Икосагон

Обычный икосагон
Обычный икосагон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	20
Символ Шлефли	{20}, т {10}, тт {5}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D ₂₀ ), порядок 2 × 20
Внутренний угол ( градусы )	162 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , icosagon или 20-угольник представляет собой двадцать-сторонний многоугольник . Сумма внутренних углов любого икосагона составляет 3240 градусов.

Обычный икосагон [ править ]

Регулярно icosagon имеет символ шлефл ${20}$ , а также может быть выполнен в виде усеченного десятиугольника , $т {10}$ , или дважды усеченный пятиугольник , $тт {5}$ .

Один внутренний угол в правильном икосагоне равен 162 °, что означает, что один внешний угол будет составлять 18 °.

Площадь регулярного icosagon с длиной ребра $т$ является

{\ displaystyle A = {5} t ^ {2} (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}) \ simeq 31.5687t ^ {2}. }

С точки зрения радиуса $R$ его описанной окружности , площадь равна

{\ displaystyle A = {\ frac {5R ^ {2}} {2}} ({\ sqrt {5}} - 1);}

поскольку площадь круга представляет собой обычный икосагон, который заполняет приблизительно 98,36% его описанной окружности, это также поможет обеспечить безопасность информации, содержащейся в каждом документе. ${\ displaystyle \ pi R ^ {2},}$

Использует [ редактировать ]

Большое колесо из популярного американского игрового шоу The Price Is Right имеет икосогональное поперечное сечение.

«Глобус», театр под открытым небом, используемый актерской труппой Уильяма Шекспира, было обнаружено, что он был построен на икосогональном фундаменте, когда в 1989 году были проведены частичные раскопки ^[1].

Как голигональный путь, свастика считается неправильным икосагоном. ^[2]

Правильный квадрат, пятиугольник и икосугольник могут полностью заполнить вершину плоскости .

Строительство [ править ]

Поскольку $20 = 2 2 \times 5$ , правильный икосугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , или путем деления ребер пополам правильного десятиугольника , или правильного пятиугольника, разделенного пополам :

Построение правильного икосагона

Построение правильного десятиугольника

Золотое сечение в икосагоне [ править ]

В конструкции с заданной длиной стороны дуга окружности вокруг $C$ с радиусом $CD$ делит отрезок $E 20 F$ в соотношении золотого сечения.

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {E_ {20} E_ {1}}} {\ overline {E_ {1} F}}} = {\ frac {\ overline {E_ {20} F}} {\ overline {E_ {20} E_ {1}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ varphi \ приблизительно 1,618}

Икосагон с заданной длиной стороны, анимация (конструкция очень похожа на десятиугольник с заданной длиной стороны)

Симметрия [ править ]

Симметрии правильного икосогона. Вершины раскрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркала прорисовываются через вершины, а фиолетовые зеркала - через края. В центре даны приказы гирации.

Регулярный icosagon имеет DIH 20 симметрии , порядка 40. Есть 5 подгрупп двугранные симметрии: $(DIH 10, DIH 5)$ и $(DIH 4, DIH 2 и DIH 1)$ и 6 циклических групп симметрии: $(Z 20, Z 10, Z 5)$ и ( $Z 4, Z 2, Z 1)$ .

Эти 10 симметрий можно увидеть в 16 различных симметриях на икосогоне, большее число, потому что линии отражений могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. ^[3] Полная симметрия регулярной формы - $r40,$ и никакая симметрия не помечена как $a1$ . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( $d$ для диагонали) или ребра ( $p$ для перпендикуляров), и $i,$ когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой $g$ для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа $g20$ не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Наивысший симметрии нерегулярные icosagons являются $d20$ , изогональный icosagon построены десять зеркал , которые могут чередоваться длинные и короткие края, и $р20$ , isotoxal icosagon, построенная с равными длинами ребер, но вершины чередующихся двух разных внутренних углов. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного икосагона.

Рассечение [ править ]

20-угольник с 180 ромбами
обычный	Изотоксал

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (а $2 м$ -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на $м (м -1) / 2$ параллелограммов. ^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для икосагона $m = 10$ , и его можно разделить на 45: 5 квадратов и 4 набора по 10 ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции 10-куба Петри с 45 гранями из 11520. Список OEIS : A006245 насчитывает количество решений как 18 410 581 880, включая до 20-кратные повороты и хиральные формы в отражении.

Рассечение на 45 ромбов
10-куб

Связанные полигоны [ править ]

Icosagram является 20-сторонний звезда многоугольника , представленный символом ${20 / N}$ . Символы Шлефли имеют три правильные формы : ${20/3}$ , ${20/7}$ и ${20/9}$ . Также есть пять правильных звездных фигур (составных) с одинаковым расположением вершин : $2 {10}$ , $4 {5}$ , $5 {4}$ , $2 {10/3}$ , $4 {5/2}$ и $10 {2}.$ .

п	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{20/1} = {20}	{20/2} = 2 {10}	{20/3}	{20/4} = 4 {5}	{20/5} = 5 {4}
Внутренний угол	162 °	144 °	126 °	108 °	90 °
п	6	7	8	9	10
Форма	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{20/6} = 2 {10/3}	{20/7}	{20/8} = 4 {5/2}	{20/9}	{20/10} = 10 {2}
Внутренний угол	72 °	54 °	36 °	18 °	0 °

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут создавать изогональные ( переходные по вершинам ) промежуточные формы икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. ^[5]

Обычную икосаграмму, ${20/9}$ , можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, $t {10/9} = {20/9}$ . Аналогично декаграмме , ${10/3}$ имеет квазиусечение $t {10/7} = {20/7}$ , и, наконец, простое усечение декаграммы дает $t {10/3} = {20/3}$ .

Икосаграммы как усечения правильных декагонов и декаграмм, {10}, {10/3}
Квазирегулярный					Квазирегулярный
t {10} = {20}					т {10/9} = {20/9}
т {10/3} = {20/3}					т {10/7} = {20/7}

Полигоны Петри [ править ]

Правильный икосагон - это многоугольник Петри для ряда многомерных многогранников, показанных в ортогональных проекциях на плоскости Кокстера :

А ₁₉	В ₁₀		D ₁₁	E ₈	H ₄	½2H ₂	2H ₂
19-симплекс	10-ортоплекс	10-куб	11-полукуб	(4 21 )	600 ячеек	Великая антипризма	10-10 дуопирамид	10-10 дуопризма

Это также многоугольник Петри для икосаэдра с 120 ячейками , с маленькими звездчатыми ячейками с 120 ячейками , с большим икосаэдрическим с 120 ячейками и с большой большой ячейкой с 120 ячейками .

Ссылки [ править ]

↑ Мюриэл Притчетт, Университет Джорджии, «Покрыть земной шар». Архивировано 10 июня 2010 г. на Wayback Machine , см. Также примечание редактора, полученное 10 января 2016 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Икосагон» . MathWorld .
^ Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шафли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278)
^ Кокстер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр.141
^ Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

Внешние ссылки [ править ]

Именование многоугольников и многогранников
икосагон

[1] Мюриэл Притчетт, Университет Джорджии, «Покрыть земной шар». Архивировано 10 июня 2010 г. на Wayback Machine , см. Также примечание редактора, полученное 10 января 2016 г.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Икосагон» . MathWorld .

[3] Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шафли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278)

[4] Кокстер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр.141

[5] Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

[1].

vтеПолигоны ( Список )
Треугольники	Острый Равносторонний Идеально Равнобедренный Тупой Правильно
Четырехугольники	Антипараллелограмм Бицентрический Циклический Равдиагональный Эксантангенциальный Гармонический Равнобедренная трапеция летающий змей Ламберт Ортодиагональный Параллелограмм Прямоугольник Правый змей Ромб Саккери Квадрат Тангенциальный Тангенциальная трапеция Трапеция
По количеству сторон	Моногон (1) Дигон (2) Треугольник (3) Четырехугольник (4) Пентагон (5) Шестиугольник (6) Гептагон (7) Восьмиугольник (8) Нонагон (Эннеагон, 9) Десятиугольник (10) Хендекагон (11) Додекагон (12) Трехугольник (13) Тетрадекагон (14) Пентадекагон (15) Шестиугольник (16) Гептадекагон (17) Восьмиугольник (18) Эннеадекагон (19) Икосагон (20) Икосидигон (22) Икоситригон (23) Икоситетракон (24) Икозигексагон (26) Икозиоктагон (28) Триаконтагон (30) Триаконтадигон (32) Триаконтатетрагон (34) Тетраконтагон (40) Тетраконтадигон (42) Тетраконтаоктагон (48) Пентаконтагон (50) Шестиугольник (60) Гексаконтатетрагон (64) Гептаконтагон (70) Октаконтагон (80) Эннаконтагон (90) Эннеаконтагексагон (96) Гектогон (100) 120-угольник 257-угольник 360-угольник Чилигон (1000) Мириагон (10,000) 65537-угольник Мегагон (1000000) Апейрогон (∞)
Звездные многоугольники	Пентаграмма Гексаграмма Гептаграмма Октаграмма Эннеаграмма Декаграмма Хендекаграмма Додекаграмма
Классы	Вогнутый Выпуклый Циклический Равносторонний Равносторонний Изогональный Изотоксал Псевдотреугольник Обычный Рейнхардт Простой Перекос В форме звезды Тангенциальный