В математике - в частности, в стохастическом анализе - диффузия Ито представляет собой решение определенного типа стохастического дифференциального уравнения . Это уравнение похоже на уравнение Ланжевена, используемое в физике для описания броуновского движения частицы, находящейся под действием потенциала в вязкой жидкости. Диффузии Ито названы в честь японского математика Киёси Ито .
Обзор
( Однородная по времени ) диффузия Ито в n- мерном евклидовом пространстве R n - это процесс X : [0, + ∞) × Ω → R n, определенный на вероятностном пространстве (Ω, Σ, P ) и удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению формы
где В представляет собой м - мерное броуновское движение и б : R п → R п и σ: R п → R п × м удовлетворяют обычную Липшицу непрерывности условию
для некоторой постоянной C и всех x , y ∈ R n ; это условие обеспечивает существование единственного сильного решения X приведенного выше стохастического дифференциального уравнения. Векторное поле б известно как дрейф коэффициент от X ; матрица поля σ известен как коэффициент диффузии из X . Важно отметить, что b и σ не зависят от времени; если бы они зависели от времени, X можно было бы назвать только процессом Ито , а не диффузией. Диффузии Ито обладают рядом хороших свойств, в том числе:
- непрерывность образца и Феллера ;
- марковость ;
- сильная марковость ;
- наличие бесконечно малого генератора ;
- наличие характеристического оператора ;
- Формула Дынкина .
В частности, диффузия Ито - это непрерывный, сильно марковский процесс, такой, что область определения его характеристического оператора включает все дважды непрерывно дифференцируемые функции, поэтому это диффузия в смысле, определенном Дынкиным (1965).
Непрерывность
Непрерывность образца
Диффузия Ито X является выборочным непрерывным процессом , т. Е. Почти для всех реализаций B t (ω) шума X t (ω) является непрерывной функцией временного параметра t . Точнее, существует «непрерывная версия» X , непрерывный процесс Y, так что
Это следует из стандартной теории существования и единственности сильных решений стохастических дифференциальных уравнений.
Феллеровская преемственность
В дополнение к непрерывности (образца), диффузия Ито X удовлетворяет более строгим требованиям, чтобы быть непрерывным по Феллеру процессом .
Для точки x ∈ R n пусть P x обозначает закон X при заданной исходной системе данных X 0 = x , а E x обозначает математическое ожидание относительно P x .
Пусть f : R n → R - измеримая по Борелю функция , ограниченная снизу, и определим для фиксированного t ≥ 0 u : R n → R формулой
- Полунепрерывность снизу : если f полунепрерывно снизу, то u полунепрерывно снизу.
- Непрерывность по Феллеру: если f ограничена и непрерывна, то u непрерывна.
Поведение указанной выше функции u при изменении времени t рассматривается обратным уравнением Колмогорова, уравнением Фоккера – Планка и т. Д. (См. Ниже).
Марковское свойство
Марковское свойство
Распространение Ито X обладает важным свойством марковости : будущее поведение X , учитывая то, что произошло до некоторого времени t , такое же, как если бы процесс был начат в позиции X t в момент времени 0. Точная математика Формулировка этого утверждения требует дополнительных обозначений:
Пусть Σ * обозначим естественную фильтрацию из (Q, Е) , порожденную броуновского движения B : для т ^ 0,
Легко показать , что X является адаптированным к Е * (т.е. каждый X т есть Σ т -измеримая), поэтому естественная фильтрация F * = F * X из (Q, S) , порожденная X имеет F т ⊆ Σ т для каждый t ≥ 0.
Пусть f : R n → R - ограниченная измеримая по Борелю функция. Тогда для всех t и h ≥ 0 условное ожидание, обусловленное σ-алгеброй Σ t, и ожидание процесса, "перезапущенного" из X t, удовлетворяют марковскому свойству :
Фактически, X также является марковским процессом относительно фильтрации F ∗ , как показывает следующее:
Сильное марковское свойство
Сильное марковское свойство является обобщением марковского свойства, приведенного выше, в котором t заменяется подходящим случайным моментом τ: Ω → [0, + ∞], известным как момент остановки . Так, например, вместо того, чтобы «перезапускать» процесс X в момент времени t = 1, можно «перезапустить» всякий раз, когда X впервые достигает некоторой заданной точки p на R n .
Как и раньше, пусть f : R n → R - ограниченная измеримая по Борелю функция. Пусть τ - момент остановки по отношению к фильтрации Σ ∗ с τ <+ ∞ почти наверное . Тогда для всех h ≥ 0
Генератор
Определение
С каждой диффузией Ито связан оператор в частных производных второго порядка, известный как генератор диффузии. Генератор является очень полезным во многих приложениях и кодирует большое количество информации о процессе X . Формально инфинитезимальный генератор диффузии Ито X - это оператор A , который определен как действующий на подходящие функции f : R n → R формулой
Множество всех функций f, для которых этот предел существует в точке x , обозначается D A ( x ), а D A обозначает множество всех f, для которых предел существует для всех x ∈ R n . Можно показать, что любая функция f C 2 с компактным носителем (дважды дифференцируемая с непрерывной второй производной) лежит в D A и что
или, в терминах градиента и скалярных внутренних произведений и Фробениуса ,
Пример
Генератор A для стандартного n- мерного броуновского движения B , который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению d X t = d B t , имеет вид
- ,
т.е. A = Δ / 2, где Δ обозначает оператор Лапласа .
Уравнения Колмогорова и Фоккера – Планка.
Генератор используется при формулировке обратного уравнения Колмогорова. Интуитивно это уравнение сообщает нам, как ожидаемое значение любой подходящей гладкой статистики X изменяется во времени: оно должно решать определенное уравнение в частных производных, в котором время t и начальное положение x являются независимыми переменными. Точнее, если f ∈ C 2 ( R n ; R ) имеет компактный носитель и u : [0, + ∞) × R n → R определяется равенством
тогда u ( t , x ) дифференцируема по t , u ( t , ·) ∈ D A для всех t , и u удовлетворяет следующему уравнению в частных производных , известному как обратное уравнение Колмогорова :
Уравнение Фоккера-Планка (также известный как вперед уравнение Колмогорова ) в каком - то смысле « сопряженный » для обратного уравнения, и говорит нам , как функции плотности вероятности от X т с течением времени эволюционируют т . Пусть ρ ( t , ·) - плотность X t относительно меры Лебега на R n , т. Е. Для любого измеримого по Борелю множества S ⊆ R n ,
Пусть * обозначим эрмитово сопряженный с А (по отношению к L 2 скалярное произведение ). Тогда, учитывая, что начальное положение X 0 имеет заданную плотность ρ 0 , ρ ( t , x ) дифференцируемо по t , ρ ( t , ·) ∈ D A * для всех t , а ρ удовлетворяет следующему частному дифференциалу уравнение, известное как уравнение Фоккера – Планка :
Формула Фейнмана – Каца
Формула Фейнмана – Каца является полезным обобщением обратного уравнения Колмогорова. Опять же, f принадлежит C 2 ( R n ; R ) и имеет компактный носитель, а q : R n → R считается непрерывной функцией , ограниченной снизу. Определим функцию v : [0, + ∞) × R n → R следующим образом:
Формула Фейнмана – Каца утверждает, что v удовлетворяет уравнению в частных производных
Более того, если w : [0, + ∞) × R n → R является C 1 во времени, C 2 в пространстве, ограниченным на K × R n для всех компактных K и удовлетворяет вышеуказанному уравнению в частных производных, то w должно быть v, как определено выше.
Обратное уравнение Колмогорова является частным случаем формулы Фейнмана – Каца, в которой q ( x ) = 0 для всех x ∈ R n .
Характеристический оператор
Определение
Характеристический оператор диффузии Ито X является оператором в частных производных, тесно связанным с генератором, но несколько более общим. Он больше подходит для определенных задач, например, для решения проблемы Дирихле .
Характеристический оператор диффузии Ито X определяется как
где множества U образуют последовательность открытых множеств U k , убывающих до точки x в том смысле, что
а также
первый раз , когда выход из U для X .обозначает множество всех f, для которых этот предел существует для всех x ∈ R n и всех последовательностей { U k }. Если E x [τ U ] = + ∞ для всех открытых множеств U, содержащих x , определим
Связь с генератором
Характеристический оператор и инфинитезимальный генератор очень тесно связаны и даже совпадают для большого класса функций. Можно показать, что
и это
В частности, генератор и характеристический оператор согласуются для всех C 2 функций f , и в этом случае
Приложение: броуновское движение на римановом многообразии.
Выше вычислен генератор (и, следовательно, характеристический оператор) броуновского движения на R n, равный ½Δ, где Δ обозначает оператор Лапласа. Характеристический оператор полезен при определении броуновского движения на m -мерном римановом многообразии ( M , g ): броуновское движение на M определяется как диффузия на M , характеристический оператор которойв локальных координатах x i , 1 ≤ i ≤ m , задается как ½Δ LB , где Δ LB - оператор Лапласа-Бельтрами, заданный в локальных координатах формулой
где [ g ij ] = [ g ij ] −1 в смысле обратной квадратной матрицы .
Оператор резольвенты
В общем случае генератор A диффузии Ито X не является ограниченным оператором . Однако, если из A вычесть положительное кратное единичного оператора I, то полученный оператор обратим. Обратный к этому оператору может быть выражен через сам X с помощью оператора резольвенты .
При α> 0 резольвентный оператор R α , действующий на ограниченные непрерывные функции g : R n → R , определяется формулой
Используя непрерывность диффузии X по Феллеру, можно показать, что R α g сама является ограниченной непрерывной функцией. Также R α и α I - A взаимно обратные операторы:
- если f : R n → R - это C 2 с компактным носителем, то для всех α> 0
- если g : R n → R ограничен и непрерывен, то R α g лежит в D A и для всех α> 0
Инвариантные меры
Иногда необходимо найти инвариантную меру для диффузии Ито X , т. Е. Меру на R n , которая не изменяется под действием «потока» X : т. Е. Если X 0 распределен в соответствии с такой инвариантной мерой μ ∞ , то X t также распределяется согласно μ ∞ для любого t ≥ 0. Уравнение Фоккера – Планка предлагает способ найти такую меру, по крайней мере, если оно имеет функцию плотности вероятности ρ ∞ : если X 0 действительно распределено согласно инвариантной меры μ ∞ с плотностью ρ ∞ , то плотность ρ ( t , ·) X t не меняется с t , поэтому ρ ( t , ·) = ρ ∞ , и поэтому ρ ∞ должно решать (не зависящую от времени) уравнение в частных производных
Это иллюстрирует одну из связей между стохастическим анализом и изучением уравнений в частных производных. И наоборот, данное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка вида Λ f = 0 может быть трудно решить напрямую, но если Λ = A ∗ для некоторой диффузии Ито X и инвариантная мера для X легко вычисляется, то Плотность меры обеспечивает решение уравнения в частных производных.
Инвариантные меры для градиентных потоков
Инвариантную меру сравнительно легко вычислить, когда процесс X представляет собой стохастический градиентный поток вида
где β> 0 играет роль обратной температуры, а Ψ: R n → R - скалярный потенциал, удовлетворяющий подходящим условиям гладкости и роста. В этом случае уравнение Фоккера – Планка имеет единственное стационарное решение ρ ∞ (т.е. X имеет единственную инвариантную меру μ ∞ с плотностью ρ ∞ ) и задается распределением Гиббса :
где статистическая сумма Z определяется выражением
Кроме того, плотность р ∞ удовлетворяет вариационный принцип : он минимизирует по всей плотности вероятности р на R н в свободной энергии функциональной F , заданной
где
играет роль энергетического функционала, а
является отрицательным от функционала энтропии Гиббса-Больцмана. Даже когда потенциал Ψ недостаточно хорош для определения статистической суммы Z и меры Гиббса μ ∞ , свободная энергия F [ρ ( t , ·)] по-прежнему имеет смысл для каждого момента времени t ≥ 0, при условии, что начальное условие имеет F [ρ (0, ·)] <+ ∞. Функционал свободной энергии F фактически является функцией Ляпунова для уравнения Фоккера – Планка: F [ρ ( t , ·)] должен убывать с увеличением t . Таким образом, F представляет собой Н -функции для X -dynamics.
Пример
Рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека X на R n, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению
где m ∈ R n и β, κ> 0 - заданные постоянные. В этом случае потенциал Ψ определяется выражением
и поэтому инвариантная мера для X является гауссовой мерой с плотностью ρ ∞, задаваемой формулой
- .
Эвристически, для больших t , X t приблизительно нормально распределено со средним m и дисперсией (βκ) -1 . Выражение для дисперсии можно интерпретировать следующим образом: большие значения κ означают, что потенциальная яма Ψ имеет «очень крутые стороны», поэтому маловероятно , что X t уйдет далеко от минимума Ψ при m ; аналогично, большие значения β означают, что система довольно «холодная» с небольшим шумом, поэтому, опять же, маловероятно , что X t удалится далеко от m .
Мартингейл недвижимость
В общем, диффузия Ито X не является мартингалом . Однако для любого f ∈ C 2 ( R n ; R ) с компактным носителем процесс M : [0, + ∞) × Ω → R, определенный равенством
где является генератором X , является мартингалом относительно естественной фильтрации Р * из (Ω, Σ) с помощью X . Доказательство довольно просто: из обычного выражения действия генератора на достаточно гладкие функции f и леммы Ито ( правило стохастической цепочки ) следует, что
Поскольку Ито интегралы мартингалы относительно естественной фильтрации Е * из (Q, S) по B , для т > s ,
Следовательно, как и требовалось,
так как М ы является Р с -измеримым.
Формула Дынкина
Формула Дынкина, названная в честь Евгения Дынкина , дает ожидаемое значение любой подходящей гладкой статистики диффузии Ито X (с генератором A ) в момент остановки. А именно, если τ - момент остановки с E x [τ] <+ ∞, а f : R n → R - это C 2 с компактным носителем, то
Формулу Дынкина можно использовать для расчета многих полезных статистических данных о времени остановки. Например, каноническое броуновское движение на реальной прямой, начинающейся с 0, выходит из интервала (- R , + R ) в случайное время τ R с ожидаемым значением
Формула Дынкина предоставляет информацию о поведении X в довольно общий момент остановки. Для получения дополнительной информации о распределении X в момент срабатывания можно изучить гармоническую меру процесса.
Сопутствующие меры
Гармоническая мера
Во многих ситуациях достаточно знать, когда диффузия Ито X сначала покинет измеримое множество H ⊆ R n . То есть хочется изучить время первого выхода.
Иногда, однако, также желательно знать распределение точек, в которых X выходит из множества. Например, каноническое Броуновское движение Б на прямой , начиная с 0 выходит из интервала (-1, 1) при -1 с вероятностью ½ и через 1 с вероятностью ½, так что B τ (-1, 1) будет равномерно распределен на установить {−1, 1}.
В общем, если G является компактно вложено в пределах R п , то гармоническая мера (или ударять распределение ) из X на границе ∂ G из G является мерой μ G х определяется
для й ∈ G и F ⊆ ∂ G .
Возвращаясь к предыдущему примеру броуновского движения, можно показать, что если B - броуновское движение в R n с началом в x ∈ R n и D ⊂ R n - открытый шар с центром в x , то гармоническая мера B на ∂ D является инвариантным относительно всех вращений из D о х и совпадает с нормированной поверхностной мерой на ∂ D .
Гармоническая мера удовлетворяет интересному свойству среднего значения : если f : R n → R - любая ограниченная функция, измеримая по Борелю и φ задается формулой
то для всех борелевских множеств G ⊂⊂ Н , и все х ∈ G ,
Свойство среднего значения очень полезно при решении уравнений в частных производных с использованием случайных процессов .
Мера Грина и формула Грина
Пусть A - оператор в частных производных в области D ⊆ R n, и пусть X - диффузия Ито с A в качестве генератора. Наглядно мера Грина борелевского множество H является ожидаемой продолжительностью времени, X остается в H , прежде чем он покинет область D . То есть, мера Грина из X по отношению к D , при х , обозначается С ( х , ·), определяется для борелевских множеств H ⊆ R п по
или для ограниченных непрерывных функций f : D → R формулой
Название «Зеленая мера» происходит от того факта, что если X - броуновское движение, то
где G ( х , у ) является функцией Грина для оператора ½Δ на домене D .
Предположим , что Е х [τ D ] <+ ∞ для всех х ∈ D . Тогда формула Грина верна для всех f ∈ C 2 ( R n ; R ) с компактным носителем:
В частности, если носитель F является компактно вложено в D ,
Смотрите также
- Процесс диффузии
Рекомендации
- Дынкин, Евгений Б .; пер. Дж. Фабиус; В. Гринберг; А. Майтра; Дж. Майон (1965). Марковские процессы. Тт. I, II . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. Нью-Йорк: Academic Press Inc. МИСТЕР0193671
- Джордан, Ричард; Киндерлерер, Дэвид; Отто, Феликс (1998). «Вариационная формулировка уравнения Фоккера – Планка». SIAM J. Math. Анальный . 29 (1): 1–17 (в электронном виде). CiteSeerX 10.1.1.6.8815 . DOI : 10.1137 / S0036141096303359 . МИСТЕР1617171
- Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1. МИСТЕР2001996 (см. Разделы 7, 8 и 9)