Выворот сферы

В дифференциальной топологии , сфера выворот это процесс превращения сферы наизнанку в трехмерном пространстве (слово выворот означает «выворачивание»). Примечательно то, что таким образом можно плавно и непрерывно выворачивать сферу наизнанку (с возможными самопересечениями ), не разрезая, не разрывая ее и не создавая складок . Это удивительно как для нематематиков , так и для тех, кто понимает регулярную гомотопию , и может рассматриваться как достоверный парадокс ; это то, что, хотя и верно, на первый взгляд кажется ложным.

Morin поверхность видно «сверху»

">

Воспроизвести медиа

Процесс выворота сферы, описанный в ^[1]

выворот бумажной сферы и поверхность Морина

бумажная поверхность Морина (выворот сферы на полпути) с гексагональной симметрией

Точнее, пусть

{\ Displaystyle е \ двоеточие S ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

стандартное вложение ; то есть регулярная гомотопия из погружений

{\ displaystyle f_ {t} \ двоеточие S ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

такие, что ƒ ₀ = ƒ и ƒ ₁ = - ƒ .

История

Доказательство существования для складка свободной сферы выворачивания было сначала создано Смэйлом ( 1957 ). Трудно представить себе конкретный пример такого поворота, хотя были созданы некоторые цифровые анимации , которые несколько упрощают его. Первый пример был продемонстрирован усилиями нескольких математиков, в том числе Арнольда С. Шапиро и Бернарда Морена , который был слепым. С другой стороны, гораздо легче доказать, что такой «поворот» существует, и это то, что Смейл и сделал.

Советник Смейла Рауль Ботт сначала сказал Смейлу, что результат явно неверен ( Levy 1995 ). Его рассуждения в том , что степень на карте Гаусс должны быть сохранены в таких «поворот» -в частности, следует , что не существует такого поворота из S ¹ в R ² . Но степени отображения Гаусса для вложений f и - f в R ³ оба равны 1 и не имеют противоположных знаков, как можно было бы ошибочно предположить. Степень гауссова отображения всех погружений S ² в R ³ равно 1, так что нет никаких препятствий. Термин «правдоподобный парадокс», возможно, более уместен на этом уровне: до работы Смейла не было документально подтвержденных попыток аргументировать за или против выворота S ² , а более поздние попытки являются ретроспективным, поэтому никогда не было исторического парадокса, связанного с выворот сферы, только понимание тонкостей ее визуализации теми, кто впервые сталкивается с этой идеей.

См. H -principle для дальнейших обобщений.

Доказательство

Первоначальное доказательство Смейла было косвенным: он отождествил (регулярные гомотопические) классы погружений сфер с гомотопической группой многообразия Штифеля . Поскольку гомотопическая группа, соответствующая погружениям ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ в ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ обращается в нуль, стандартное и вывернутое наизнанку вложения должны быть регулярными гомотопными. В принципе, доказательство можно развернуть, чтобы получить явную регулярную гомотопию, но сделать это непросто.

Есть несколько способов создания явных примеров и математической визуализации :

Модели на полпути : они состоят из очень особых гомотопий. Это оригинальный метод, впервые примененный Шапиро и Филлипсом с помощью поверхности Боя , а затем усовершенствованный многими другими. Первоначальные гомотопии половинчатых моделей были построены вручную и работали топологически, но не были минимальными. Фильм, созданный Нельсоном Максом за семилетний период и основанный на проволочных моделях Чарльза Пью (впоследствии украденных из математического факультета в Беркли), был для своего времени `` туром по компьютерной графике ''. эталон компьютерной анимации на многие годы. Более недавнее и окончательное уточнение графики (1980-е годы) - это минимаксные вывороты , которые представляют собой вариационный метод и состоят из специальных гомотопий (они являются кратчайшими путями относительно энергии Уиллмора ). В свою очередь, понимание поведения энергии Уиллмора требует понимания решений уравнений с частными производными четвертого порядка, и поэтому визуально красивые и вызывающие воспоминания изображения опровергают некоторые очень глубокие математические представления, выходящие за рамки первоначального абстрактного доказательства Смейла.
Гофры Терстона : это топологический и общий метод; он принимает гомотопию и возмущает ее так, что она становится регулярной гомотопией. Это иллюстрируется компьютерной графикой Outside In, разработанной в Центре геометрии под руководством Сильвио Леви, Делле Максвелла и Тамары Мунзнер . ^[2]
«Вселенная» Эйтчисона (2010): здесь используется комбинация топологических и геометрических методов и характерна для фактической регулярной гомотопии между стандартно встроенной 2-сферой и вложением с обратной ориентацией. Это обеспечивает концептуальное понимание процесса, возникающего из конкретной структуры трехмерной проективной плоскости и лежащей в основе геометрии расслоения Хопфа. Понимание деталей этих математических концепций не требуется, чтобы концептуально оценить возникающий конкретный выворот, который, по сути, требует только понимания конкретной вложенной окружности, нарисованной на торе в 3-пространстве. Джордж Фрэнсис предложил название «вселенная», производное от слова «холистический», поскольку (после некоторого размышления) полный выворот можно концептуально охватить от начала до конца без наглядных пособий, предоставляемых анимацией. По духу это ближе к идеям, первоначально предложенным Шапиро, и на практике обеспечивает конкретное доказательство эверсии, не требующее абстракции, лежащей в основе доказательства Смейла. Частично это иллюстрируется анимацией компьютерной графики Povray , которую снова легко найти с помощью поиска на YouTube.
Комбинируя вышеупомянутые методы, полный выворот сферы может быть описан системой замкнутых уравнений, дающих минимальную топологическую сложность ^[1]

Вариации

Шестимерная сфера ${\ displaystyle S ^ {6}}$ в семимерном евклидовом пространстве ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$ допускает выворот. В очевидном случае 0-мерной сферы ${\ displaystyle S ^ {0}}$ (две разные точки) на реальной линии ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ и описанный выше случай двумерной сферы в ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ есть только три случая, когда сфера ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ встроен в евклидово пространство ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + 1}}$ допускает выворот.

Галерея эверсионных ступеней

Земельные участки
Линейчатая модель полпути с четверной точкой диагональный вид вид сбоку	Закрыто на полпути вид сверху диагональный вид вид сбоку	Управляемая модель смерти тройных точек вид сверху диагональный вид вид сбоку
Линейчатая модель конца петли центрального пересечения вид сверху диагональный вид вид сбоку	Линейчатая модель последней ступени вид сверху диагональный вид вид сбоку

Открытая модель с нейлоновой струной

на полпути

тройная вершина смерти

сторона тройной смерти

пересечение конец вверх

сторона пересечения

Смотрите также

Внешние ссылки

Outside In , полное видео (короткий клип здесь )
История эверсий сфер
«Выворачивая сферу наизнанку»
Программное обеспечение для визуализации выворота сфер
Математическая визуализация: топология. Выворот сферы целостности (анимация Povray)
Эверсия сферы деНев / Хиллс: видео и интерактивная модель
Проект Патрика Массо по формализации доказательства в программе Lean Theorem Prover
Интерактивное исследование Адам Беднорц и Витольд Беднорц метода выворачивания сферы

[sev-eq-1] Беднорз, Адам; Беднорц, Витольд (2017). «Аналитический выворот сферы с минимумом топологических событий». arXiv : 1711.10466 [ math.GT ].

[2] «Снаружи внутрь: Введение» . Центр геометрии . Проверено 21 июня 2017 года .

[1]