История логарифмов является историей переписки (в современной терминологии группы изоморфизм ) между умножением на положительных действительных числах и сложением на реальном числовой прямом , которая была формализованная в семнадцатом веке в Европе и был широко используется для упрощения расчета до появления цифрового компьютера. Впервые логарифмы Напьера были опубликованы в 1614 году. Генри Бриггс ввел обычные (с основанием 10) логарифмы , которые было проще использовать. Таблицы логарифмов публиковались во многих формах на протяжении четырех столетий. Идея логарифмов также была использована для построения логарифмической линейки., который стал повсеместным в науке и технике до 1970-х годов. Прорыв в создании натурального логарифма стал результатом поиска выражения площади на фоне прямоугольной гиперболы и потребовал ассимиляции новой функции в стандартной математике.
Десятичный логарифм
Поскольку десятичный логарифм равен единице, сотне - двум, а тысяча - трем, концепция десятичных логарифмов очень близка к десятично-позиционной системе счисления. Считается, что у общего журнала есть основание 10, но основание 10 000 является древним и до сих пор распространено в Восточной Азии . В своей книге Псаммит , Архимед использовал несметный в качестве основы системы чисел , предназначенной для подсчета песчинок во Вселенной. Как было отмечено в 2000 году: [1]
- В древности Архимед дал рецепт уменьшения умножения до сложения, используя геометрическую прогрессию чисел и соотнося их с арифметической прогрессией .
В 1616 году Генри Бриггс посетил Джона Нэпьера в Эдинбурге , чтобы обсудить предложенное изменение логарифмов Нэпьера. В следующем году он снова посетил его с той же целью. Во время этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом, и по возвращении из своего второго визита в Эдинбург в 1617 году он опубликовал первую хилиаду своих логарифмов.
В 1624 году Бриггс опубликовал свою Arithmetica Logarithmica в фолио, работу, содержащую логарифмы тридцати тысяч натуральных чисел с точностью до четырнадцати десятичных знаков (от 1 до 20 000 и от 90 001 до 100 000). Позже эта таблица была расширена Адрианом Влаком , но до 10 мест, и Александром Джоном Томпсоном до 20 мест в 1952 году.
Бриггс был одним из первых, кто использовал конечно-разностные методы для вычисления таблиц функций. [2] [3] Он также завершил таблицу логарифмических синусов и тангенсов для сотой части каждого градуса до четырнадцати знаков после запятой, с таблицей натуральных синусов до пятнадцати знаков и касательных и секущих для тех же десяти знаков, все из них были напечатаны в Гауда в 1631 году и опубликованы в 1633 году под названием Trigonometria Britannica ; эта работа, вероятно, была преемником его 1617 года Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в котором дается краткое описание логарифмов и длинная таблица первых 1000 целых чисел, вычисленных до 14-го десятичного знака.
Натуральный логарифм
В 1649 году Альфонс Антонио де Sarasa , бывший студент Грегуар де Сен-Венсан , [4] , связанные логарифмы к квадратуре гиперболы, указав, что площадь ( т ) при гиперболы от х = 1 до х = t удовлетворяет [5]
Сначала реакция на гиперболический логарифм Сен-Винсента была продолжением исследований квадратуры, как у Христиана Гюйгенса (1651) [6] и Джеймса Грегори (1667). [7] Впоследствии индустрия создания логарифмов возникла как «logaritmotechnia», так назывались работы Николаса Меркатора (1668 г.), [8] Евклида Спейделла (1688 г.) [9] и Джона Крейга (1710 г.) [10]
Используя геометрический ряд с условным радиусом сходимости , переменный ряд, называемый рядом Меркатора, выражает функцию логарифма на интервале (0,2). Поскольку ряд отрицательный в (0,1), «площадь под гиперболой» должна считаться здесь отрицательной, поэтому показатель со знаком вместо чисто положительной площади определяет гиперболический логарифм.
Историк Том Уайтсайд описал переход к аналитической функции следующим образом: [11]
- К концу 17-го века мы можем сказать, что функция логарифма, во многом основанная на модели области гиперболы, была принята в математику гораздо больше, чем просто вычислительное устройство с хорошо составленными таблицами. Когда в XVIII веке от этого геометрического базиса отказались в пользу полностью аналитического, в расширении или переформулировке не потребовалось - понятие «гипербола-площадь» безболезненно трансформировалось в «натуральный логарифм».
Леонард Эйлер рассматривал логарифм как показатель степени некоторого числа, называемого основанием логарифма. Он отметил, что число 2,71828 и обратное ему дают такую точку на гиперболе xy = 1, что площадь в одну квадратную единицу лежит под гиперболой, справа от (1,1) и над асимптотой гиперболы. Затем он назвал логарифм, взяв это число за основу, натуральным логарифмом .
Как отметил Говард Ивс , «одной из аномалий в истории математики является тот факт, что логарифмы были обнаружены до того, как стали использоваться показатели степени». [12] Карл Б. Бойер писал: «Эйлер был одним из первых, кто трактовал логарифмы как экспоненты, как это теперь уже стало привычным способом». [13]
Пионеры логарифмов
Предшественники
В Вавилоне иногда в 2000-1600 г. до н.э. , возможно, изобрел квадрат умножения четверти алгоритм умножения двух чисел , используя только сложение, вычитание и таблицу четвертных квадратов. [14] [15] Таким образом, такая таблица служила той же цели, что и таблицы логарифмов, которые также позволяют вычислять умножение с помощью сложения и поиска в таблице. Однако метод четверти квадрата не может быть использован для деления без дополнительной таблицы обратных величин (или знания достаточно простого алгоритма для генерации обратных величин ). Большие таблицы четвертей квадратов использовались для упрощения точного умножения больших чисел с 1817 года и до тех пор, пока это не было заменено использованием компьютеров. [ необходима цитата ]
Индийский математик Вирасена работал с концепцией ардхаччеда: сколько раз число в форме 2n могло быть уменьшено вдвое. Для точных степеней двойки это равно двоичному логарифму, но отличается от логарифма для других чисел. Он описал формулу продукта для этой концепции, а также ввел аналогичные концепции для основания 3 (тракачеда) и основания 4 (чатуртачеда). [16]
Майкл Стифель опубликовал в Нюрнберге в 1544 году « Арифметику интегрирования» , которая содержит таблицу [17] целых чисел и степеней двойки , которая считалась ранней версией таблицы двоичных логарифмов . [18] [19]
В 16-м и начале 17-го веков для аппроксимации умножения и деления использовался алгоритм, называемый простаферезисом . Это использовало тригонометрическое тождество
или аналогичное преобразование умножения в сложение и поиск в таблице. Однако логарифмы более просты и требуют меньше усилий. Используя формулу Эйлера, можно показать , что эти два метода связаны.
Bürgi
Швейцарский математик Йост Бюрджи построил таблицу прогрессий, которую можно рассматривать как таблицу антилогарифмов [20] независимо от Джона Напьера , чья публикация (1614 г.) была известна к тому времени, когда Бюрджи был опубликован по указанию Иоганна Кеплера . Мы знаем, что Бурджи имел некоторый способ упростить вычисления примерно в 1588 году, но, скорее всего, этим способом было использование протокафереза, а не использование его таблицы прогрессий, которая, вероятно, восходит к 1600 году. Действительно, Виттих, который был в Касселе с 1584 года. в 1586 г. он принес с собой знания о простафаэрезе , методе, с помощью которого умножение и деление можно заменить сложением и вычитанием тригонометрических значений ... Эта процедура дает то же самое, что и логарифмы несколькими годами позже.
Napier
Метод логарифмов был публично предложен Джоном Нэпиром в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Описание чудесного правила логарифмов ). [21] [22]
Иоганн Кеплер , который широко использовал таблицы логарифмов для составления своих эфемерид и поэтому посвятил их Нэпиеру, [23] заметил:
... акцент в вычислениях привел Юстуса Биргиуса [Joost Bürgi] к этим самым логарифмам за много лет до появления системы Напьера; но ... вместо того, чтобы воспитывать своего ребенка на благо общества, он оставил его при рождении.
- Иоганн Кеплер [24] , Таблицы Рудольфина (1627).
Напье представил две точки P и Q, движущиеся вниз по двум линиям, одна из которых имеет бесконечную длину, а другая конечную. Точка конечной длины замедлилась, когда достигла конца линии, так что на самом деле так и не достигла ее. Он использовал расстояние между P и Q, чтобы определить логарифм. [25]
Путем повторных вычитаний Напье вычислил (1 - 10 −7 ) L для L в диапазоне от 1 до 100. Результат для L = 100 составляет приблизительно 0,99999 = 1 - 10 −5 . Напьер затем вычислили продукты этих чисел с 10 7 (1 - 10 -5 ) L для L от 1 до 50, и сделал аналогично с 0,9998 ≈ (1 - 10 -5 ) 20 и 0,9 ≈ 0,995 20 . [26] Эти вычисления, занявшие 20 лет, позволили ему дать для любого числа N от 5 до 10 миллионов число L, которое решает уравнение
Напье сначала назвал L «искусственным числом», но позже ввел слово «логарифм» для обозначения числа, обозначающего соотношение: λόγος ( логос ) означает пропорцию, а ἀριθμός ( арифмос ) означает число. В современных обозначениях отношение к натуральным логарифмам следующее : [27]
где очень близкое приближение соответствует наблюдению, что
Изобретение было быстро и широко встречено. Работы Бонавентура Кавальери (Италия), Эдмунд Уингейт (Франция), Сюэ Fengzuo (Китай), и Johannes Kepler «s Chilias logarithmorum (Германия) способствовало дальнейшему распространению концепции. [28]
Эйлер
Около 1730 года Леонард Эйлер определил экспоненциальную функцию и натуральный логарифм формулами [29] [30] [31]
В своем учебнике 1748 года « Введение в анализ бесконечного» Эйлер опубликовал теперь стандартный подход к логарифмам через обратную функцию : в главе 6 «Об экспонентах и логарифмах» он начинает с постоянной базы a и обсуждает трансцендентную функцию. Тогда его обратный логарифм:
- z = журнал а у .
Таблицы логарифмов
Математические таблицы, содержащие десятичный логарифм (основание 10), широко использовались в вычислениях до появления компьютеров и калькуляторов не только потому, что логарифмы преобразовывают задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания, но и для дополнительного уникального свойства. до основания 10 и оказывается полезным: любое положительное число может быть выражено как произведение числа из интервала [1,10) и целой степени 10. Это можно представить как сдвиг десятичного разделителя данного числа на слева дает положительный результат, а справа дает отрицательный показатель степени 10. Только логарифмы этих нормализованных чисел (аппроксимированных определенным количеством цифр), которые называются мантиссами , должны быть занесены в списки с аналогичной точностью (a аналогичное количество цифр). Все эти мантиссы положительны и заключены в интервал [0,1) . Затем десятичный логарифм любого положительного числа получается путем прибавления его мантиссы к десятичному логарифму второго множителя. Этот логарифм называется характеристикой данного числа. Поскольку десятичный логарифм степени 10 является показателем степени, характеристика представляет собой целое число, что делает десятичный логарифм исключительно полезным при работе с десятичными числами. Для чисел меньше 1 характеристика делает результирующий логарифм отрицательным, если требуется. [32] См. Десятичный логарифм для получения подробной информации об использовании характеристик и мантисс.
Ранние столы
Майкл Стифель опубликовал в Нюрнберге в 1544 году « Арифметику интегра», содержащую таблицу [33] целых чисел и степеней двойки, которая считалась ранней версией логарифмической таблицы. [18] [19]
Метод логарифмов был публично предложен Джоном Нэпиром в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Описание чудесного правила логарифмов ). [34] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительных материалов и девяносто страниц таблиц, связанных с натуральными логарифмами . Английский математик Генри Бриггс посетил Napier в 1615, и предложил повторное масштабирование логарифмов Непера , чтобы сформировать то , что теперь известно как общее , или по основанию 10 логарифмов. Напье поручил Бриггсу вычисление пересмотренной таблицы, и они позже опубликовали, в 1617 году, Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в котором дается краткий отчет о логарифмах и таблице для первых 1000 целых чисел, рассчитанных до 14-го числа. десятичный разряд.
В 1624 году в фолио появилась его Arithmetica Logarithmica - работа, содержащая логарифмы тридцати тысяч натуральных чисел с точностью до четырнадцати десятичных знаков (1–20 000 и от 90 001 до 100 000). Позже эта таблица была расширена Адрианом Влаком , но до 10 мест, и Александром Джоном Томпсоном до 20 мест в 1952 году.
Бриггс был одним из первых, кто использовал конечно-разностные методы для вычисления таблиц функций. [2] [3]
Позже было обнаружено, что таблица Влакка содержит 603 ошибки, но «это не может считаться большим числом, если учесть, что таблица была результатом первоначального расчета и что более 2 100 000 напечатанных цифр подвержены ошибкам». [35] Издание работы Vlacq, содержа много исправлений, был выпущен в Лейпциге в 1794 году под названием Тезаурус Logarithmorum Completus по Jurij Vega .
В семизначной таблице Франсуа Калле ( Париж , 1795 г.) вместо того, чтобы остановиться на 100000, были даны восьмизначные логарифмы чисел от 100000 до 108000, чтобы уменьшить ошибки интерполяции , которые были наибольшими в ранней части. таблицы, и это дополнение обычно включается в семизначные таблицы. Единственное важное опубликованное расширение таблицы Влака было сделано г-ном Сангом в 1871 году, чья таблица содержала семизначные логарифмы всех чисел меньше 200000.
Бриггс и Влак также опубликовали оригинальные таблицы логарифмов тригонометрических функций . Бриггс заполнил таблицу логарифмических синусов и логарифмических тангенсов для сотой части каждого градуса до четырнадцати десятичных знаков, с таблицей натуральных синусов для пятнадцати знаков и касательных и секущих для тех же десяти знаков, которые были напечатаны в Гауда. в 1631 г. и опубликовано в 1633 г. под названием « Британская тригонометрия» . Табличные логарифмы тригонометрических функций упрощают ручные вычисления, когда функция угла должна быть умножена на другое число, как это часто бывает.
Помимо упомянутых выше таблиц , под эгидой французского республиканского правительства 1790-х годов под руководством Гаспара де Прони была создана большая коллекция, которая называется « Таблицы кадастра» . Эта работа, которая содержала логарифмы всех чисел от 100000 до девятнадцати знаков и чисел от 100000 до 200000 до двадцати четырех знаков, существует только в рукописи «в семнадцати огромных фолиантах» Парижской обсерватории. Он был начат в 1792 году, и «все расчеты, которые для обеспечения большей точности были выполнены в двух экземплярах, а две рукописи, впоследствии тщательно сопоставленные, были завершены в короткие два года». [36] Кубическая интерполяция может использоваться для нахождения логарифма любого числа с аналогичной точностью.
Для различных нужд были составлены таблицы логарифмов от небольших справочников до многотомных изданий: [37]
Год | Автор | Диапазон | Десятичные разряды | Примечание |
---|---|---|---|---|
1617 | Генри Бриггс , Logarithmorum Chilias Prima | 1–1000 | 14 | см изображение |
1624 | Генри Бриггс Arithmetica Logarithmica | 1–20 000, 90 000–100 000 | 14 | |
1628 | Адриан Влак | 20 000–90 000 | 10 | содержало всего 603 ошибки [38] |
1792–94 | Gaspard de Prony Tables du Cadastre | 1–100 000 и 100 000–200 000 | 19 и 24 соответственно | «семнадцать огромных фолиантов», [36] никогда не публиковались |
1794 | Юрий Вега Тезаурус Logarithmorum Completus ( Лейпциг ) | исправленная редакция работы Влака | ||
1795 | Франсуа Калле ( Париж ) | 100 000–108 000 | 7 | |
1871 г. | Пел | 1–200 000 | 7 |
Логарифмическая линейка
Логарифмическая линейка была изобретена около 1620-1630, вскоре после того, как Джон Напье публикации «s из концепции логарифм . Эдмунд Гюнтер из Оксфорда разработал вычислительное устройство с единой логарифмической шкалой; с дополнительными измерительными инструментами его можно было использовать для умножения и деления. Первое описание этой шкалы было опубликовано в Париже в 1624 году английским математиком Эдмундом Вингейтом (около 1593–1656) в книге под названием « L'usage de la reigle de ratio en l'arithmetique & geometrie» . Книга содержит двойную шкалу, с одной стороны логарифмическую, с другой - табличную. В 1630 году Уильям Отред из Кембриджа изобрел круговую логарифмическую линейку, а в 1632 году объединил две ручные логарифмические линейки Гюнтера, чтобы создать устройство, которое является узнаваемой современной логической линейкой. Как и его современник в Кембридже Исаак Ньютон , Отред частным образом преподавал свои идеи своим ученикам. Как и Ньютон, он стал вовлечен в яростную полемику по поводу приоритета со своим бывшим учеником Ричардом Деламеном и предыдущими утверждениями Вингейта. Идеи Отреда были обнародованы только в публикациях его ученика Уильяма Форстера в 1632 и 1653 годах.
В 1677 году Генри Коггесхолл создал двухфутовую складную линейку для измерения древесины, названную логарифмической линейкой Coggeshall , расширив возможности использования логарифмической линейки за пределы математических исследований.
В 1722 году Уорнер представил двух- и трехдесятилетную шкалу, а в 1755 году Эверард ввел перевернутую шкалу; логарифмическая линейка, содержащая все эти шкалы, обычно называется «многофазным» правилом.
В 1815 году Питер Марк Роже изобрел логарифмическую логарифмическую линейку, которая включала шкалу, отображающую логарифм логарифма. Это позволяло пользователю напрямую выполнять вычисления с использованием корней и показателей степени. Это было особенно полезно для дробных степеней.
В 1821 году Натаниэль Боудич описал в « American Practical Navigator » «скользящее правило», которое содержало тригонометрические функции шкалы на фиксированной части и строку логарифмических синусов и логарифмов на ползунке, используемом для решения задач навигации.
В 1845 году Пол Кэмерон из Глазго представил навигационное правило скольжения, способное отвечать на вопросы навигации, включая прямое восхождение и склонение солнца и главных звезд. [39]
Современная форма
Более современная форма логарифмической линейки была создана в 1859 году французским лейтенантом артиллерии Амеде Мангейм , «которому повезло, что его правила были созданы фирмой с национальной репутацией и они были приняты французской артиллерией». Примерно в это же время инженерное дело стало признанной профессией, что привело к широкому распространению логарифмической линейки в Европе, но не в Соединенных Штатах. Здесь цилиндрическая линейка Эдвина Тэчера утвердилась после 1881 года. Дуплексная линейка была изобретена Уильямом Коксом в 1891 году и произведена компанией Keuffel and Esser Co. из Нью-Йорка. [40] [41]
Рекомендации
- ^ Ян Брюс (2000) «Логарифмы Нэпьера», Американский журнал физики 68 (2): 148, DOI: 10,1119 / 1,19387
- ^ а б Брюс, I. (2002). «Агония и экстаз: развитие логарифмов Генри Бриггса». Математический вестник . 86 (506): 216–227. DOI : 10.2307 / 3621843 . JSTOR 3621843 .
- ^ а б «Различный метод Генри Бриггса» . Архивировано из оригинала на 2012-03-29 . Проверено 24 апреля 2012 .
- ^ В 1647, Грегуар де Сен-Венсан опубликовал свою книгу, Opus geometricum quadraturae Circuli ЕТ sectionum CONI (Геометрическая работу квадратуры круга и конических сечений), т. 2 (Антверпен, (Бельгия): Йоханнес и Якоб Мерсиус, 1647). На странице 586 , Предложение CIX, он доказывает, что если абсциссы точек находятся в геометрической пропорции, то площади между гиперболой и абсциссами находятся в арифметической пропорции. Это открытие позволило бывшему ученику Сент-Винсента, Альфонсу Антонио де Сараса, доказать, что площадь между гиперболой и абсциссой точки пропорциональна логарифму абсциссы, тем самым объединив алгебру логарифмов с геометрией гипербол. См .: Альфонс Антонио де Сараса, Solutio problematis a RP Marino Mersenne Minimo propositi ... [Решение проблемы, предложенное преподобным отцом Марином Мерсенном, членом Минимального порядка ...], (Антверпен, (Бельгия): Йоханнес и Якоб Мерсиус, 1649). Критическое открытие Сарасы происходит на странице 16 (в нижней части страницы), где он заявляет: «Unde hae superficies Suppre Possunt locum logarithmorum datorum ...» (откуда эти области могут заполнять место данных логарифмов ...). [Другими словами, площади пропорциональны логарифмам.]
См. Также: Энрике А. Гонсалес-Веласко, Путешествие по математике: творческие эпизоды в ее истории (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, 2011), стр. 118. - ^ Альфонс Антонио де Сараса, Solutio problematis a RP Marino Mersenne Minimo propositi ... [Решение проблемы, предложенное преподобным отцом Марином Мерсенном, членом Минимального порядка ...], (Антверпен, (Бельгия): Йоханнес и Якоб Мерсиус, 1649 г.).
Сараса понял, что, учитывая гиперболу и пару точек вдоль оси абсцисс, которые связаны геометрической прогрессией, тогда, если абсциссы точек были умножены вместе, абсцисса их произведения имела площадь под гиперболой, которая равнялась сумме площади точек под гиперболой. То есть логарифм абсциссы был пропорционален площади под гиперболой, соответствующей этой абсциссе. Это открытие объединило алгебру логарифмов с геометрией гиперболических кривых.- Критическое открытие Сарасы происходит на странице 16 (в нижней части страницы), где он заявляет: «Unde hae superficies Suppre Possunt locum logarithmorum datorum ...» (откуда эти области могут заполнять место данных логарифмов ...). [Другими словами, площади пропорциональны логарифмам.]
- См. Также: Энрике А. Гонсалес-Веласко, Путешествие по математике: творческие эпизоды в ее истории (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, 2011), стр. 119–120.
- ^ Христиан Гюйгенс (1651) Теорема квадратурных гипербол, многоточие и т. Д.
- ^ Джеймс Грегори (1667) Quadraturii ди Circuli и др гипербола
- ^ Николас Меркатор (1668) Логарифмотехния от HathiTrust
- ^ Евклид Спейделл (1688) Logarithmotechnia: создание чисел, называемых логарифмами в Google Книгах
- ^ Джон Крейг (1710) Logarithmotechnia Generalis (Метод создания логарифмов) , Философские операции Королевского общества через Библиотеку наследия биоразнообразия
- ^ Дерек Томас Уайтсайд (1961) «Образцы математической мысли в конце семнадцатого века», Архив истории точных наук 1 (3): 179–388, § III.1. Логарифм как функция типа, стр. 214–231, цитата p 231
- ^ Х. Ивс (1976) Введение в историю математики , 4-е издание, стр. 250, Холт, Райнхарт и Уинстон
- ↑ CB Boyer & Uta C. Merzbach (1989) История математики , 2-е издание, стр. 496 John Wiley & Sons
- ^ МакФарланд, Дэвид (2007), Квартальные таблицы: еще раз: предыдущие таблицы, разделение труда при построении таблиц и более поздние реализации в аналоговых компьютерах , стр. 1
- ^ Робсон, Элеонора (2008). Математика в Древнем Ираке: Социальная история . п. 227 . ISBN 978-0691091822.
- ^ Гупта, Р. К. (2000), «История математики в Индии» , в Хойберге, Дейл ; Рамчандани, Инду (ред.), Студенческая Британника Индии: избранные эссе , Popular Prakashan, стр. 329
- ^ Стифелио, Михаэле (1544), Arithmetica Integra , Нюрнберг: Иоан Петрейум
- ^ а б Бухштаб, АА; Печаев В.И. (2001) [1994], "Арифметика" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ^ а б Вивиан Шоу Гроза и Сюзанна М. Шелли (1972), Precalculus Mathematics , New York: Holt, Rinehart and Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
- ^ Jost Bürgi, Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen … [Таблицы арифметической и геометрической прогрессии…], (Прага, (Чешская Республика): University [of Prague] Press, 1620). Доступно в Интернете по адресу: Баварская государственная библиотека, Германия.
К сожалению, Бюрги не приложил к своей таблице инструкции по ее использованию. Ни таблица, ни инструкции не были опубликованы, видимо были распечатаны только пробные листы таблицы. Содержание инструкций было воспроизведено в: Hermann Robert Gieswald, Justus Byrg als Mathematiker, und dessen Einleitung zu seinen Logarithmen [Justus Byrg как математик и введение в его логарифмы] (Данциг, Пруссия: St. Johannisschule, 1856), страницы 26 и далее. - ^ Напье, Джон (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [ Описание чудесного правила логарифмов ] (на латыни), Эдинбург, Шотландия: Эндрю Харт
- ^ Хобсон, Эрнест Уильям (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 , Кембридж: The University Press
- ^ Гладстон-Миллар, Линн (2003), Джон Нэпьер: Логарифм Джон , Национальные музеи Шотландии, ISBN 978-1-901663-70-9, п. 44 год
- ^ Напье, Марк (1834), Мемуары Джона Напьера из Мерчистона , Эдинбург: Уильям Блэквуд, п. 392.
- ^ «Подход Нэпьера к логарифмам» .
- ^ Кларк, Кэтлин М .; Монтель, Милосердие (2015). «Логарифмы: ранняя история знакомой функции - Джон Напье вводит логарифмы» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки . Проверено 12 декабря 2015 .
- ^ Уильям Харрисон Де Пюи (1893 г.), Британская энциклопедия: словарь искусств, наук и общей литературы; репринт Р.С. Пила , 17 (9-е изд.), Werner Co., p. 179
- ^ Маор, Эли (2009), e: The Story of a Number , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-14134-3, раздел 2
- ^ Maor 2009 , разделы 1, 13
- ^ Eves, Говард Уитли (1992), Введение в историю математики , Серия Сондерса (6-е изд.), Филадельфия: Сондерс, ISBN 978-0-03-029558-4, раздел 9-3
- ^ Бойер, Карл Б. (1991), История математики , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-54397-8, п. 484, 489
- ^ Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
- ^ Стифелио, Микаэле (1544), Arithmetica Integra , Лондон: Иоан Петрейум
- ^ Эрнест Уильям Хобсон (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 , Кембридж: The University Press
- ↑ Athenaeum, 15 июня 1872 г. См. Также Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества за май 1872 г.
- ^ a b Английская циклопедия, биография, Vol. IV., Статья «Прони».
- ^ Рой, А.Е. (2004), Орбитальное движение (4-е изд.), CRC Press, стр. 236, ISBN 9781420056884,
Во времена Г. Дарвина таблицы логарифмов были разных размеров.
- ^ «это не может считаться большим числом, если учесть, что таблица была результатом первоначального расчета и что более 2100000 напечатанных цифр подвержены ошибкам», Athenaeum, 15 июня 1872 г. См. также Glaisher, в Monthly Notices of the Royal Astronomical Society for May 1872, pp255-262.
- ↑ «Морское правило Кэмерона», журнал «Практический механик и инженер», апрель 1845 г., стр. 187 и пластина XX-B.
- ^ Kells, Lyman M .; Керн, Уиллис Ф .; Блэнд, Джеймс Р. (1943). Правило скольжения для дуплексной децитриги Log-Log № 4081: Руководство . Койфель и Эссер. п. 92. Архивировано из оригинала 14 февраля 2009 года.
- ^ Правило полифазного дуплекса, самообучающееся руководство , Брекенридж, 1922, стр. 20.
Первоисточники
- Генри Бриггс (1624) Arithmetica Logarithmica
- Грегуар де Сен-Винсент (1647) Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni
- Христиан Гюйгенс (1651) Теорема квадратуры, гиперболы, многоточие и круг , в Oeuvres Complètes , Том XI, ссылка из Интернет-архива .
- Джеймс Грегори (1667) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura , Padua: Patavii, через Интернет-архив
- Уильям Браункер (1667) Квадрат гиперболы , Философские труды Лондонского королевского общества , сокращенное издание 1809 г., т. I, стр. 233–6, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия .
- Николас Меркатор (1668) Logarithmitechnia , Лондон
Вторичные источники
- Фрэнсис Масерес (1791) Scriptores Logarithmici, или собрание нескольких любопытных трактатов о природе и построении логарифмов , ссылка из Google Книги .
- Карл Бопп (1907) "Die Kegelschnitte der Gregorius a St. Vincentio", Abhandlungen zum Geschichte der Mathematische Wissenschaft , XX Heft.
- Флориан Каджори (1913) «История концепций экспоненты и логарифма», American Mathematical Monthly 20: страницы 5–14 , страницы 35–47 , страницы 75–84 , страницы 107–117 , страницы 148–151 , страницы 173–182 , страницы с 205 по 210 , ссылки из Jstor
- Джордж А. Гибсон (1922) «Математическая работа Джеймса Грегори», Труды Эдинбургского математического общества 41: 2–25 и (вторая серия) 1: 1–18.
- Кристоф Дж. Скриба (1983) «Сходящаяся двойная последовательность Грегори: новый взгляд на противоречие между Гюйгенсом и Грегори по поводу« аналитической »квадратуры круга», Historia Mathematica 10: 274–85.
- RC Pierce (1977) «Краткая история логарифма», двухлетний журнал математики колледжа 8 (1): 22–6.
- К.М. Кларк (2012) «Приоритет, параллельное открытие и превосходство: Напье, Бурджи и ранняя история логарифмического отношения», Revue d'histoire de Mathematique 18 (2): 223–70.
Внешние ссылки
- Рафаэль Вильярреал-Кальдерон (2008) Рубка бревен: взгляд на историю и использование бревен , The Montana Mathematical Enthusiast 5 (2,3): 237–44, ссылка из Университета Монтаны
- Мартин Флэшман История логарифмов от Государственного университета Гумбольдта;