алгебра, расширенное издание . Cengage Learning. С. 8–. ISBN 978-1-305-17240-1.
- Хобсон; Райли. Математические методы для физики и инженерии (Clpe) 2Ed . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-61296-8.
- Хеммер (2005). Kvantemekanikk: PC Hemmer . Тапир академиск форлаг. Tillegg 3: дополнение к разделам 3.1, 3.3 и 3.5. ISBN 978-82-519-2028-5.
- Квантовое вырождение в двумерных системах, Дебнараян Яна, кафедра физики, Университетский колледж науки и технологий
- Аль-Хашими, Мунир (2008). Случайная симметрия в квантовой физике .