Exsecant

Тригонометрия
Контур История Применение Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Справка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

Exsecant ( exsec , EXS ) и excosecant ( excosec , excsc , возб ) являются тригонометрические функции , определенные в терминах секущих и Косеканс функций. Раньше они были важны в таких областях, как геодезия , железнодорожное строительство , гражданское строительство , астрономия и сферическая тригонометрия, и могли помочь повысить точность, но сегодня используются редко, за исключением упрощения некоторых расчетов.

Единичная окружность с тригонометрическими функциями . ^[1]

Exsecant [ править ]

Exsecant , ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]} (лат secans внешний вид ^{[10] [11] [12] [13]} ) , также известный как внешний вид , external , ^{[14] [15] [16] [17]} внешний или внешний секанс и сокращенно exsec ^{[18] [19] [20] [21]} или exs , ^[22] - это тригонометрическая функция, определяемая через секанс функция sec ( θ ):^[23]

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ sec (\ theta) -1 = {\ frac {1} {\ cos (\ theta)}} - 1.}$

Название exsecant можно понять из графического построения различных тригонометрических функций из единичной окружности , как это было исторически. сек ( θ ) является секущей линией ЫМ , а exsecant является частью ДЕ этого секущим , что лежит внешние к окружности ( ех является латинским для из ).

Excosecant [ править ]

Связанная функция - это экзосеканс ^{[5] [24]} или сосексанс , ^{[25] [18] [26],} также известный как внешний , внешний , ^[17] внешний или внешний косеканс и сокращенно обозначаемый как excosec , coexsec , ^{[14] [18 ] ] [26]} excsc ^{[5] [24]} или exc , ^[22] эксеканс дополнительного угла:

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = \ operatorname {exsec} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ csc (\ theta) -1 = {\ гидроразрыв {1} {\ sin (\ theta)}} - 1.}$^[24]

Использование [ править ]

Важная в таких областях, как геодезия , ^[8] железнодорожное строительство ^[5] (например, для разметки железнодорожных кривых и виражей ), гражданское строительство , астрономия и сферическая тригонометрия вплоть до 1980-х годов, функция exsecant сейчас мало используется. ^{[8] [23]} В основном это связано с тем, что широкая доступность калькуляторов и компьютеров устранила необходимость в тригонометрических таблицах специализированных функций, таких как эта. ^[8]

Причина для определения специальной функции для эксеканса аналогична обоснованию для версины : для малых углов θ функция sec ( θ ) приближается к единице , и поэтому использование приведенной выше формулы для эксеканса потребует вычитания двух почти равных количества, что приведет к катастрофической отмене . Таким образом, таблица функции секущей потребует очень высокой точности, чтобы использовать ее для эксеканса, что делает полезной специализированную таблицу секущей. Даже с компьютером ошибки с плавающей запятой могут быть проблематичными для exsecants малых углов, если использовать определение на основе косинуса. Более точной формулой в этом пределе было бы использование тождества:

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\cos(\theta )}}=\operatorname {versin} (\theta )\sec(\theta )=2\left(\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\sec(\theta )}$^{[3] [4] [17]}

или же

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta )=2\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\csc(\theta ).\ }$^[17]

До появления компьютеров для этого потребовалось бы трудоемкое умножение.

Функция exsecant использовалась Галилео Галилей еще в 1632 году, хотя он все еще называл ее segante (что означает секанс ). ^{[27] [28] [29] [30]} Латинский термин секанс внешний использовался, по крайней мере, примерно с 1745 года. ^{[10] [11] [12] [13]} Использование английского термина внешний секанс и аббревиатуры ex. сек. По крайней мере, их можно проследить до 1855 года, когда Чарльз Хаслетт опубликовал первую известную таблицу exsecants. ^{[1] [31]} Вариации, такие как ex secant и exsecиспользовались в 1880 году, ^[14] а exsecant использовался меньше всего с 1894 года. ^[2]

Термины coexsecant ^[25] и coexsec ^[2] могут быть найдены использованы еще в 1880 году , а также ^{[2] [25]} с последующим excosecant , так как 1909. ^[5] функция была также используется Альберта Эйнштейна , чтобы описать кинетическую энергию из фермионы . ^{[29] [30]}

Математические тождества [ править ]

Производные [ править ]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}}$^[21]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}}$

Интегралы [ править ]

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$^[21]

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$

Обратные функции [ править ]

Обратные функции arcexsecant ^[26] ( arcexsec , ^{[5] [26]} aexsec , ^{[32] [33]} aexs , exsec ⁻¹ ) и arcexcosecant ( arcexcosec , arcexcsc , ^[5] aexcsc , aexc , arccoexsecant , arccoexsec , excsc ^{- 1} ) тоже существуют:

${\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}$^{[26] [32] [33]} (для y  ≤ −2 или y  ≥ 0) ^[26]

${\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)\,}$

Другие свойства [ править ]

Получено из единичного круга:

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatorname {versin} (\theta ).}$

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}$

Функция exsecant связана с функцией касательной соотношением

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$^[23]

Аналогично, функция экзосеканса связана с функцией котангенса соотношением

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

Функция exsecant связана с функцией синуса соотношением

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}$

Аналогично, функция экзосеканса связана с функцией косинуса соотношением

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}$^[30]

Функции exsecant и excosecant могут быть расширены на комплексную плоскость . ^[21]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}$^[5]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {versin} (\theta ))\,(\operatorname {excsc} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta ))=\sin(\theta )\cos(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatorname {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}$^[5]

См. Также [ править ]

• Тригонометрические тождества  - Равенства, включающие тригонометрические функции
• Версин  - 1 минус косинус угла
• Хорда  - отрезок геометрической линии, оба конца которого лежат на кривой.
• Вписанная и вневписанная окружности треугольника  - окружности, касающиеся всех трех сторон треугольника.
• Экспоненциальная минус 1
• Натуральный логарифм плюс 1

Ссылки [ править ]