PSL (2,7)

В математике , то проективная специальная линейная группа PSL (2, 7) , изоморфна GL (3, 2) , является конечной простой группой , которая имеет важное применение в алгебре , геометрии и теории чисел . Это группа автоморфизмов из квартике Клейна , а также группа симметрии в плоскости Фано . С 168 элементами, PSL (2, 7) является наименьшей неабелевой простой группой после альтернированной группы A ₅ с 60 элементами, изоморфной PSL (2, 5).

Определение

Линейная группа GL (2, 7) состоит из всех обратимых 2 × 2 матриц над F ₇ года конечным полем с 7 элементами. У них ненулевой определитель. Подгруппа SL (2, 7) состоит из всех таких матриц с единичным детерминантом . Тогда PSL (2, 7) определяется как фактор-группа

SL (2, 7) / {I, −I}

полученный отождествлением I и −I, где I - единичная матрица . В этой статье мы обозначаем G любую группу, изоморфную PSL (2, 7) .

Характеристики

G = PSL (2, 7) имеет 168 элементов. Это можно увидеть, посчитав возможные столбцы; есть 7 ² - 1 = 48 возможностей для первого столбца, затем 7 ² - 7 = 42 возможности для второго столбца. Мы должны разделить на 7 - 1 = 6, чтобы определить детерминант, равный единице, а затем мы должны разделить на 2, когда мы отождествляем I и −I. Результат: (48 × 42) / (6 × 2) = 168 .

Это общий результат , который PSL ( п , д ) является простым для п , д ≥ 2 ( кв быть некоторая степень простого числа), если ( п , д ) = (2, 2) или  (2, 3) . PSL (2, 2) является изоморфной к симметрической группой S ₃ и PSL (2, 3) изоморфна знакопеременной группе А ₄ . Фактически, PSL (2, 7) является вторым по величине неабелевымпростая группа, после знакопеременной группы A ₅ = PSL (2, 5) = PSL (2, 4) .

Количество классов сопряженности и неприводимых представлений - 6. Размеры классов сопряженности - 1, 21, 42, 56, 24, 24. Размерности неприводимых представлений 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Таблица символов

${\displaystyle {\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},}$

куда:

${\displaystyle \sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.}$

В следующей таблице описаны классы сопряженности с точки зрения порядка элемента в классе, размера класса, минимального многочлена каждого представителя в GL (3, 2) и обозначения функции для представителя в PSL (2 , 7). Обратите внимание, что классы 7A и 7B меняются автоморфизмом, поэтому представители из GL (3, 2) и PSL (2, 7) могут переключаться произвольно.

Порядок группы 168 = 3 × 7 × 8 , отсюда следует существование силовских подгрупп порядков 3, 7 и 8. Первые две легко описать, они циклические, так как любая группа простого порядка циклическая . Любой элемент класса сопряженности 3 A ₅₆ порождает силовскую 3-подгруппу. Любой элемент из классов сопряженности 7 A ₂₄ , 7 B ₂₄ порождает силовскую 7-подгруппу. Силовская 2-подгруппа является диэдральной группой порядка 8 . Его можно описать как централизатор любого элемента из класса сопряженности 2 A ₂₁ . В ГЛ (3, 2) представлении силовская 2-подгруппа состоит из верхнетреугольных матриц.

Эта группа и ее силовская 2-подгруппа представляют собой контрпример для различных теорем о нормальном p-дополнении для p = 2 .

Действия на проективных пространствах

G = PSL (2, 7) действует дробно-линейным преобразованием на проективной прямой P ¹ (7) над полем из 7 элементов:

${\displaystyle {\text{For }}\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{PSL}}(2,7){\text{ and }}x\in \mathbb {P} ^{1}\!(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}.}$

Любой сохраняющий ориентацию автоморфизм P ¹ (7) возникает таким образом, и поэтому G = PSL (2, 7) можно рассматривать геометрически как группу симметрий проективной прямой P ¹ (7); полная группа проективных линейных автоморфизмов с возможным изменением ориентации - это расширение PGL (2, 7) порядка 2 , а группа коллинеаций проективной прямой - это полная симметрическая группа точек.

Тем не менее, PSL (2, 7) также изоморфна с PSL (3, 2) ( = SL (3, 2) = GL (3, 2) ), специальная (общая) линейная группа из 3 × 3 матриц над полем с 2 элементами. Аналогичным образом G = PSL (3, 2) действует на проективную плоскость P ² (2) над полем с двумя элементами, также известную как плоскость Фано :

Для и${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\text{PSL}}(3,2)\ \ }$${\displaystyle \ \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {P} ^{2}\!(2),\ \ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}}$

Опять же, каждый автоморфизм P ² (2) возникает таким образом, и поэтому G = PSL (3, 2) геометрически можно рассматривать как группу симметрий этой проективной плоскости. Плоскость Фано может быть использована для описания умножения октонионов , поэтому G действует на множестве таблиц октонионов умножения.

Симметрии квартики Клейна

Квартика Klein проективное многообразие над комплексными числами C , определяемой квартике полинома

Икс ³ Y + Y ³ Z + Z ³ Икс знак равно 0.

Это компактная риманова поверхность рода g = 3, и это единственная такая поверхность, для которой размер группы конформных автоморфизмов достигает максимума 84 ( g −1). Эта оценка связана с теоремой Гурвица об автоморфизмах , которая верна для всех g > 1. Такие « поверхности Гурвица » редки; следующий род, для которого любое существует, - это g = 7 , а следующий за ним - g = 14 .

Как и всем поверхностям Гурвица , квартике Клейна можно задать метрику постоянной отрицательной кривизны, а затем выложить ее правильными (гиперболическими) семиугольниками , как частное от семиугольной мозаики порядка 3 , с симметриями поверхности как римановой поверхности или алгебраическая кривая точно такая же, как симметрии мозаики. Для квартики Клейна это дает разбиение на 24 семиугольника, и порядок G , таким образом, связан с тем фактом, что 24 × 7 = 168 . Кроме того, его можно разбить на 56 равносторонних треугольников с 24 вершинами, каждая из степеней 7, как частное от треугольной мозаики порядка 7 .

Квартика Клейна возникает во многих областях математики, в том числе теории представлений, теории гомологии, октонионов умножения последней теоремы Ферма и теоремы Старка о мнимых квадратичных числовых полей класса № 1.

Группа Матье

PSL (2, 7) максимальная подгруппа группы Матье M ₂₁ ; группы M ₂₁ и M ₂₄ могут быть построены как расширения PSL (2, 7) . Эти расширения могут быть интерпретированы в терминах мозаики квартики Клейна, но не реализованы геометрическими симметриями мозаики. ^[1]

Действия перестановки

Группа PSL (2, 7) действует на различных конечных множествах:

• В своей первоначальной интерпретации как PSL (2, 7) , сохраняющие ориентацию линейные автоморфизмы проективной прямой P ¹ ( F ₇ ), он действует транзитивно на 8 точек со стабилизатором порядка 21, фиксирующим данную точку. Он также действует 2-транзитивно со стабилизатором порядка 3 на каждую пару точек; и он имеет две орбиты на тройках точек с тривиальным стабилизатором на каждой тройке. (Большая группа PGL (2, 7) действует точно 3-транзитивно.)
• Интерпретируемый как PGL (3, 2) , линейные автоморфизмы плоскости Фано P ² ( F ₂ ), он действует 2-транзитивно на 7 точек, причем стабилизатор порядка 24 фиксирует каждую точку, а стабилизатор порядка 4 фиксирует каждую пару точек. точки.
• Интерпретируемый как автоморфизмы мозаики квартики Клейна, он действует транзитивно на 24 вершины (или двойственно на 24 семиугольника) со стабилизатором порядка 7 (соответствует повороту вокруг вершины / семиугольника).
• Интерпретируемая как подгруппа группы Матье M ₂₁ , подгруппа действует нетранзитивно в 21 точке.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Браун, Эзра; Лоер, Николас (2009). "Почему PSL (2,7) ≅ GL (3,2)?" (PDF) . Являюсь. Математика. Пн . 116 (8): 727–732. DOI : 10.4169 / 193009709X460859 . Zbl  1229.20046 . Архивировано из оригинального (PDF) 09.10.2016 . Проверено 27 сентября 2014 .

внешние ссылки

• Восьмеричный путь: красота четвертой кривой Кляйна (Сильвио Леви, ред.)
• Результаты этой недели по математической физике - неделя 214 (Джон Баэз)
• Клейн квартик в теории чисел (Ноам Элкис)
• Проективная специальная линейная группа: PSL (3, 2)