Блок периодичности Фоккера

Блок периодичности Fokker для 12-ступенчатой ​​равной настройки , показывающий только значения интонации слева и соответствующие равные значения настройки справа

Блоки периодичности Фоккера - это концепция теории настройки, используемая для математического соотнесения музыкальных интервалов в одной интонации с интервалами в одинаковой настройке . Они названы в честь Адриана Даниэля Фоккера . Они включены в качестве основного подмножества того, что Эрв Уилсон называет постоянными структурами, где «каждый интервал всегда происходит с одним и тем же числом шагов». ^[1]

Основная идея блоков периодичности Фоккера состоит в том, чтобы представить только отношения в виде точек на решетке и найти векторы в решетке, которые представляют очень маленькие интервалы, известные как запятые . Рассмотрение шагов, разделенных запятой, как эквивалента «складывает» решетку, эффективно уменьшая ее размер на единицу; математически это соответствует нахождению фактор-группы исходной решетки по подрешетке, порожденной запятыми. Для n- мерной решетки идентификация n линейно независимых запятых уменьшает размерность решетки до нуля, что означает, что количество шагов в решетке конечно; математически его фактор - конечный абелева группа . Этот нульмерный набор шагов представляет собой блок периодичности. Часто он образует циклическую группу , и в этом случае идентификация m шагов блока периодичности с m- равной настройкой дает равные приближения настройки тех соотношений, которые определяли исходную решетку.

Обратите внимание, что октавы обычно игнорируются при построении блоков периодичности (как это обычно делается в теории шкалы ), потому что предполагается, что для любой высоты звука в системе настройки все высоты звука, отличающиеся от нее на некоторое количество октав, также доступны в принципе. Другими словами, все высоты тона и интервалы можно рассматривать как остатки по модулю октавы. Это упрощение обычно известно как октавная эквивалентность .

Определение блоков периодичности [ править ]

Пусть n- мерная решетка (то есть целочисленная сетка), вложенная в n- мерное пространство, имеет числовое значение, присвоенное каждому из ее узлов, так что перемещение внутри решетки в одном из основных направлений соответствует сдвигу шага на определенный интервал. . Обычно n составляет от одного до трех. В то же время в двумерном случае решетка представляет собой квадратную решетку . В трехмерном случае решетка кубическая.

Примеры таких решеток следующие ( x , y , z и w - целые числа ):

• В одномерном случае интервал, соответствующий одному шагу, обычно принимается равным идеальной пятой части с соотношением 3/2, определяющим 3- предел только настройки. Точки решетки соответствуют целым числам, причем точка в позиции x помечена значением шага 3 ^x / 2 ^y для числа y, выбранного таким образом, чтобы результирующее значение лежало в диапазоне от 1 до 2. Таким образом, A (0) = 1, а вокруг него - значения

... 128/81, 32/27, 16/9, 4/3, 1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, ...

• В двумерном случае, соответствующем 5-предельной настройке, интервалы, определяющие решетку, представляют собой идеальную пятую часть и большую треть с соотношением 5/4. Это дает квадратную решетку, в которой точка в позиции ( x , y ) помечена значением 3 ^x 5 ^y 2 ^z . Опять же, z выбрано как уникальное целое число, которое заставляет результирующее значение лежать в интервале [1,2).
• Трехмерный случай аналогичен, но добавляет седьмую гармонику к набору определяющих интервалов, что приводит к кубической решетке, в которой точка в позиции ( x , y , z ) помечена значением 3 ^x 5 ^y 7 ^z 2 ^w с w, выбранным таким образом, чтобы это значение лежало в интервале [1,2).

После того, как решетка и ее маркировка зафиксированы, выбирается n узлов решетки, отличных от начала координат, значения которых близки либо к 1, либо к 2. Векторы от начала до каждого из этих специальных узлов называются векторами унисона . Эти векторы определяют подрешетку исходной решетки, которая имеет фундаментальную область, которая в двумерном случае представляет собой параллелограмм, ограниченный унисонными векторами и их сдвинутыми копиями, а в трехмерном случае является параллелепипедом . Эти области образуют плитки в мозаике исходной решетки.

Плитка имеет площадь или объем, заданные абсолютным значением определителя матрицы векторов унисона: то есть в двумерном случае, если векторами унисона являются u и v , так что а затем площадь двумерного тайла является${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {x}, u_ {y})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y})}$

${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} u_ {x} & u_ {y} \\ v_ {x} & v_ {y} \ end {matrix}} \ right | = u_ {x} v_ {y} -u_ {y} v_ {x}.}$

Каждая плитка называется блоком периодичности Фоккера . Площадь каждого блока всегда является натуральным числом, равным количеству узлов, попадающих в каждый блок.

Примеры [ править ]

Пример 1. Возьмем двумерную решетку идеальных пятых (соотношение 3/2) и простых третей (соотношение 5/4). Выберите запятые 128/125 (в знак сноску в виде двойного крестик , расстояние , на котором три только основные трети дотягивают октавы, около 41 центов ) и 81/80 (в синтонной запятой , разница между четырьмя квинтами и только третью крупной, о 21,5 цента). Результатом является блок из двенадцати, показывающий, как равная темперация из двенадцати тонов приближается к соотношению 5- предельного .

Пример 2: Однако, если бы мы отклонили диэзис как вектор унисона и вместо этого выбрали бы разницу между пятью основными третями (минус октава) и четвертой, 3125/3072 (около 30 центов), результатом будет блок из 19 , показывая, как 19-TET приближается к соотношению 5-предела.

Пример 3: В трехмерной решетке идеальных квинт, только основных третей и только малых седьмых (соотношение 7/4), идентификация синтонной запятой, семеричной клеймы (225/224, около 8 центов) и соотношение 1029/1024 (разница между тремя семеричными целыми тонами и идеальной пятой, около 8,4 цента) приводит к блоку 31, показывая, как 31-TET аппроксимирует отношения предела 7 .

Математические характеристики блоков периодичности [ править ]

Блоки периодичности образуют вторичную наклонную решетку, наложенную на первую. Эту решетку можно задать функцией φ:

${\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+(x,y){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}}$

что на самом деле является линейной комбинацией :

${\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+x\mathbf {u} +y\mathbf {v} }$

где точка ( x ₀ , y ₀ ) может быть любой точкой, предпочтительно не узлом первичной решетки, и предпочтительно так, чтобы точки φ (0,1), φ (1,0) и φ (1,1) не были никаких узлов тоже.

Тогда принадлежность первичных узлов к блокам периодичности может быть проверена аналитически с помощью обратной функции φ:

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(x,y):=\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle ={\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right) \over u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}}{\begin{pmatrix}v_{y}&-u_{y}\\-v_{x}&u_{x}\end{pmatrix}}}$

Позволять

${\displaystyle \nu _{B}(x,y):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ),}$

${\displaystyle \mu _{B}(x,y):=\nu _{B}(\phi _{B}^{-1}(x,y)),}$

то пусть шаг B ( х , у ) принадлежит к шкале М _Б тогда и только тогда т.е.${\displaystyle \mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0),}$

${\displaystyle M_{B}=\{B(x,y):\mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0)\}.}$

Для одномерного случая:

${\displaystyle \phi _{A}(x):=x_{0}+Lx}$

где L - длина вектора унисона,

${\displaystyle \phi _{A}^{-1}(x)={x-x_{0} \over L}}$

${\displaystyle \mu _{A}(x):=\left\lfloor {x-x_{0} \over L}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle M_{A}=\{A(x):\mu _{A}(x)=\mu _{A}(0)\}.}$

Для трехмерного случая

${\displaystyle \phi _{C}(x,y,z):=(x_{0},y_{0},z_{0})+(x,y,z){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \phi _{C}^{-1}(x,y,z)={((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})) \over \Delta }{\begin{pmatrix}v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y}&u_{z}w_{y}-u_{y}w_{z}&u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y}\\v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z}&u_{x}w_{z}-u_{z}w_{x}&u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}\\v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}&u_{y}w_{x}-u_{x}w_{y}&u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}\end{pmatrix}}}$

где - определитель матрицы унисонных векторов.${\displaystyle \Delta =u_{x}v_{y}w_{z}+u_{y}v_{z}w_{x}+u_{z}v_{x}w_{y}-u_{x}v_{z}w_{y}-u_{y}v_{x}w_{z}-u_{z}v_{y}w_{x}}$

${\displaystyle \nu _{C}(x,y,z):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor )}$

${\displaystyle \mu _{C}(x,y,z):=\nu _{C}(\phi _{C}^{-1}(x,y,z))}$

${\displaystyle M_{C}=\{C(x,y,z):\mu _{C}(x,y,z)=\mu _{C}(0,0,0)\}.}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Фоккер, А.Д. (1969), "Векторы унисона и блоки периодичности в трехмерной (3-5-7-) гармонической решетке нот" , Proc. Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen , B72 (3).
• Пол Эрлих, (1999), Нежное введение в блоки периодичности Фоккера: Часть 1 ; Часть 2 ; и Т. Д.