В математике , то проективная специальная линейная группа PSL (2, 7) , изоморфна GL (3, 2) , является конечной простой группой , которая имеет важное применение в алгебре , геометрии и теории чисел . Это группа автоморфизмов из квартике Клейна , а также группа симметрии в плоскости Фано . С 168 элементами, PSL (2, 7) является наименьшей неабелевой простой группой после альтернированной группы A 5 с 60 элементами, изоморфной PSL (2, 5).
Линейная группа GL (2, 7) состоит из всех обратимых 2 × 2 матриц над F 7 года конечным полем с 7 элементами. У них ненулевой определитель. Подгруппа SL (2, 7) состоит из всех таких матриц с единичным детерминантом . Тогда PSL (2, 7) определяется как фактор-группа
полученный отождествлением I и −I, где I - единичная матрица . В этой статье мы обозначаем G любую группу, изоморфную PSL (2, 7) .
G = PSL (2, 7) имеет 168 элементов. Это можно увидеть, посчитав возможные столбцы; есть 7 2 - 1 = 48 возможностей для первого столбца, затем 7 2 - 7 = 42 возможности для второго столбца. Мы должны разделить на 7 - 1 = 6, чтобы определить детерминант, равный единице, а затем мы должны разделить на 2, когда мы отождествляем I и −I. Результат: (48 × 42) / (6 × 2) = 168 .
Это общий результат , который PSL ( п , д ) является простым для п , д ≥ 2 ( кв быть некоторая степень простого числа), если ( п , д ) = (2, 2) или (2, 3) . PSL (2, 2) является изоморфной к симметрической группой S 3 и PSL (2, 3) изоморфна знакопеременной группе А 4 . Фактически, PSL (2, 7) является вторым по величине неабелевымпростая группа, после знакопеременной группы A 5 = PSL (2, 5) = PSL (2, 4) .
Количество классов сопряженности и неприводимых представлений - 6. Размеры классов сопряженности - 1, 21, 42, 56, 24, 24. Размерности неприводимых представлений 1, 3, 3, 6, 7, 8.
Таблица символов
куда:
В следующей таблице описаны классы сопряженности с точки зрения порядка элемента в классе, размера класса, минимального многочлена каждого представителя в GL (3, 2) и обозначения функции для представителя в PSL (2 , 7). Обратите внимание, что классы 7A и 7B меняются автоморфизмом, поэтому представители из GL (3, 2) и PSL (2, 7) могут переключаться произвольно.
Заказ | Размер | Мин Поли | Функция |
---|---|---|---|
1 | 1 | х + 1 | Икс |
2 | 21 год | х 2 + 1 | −1 / х |
3 | 56 | х 3 + 1 | 2 х |
4 | 42 | х 3 + х 2 + х + 1 | 1 / (3 - х ) |
7 | 24 | х 3 + х +1 | х + 1 |
7 | 24 | х 3 + х 2 + 1 | х + 3 |
Порядок группы 168 = 3 × 7 × 8 , отсюда следует существование силовских подгрупп порядков 3, 7 и 8. Первые две легко описать, они циклические, так как любая группа простого порядка циклическая . Любой элемент класса сопряженности 3 A 56 порождает силовскую 3-подгруппу. Любой элемент из классов сопряженности 7 A 24 , 7 B 24 порождает силовскую 7-подгруппу. Силовская 2-подгруппа является диэдральной группой порядка 8 . Его можно описать как централизатор любого элемента из класса сопряженности 2 A 21 . В ГЛ (3, 2) представлении силовская 2-подгруппа состоит из верхнетреугольных матриц.
Эта группа и ее силовская 2-подгруппа представляют собой контрпример для различных теорем о нормальном p-дополнении для p = 2 .
G = PSL (2, 7) действует дробно-линейным преобразованием на проективной прямой P 1 (7) над полем из 7 элементов:
Любой сохраняющий ориентацию автоморфизм P 1 (7) возникает таким образом, и поэтому G = PSL (2, 7) можно рассматривать геометрически как группу симметрий проективной прямой P 1 (7); полная группа проективных линейных автоморфизмов с возможным изменением ориентации - это расширение PGL (2, 7) порядка 2 , а группа коллинеаций проективной прямой - это полная симметрическая группа точек.
Тем не менее, PSL (2, 7) также изоморфна с PSL (3, 2) ( = SL (3, 2) = GL (3, 2) ), специальная (общая) линейная группа из 3 × 3 матриц над полем с 2 элементами. Аналогичным образом G = PSL (3, 2) действует на проективную плоскость P 2 (2) над полем с двумя элементами, также известную как плоскость Фано :
Опять же, каждый автоморфизм P 2 (2) возникает таким образом, и поэтому G = PSL (3, 2) геометрически можно рассматривать как группу симметрий этой проективной плоскости. Плоскость Фано может быть использована для описания умножения октонионов , поэтому G действует на множестве таблиц октонионов умножения.
Квартика Klein проективное многообразие над комплексными числами C , определяемой квартике полинома
Это компактная риманова поверхность рода g = 3, и это единственная такая поверхность, для которой размер группы конформных автоморфизмов достигает максимума 84 ( g −1). Эта оценка связана с теоремой Гурвица об автоморфизмах , которая верна для всех g > 1. Такие « поверхности Гурвица » редки; следующий род, для которого любое существует, - это g = 7 , а следующий за ним - g = 14 .
Как и всем поверхностям Гурвица , квартике Клейна можно задать метрику постоянной отрицательной кривизны, а затем выложить ее правильными (гиперболическими) семиугольниками , как частное от семиугольной мозаики порядка 3 , с симметриями поверхности как римановой поверхности или алгебраическая кривая точно такая же, как симметрии мозаики. Для квартики Клейна это дает разбиение на 24 семиугольника, и порядок G , таким образом, связан с тем фактом, что 24 × 7 = 168 . Кроме того, его можно разбить на 56 равносторонних треугольников с 24 вершинами, каждая из степеней 7, как частное от треугольной мозаики порядка 7 .
Квартика Клейна возникает во многих областях математики, в том числе теории представлений, теории гомологии, октонионов умножения последней теоремы Ферма и теоремы Старка о мнимых квадратичных числовых полей класса № 1.
PSL (2, 7) максимальная подгруппа группы Матье M 21 ; группы M 21 и M 24 могут быть построены как расширения PSL (2, 7) . Эти расширения могут быть интерпретированы в терминах мозаики квартики Клейна, но не реализованы геометрическими симметриями мозаики. [1]
Группа PSL (2, 7) действует на различных конечных множествах: