Неогукевское твердое тело

Нео-Гук твердое вещество ^[1] является гиперупругим материалом модели, подобно закону Гук , который может быть использован для прогнозирования нелинейного поведения напряжения-деформации материалов , подвергающихся большие деформации . Модель была предложена Рональдом Ривлином в 1948 году. В отличие от линейно-упругих материалов кривая напряжения-деформации неогуковского материала не является линейной . Вместо этого зависимость между приложенным напряжением и деформацией изначально является линейной, но в определенный момент кривая напряжения-деформации выйдет на плато. Неогуковская модель не учитывает диссипативнуювыделение энергии в виде тепла при деформации материала и совершенная эластичность предполагается на всех этапах деформации.

Неогуковская модель основана на статистической термодинамике сшитых полимерных цепей и применима для пластмасс и резиноподобных веществ. Сшитые полимеры будут действовать неогуковским образом, потому что первоначально полимерные цепи могут перемещаться относительно друг друга при приложении напряжения. Однако в определенный момент полимерные цепи будут растянуты до максимальной точки, допускаемой ковалентными поперечными связями, и это вызовет резкое увеличение модуля упругости материала. Неогуковская модель материала не предсказывает это увеличение модуля при больших деформациях и обычно точна только для деформаций менее 20%. ^[2] Модель также неадекватна для двухосных напряженных состояний и была замененаМодель Муни-Ривлина .

Функция плотности энергии деформации для несжимаемого неогуковского материала в трехмерном описании имеет вид

${\ displaystyle W = C_ {1} (I_ {1} -3)}$

где - материальная постоянная, а - первый инвариант ( след ) правого тензора деформации Коши-Грина , т. е.${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle I_ {1}}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}$

где являются основными растягивает . ^[1]${\displaystyle \lambda _{i}}$

Для сжимаемого неогуковского материала функция плотности энергии деформации определяется выражением

${\displaystyle W=C_{1}~(I_{1}-3-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$

где - постоянная материала, а - градиент деформации . Можно показать, что в 2D функция плотности энергии деформации имеет вид${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle W=C_{1}~(I_{1}-2-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}}$

Существует несколько альтернативных составов сжимаемых материалов неогуковского периода, например:

${\displaystyle W=C_{1}~({\bar {I}}_{1}-3)+\left({\frac {C_{1}}{6}}+{\frac {D_{1}}{8}}\right)\!\left(J^{2}+{\frac {1}{J^{2}}}-2\right)}$

где это первый инвариант от изохорной части от правого тензора деформации Коши-Грина .${\displaystyle {\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}I_{1}}$${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {C}}}=(\det {\boldsymbol {C}})^{-1/3}{\boldsymbol {C}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {C}}}$

Для однородности с линейной эластичностью,

${\displaystyle C_{1}={\frac {\mu }{2}}~;~~D_{1}={\frac {\kappa }{2}}}$

где - модуль сдвига или первые параметры Ламе, а - объемный модуль . ^[3]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \kappa }$

Напряжение Коши в терминах тензоров деформации [ править ]

Сжимаемый неогукевский материал [ править ]

Для сжимаемого неогуковского материала Ривлина напряжение Коши определяется выражением

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})=-p~{\boldsymbol {I}}+{\frac {2C_{1}}{J^{2/3}}}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

где - левый тензор деформации Коши - Грина, а${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})={\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}~;~~{\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}~.}$

Для бесконечно малых деформаций ( )${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

${\displaystyle J\approx 1+\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~{\boldsymbol {B}}\approx {\boldsymbol {I}}+2{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

а напряжение Коши можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\approx 4C_{1}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}}$

Сравнение с законом Гука показывает, что и .${\displaystyle \mu =2C_{1}}$${\displaystyle \kappa =2/D_{1}}$

Доказательство:

Напряжений Коши в сжимаемой гиперупругого материала задается ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}}$ Для сжимаемого материала Rivlin neo-Hookean, ${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}=2D_{1}(J-1)}$ в то время как для сжимаемого материала Ogden neo-Hookean, ${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}=2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2C_{1}}{J}}}$ Следовательно, напряжение Коши в сжимаемом материале Ривлина неогуковского типа определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}~C_{1}~{\boldsymbol {B}}\right]+\left[2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}~C_{1}{\bar {I}}_{1}\right]{\boldsymbol {I}}}$ в то время как для соответствующего материала Огдена ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}~C_{1}~{\boldsymbol {B}}\right]+\left[2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2C_{1}}{J}}-{\cfrac {2}{3J}}~C_{1}{\bar {I}}_{1}\right]{\boldsymbol {I}}}$ Если изохорная часть левого тензора деформации Коши-Грина определяется как , то мы можем записать неогеокеновское напряжение Ривлина как${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}}$ и неогуковское напряжение Огдена как ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})-{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}}$ Количество ${\displaystyle p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~~p^{*}=-2D_{1}~J(J-1)+2C_{1}}$ имеют форму давлений и обычно рассматриваются как таковые. Неогуковское напряжение Ривлина может быть выражено в форме ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})}$ в то время как неогуковское ударение Огдена имеет форму ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=-p^{*}{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})}$

Несжимаемый неогукевский материал [ править ]

Для несжимаемого неогукевского материала с${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}}$

где - неопределенное давление.${\displaystyle p}$

Напряжение Коши в терминах главных растяжений [ править ]

Сжимаемый неогукевский материал [ править ]

Для сжимаемого неогуковского гиперупругого материала основные компоненты напряжения Коши определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)~;~~i=1,2,3}$

Следовательно, разница между главными напряжениями составляет

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})}$

Доказательство:

Для сжимаемого гиперупругого материала основные компоненты напряжения Коши определяются выражением ${\displaystyle \sigma _{i}={\cfrac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}~;~~i=1,2,3}$ Функция плотности энергии деформации для сжимаемого неогуковского материала имеет вид ${\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+D_{1}(J-1)^{2}=C_{1}\left[J^{-2/3}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})-3\right]+D_{1}(J-1)^{2}}$ Следовательно, ${\displaystyle \lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}=C_{1}\left[-{\frac {2}{3}}J^{-5/3}\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+2J^{-2/3}\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}(J-1)\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}}$ Поскольку у нас есть${\displaystyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=J}$ Следовательно, ${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}&=C_{1}\left[-{\frac {2}{3}}J^{-2/3}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+2J^{-2/3}\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}J(J-1)\\&=2C_{1}J^{-2/3}\left[-{\frac {1}{3}}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}J(J-1)\end{aligned}}}$ Таким образом, главные напряжения Коши определяются выражением ${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)}$

Несжимаемый неогукевский материал [ править ]

В терминах главных растяжений разности напряжений Коши для несжимаемого гиперупругого материала определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

Для несжимаемого неогуковского материала

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

Следовательно,

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}}$

который дает

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}}$

Одноосное расширение [ править ]

Сжимаемый неогукевский материал [ править ]

Истинное напряжение как функция одноосного растяжения, предсказанное сжимаемым материалом неогуковского периода для различных значений . Свойства материала типичны для натурального каучука .${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

Для сжимаемого материала, подвергающегося одноосному растяжению, основные растяжения равны

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}=\lambda _{3}={\sqrt {\tfrac {J}{\lambda }}}~;~~I_{1}=\lambda ^{2}+{\tfrac {2J}{\lambda }}}$

Следовательно, истинные напряжения (Коши) для сжимаемого неогуковского материала задаются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)\\\sigma _{22}&=\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{3J^{5/3}}}\left({\tfrac {J}{\lambda }}-\lambda ^{2}\right)+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

Различия в напряжении представлены как

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

Если материал не ограничен, у нас есть . потом${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

Приравнивание двух выражений для дает отношение для как функцию от , т. Е.${\displaystyle \sigma _{11}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

или же

${\displaystyle D_{1}J^{8/3}-D_{1}J^{5/3}+{\tfrac {C_{1}}{3\lambda }}J-{\tfrac {C_{1}\lambda ^{2}}{3}}=0}$

Вышеупомянутое уравнение можно решить численно, используя итеративную процедуру поиска корня Ньютона-Рафсона .

Несжимаемый неогукевский материал [ править ]

При одноосном растяжении, а . Следовательно,${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

Предполагая, что по бокам нет сцепления , мы можем написать${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)=2C_{1}\left({\frac {3\varepsilon _{11}+3\varepsilon _{11}^{2}+\varepsilon _{11}^{3}}{1+\varepsilon _{11}}}\right)}$

где инженерное напряжение . Это уравнение часто записывают в альтернативных обозначениях как${\displaystyle \varepsilon _{11}=\lambda -1}$

${\displaystyle T_{11}=2C_{1}\left(\alpha ^{2}-{\cfrac {1}{\alpha }}\right)}$

Вышеприведенное уравнение предназначено для истинного напряжения (отношения силы удлинения к деформированному поперечному сечению). Для инженерного напряжения уравнение:

${\displaystyle \sigma _{11}^{\mathrm {eng} }=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

При небольших деформациях у нас будет:${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$

${\displaystyle \sigma _{11}=6C_{1}\varepsilon =3\mu \varepsilon }$

Таким образом, эквивалентный модуль Юнга неогуковского твердого тела при одноосном растяжении равен , что находится в соответствии с линейной упругостью ( с для несжимаемости).${\displaystyle 3\mu }$${\displaystyle E=2\mu (1+\nu )}$${\displaystyle \nu =0.5}$

Равноосное удлинение [ править ]

Сжимаемый неогукевский материал [ править ]

Истинное напряжение как функция двухосного растяжения, предсказанное сжимаемым материалом неогуковского периода для различных значений . Свойства материала типичны для натурального каучука .${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

В случае равноосного удлинения

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda ~;~~\lambda _{3}={\tfrac {J}{\lambda ^{2}}}~;~~I_{1}=2\lambda ^{2}+{\tfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&=2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\\&=\sigma _{22}\\\sigma _{33}&=2C_{1}\left[{\cfrac {J^{1/3}}{\lambda ^{4}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

Различия в напряжении

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

Если материал находится в состоянии плоского напряжения, тогда и мы имеем${\displaystyle \sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{22}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

У нас также есть связь между и :${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle 2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

или же,

${\displaystyle \left(2D_{1}-{\cfrac {C_{1}}{\lambda ^{4}}}\right)J^{2}+{\cfrac {3C_{1}}{\lambda ^{4}}}J^{4/3}-3D_{1}J-2C_{1}\lambda ^{2}=0}$

Это уравнение может быть решено с помощью метода Ньютона.${\displaystyle J}$

Несжимаемый неогукевский материал [ править ]

Для несжимаемого материала разность главных напряжений Коши принимает вид${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

В условиях плоского напряжения имеем

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

Чистое расширение [ править ]

В случае чистой дилатации

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda ~:~~J=\lambda ^{3}~;~~I_{1}=3\lambda ^{2}}$

Следовательно, главные напряжения Коши для сжимаемого неогуковского материала определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)+2D_{1}(\lambda ^{3}-1)}$

Если материал несжимаемый, тогда главные напряжения могут быть произвольными.${\displaystyle \lambda ^{3}=1}$

На рисунках ниже показано, что для достижения большого трехосного растяжения или сжатия необходимы чрезвычайно высокие напряжения. Эквивалентно относительно небольшие состояния трехосного растяжения могут вызывать очень высокие напряжения в резиноподобном материале. Величина напряжения весьма чувствительна к модулю объемной упругости, но не к модулю сдвига.

Истинное напряжение как функция равнотриаксиального растяжения, предсказанное сжимаемым материалом в стиле нового Гука для различных значений . Свойства материала типичны для натурального каучука .${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

Истинное напряжение как функция J, предсказанное сжимаемым материалом неогуковского периода для различных значений . Свойства материала типичны для натурального каучука .${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

Простой сдвиг [ править ]

Для случая простого сдвига градиент деформации по компонентам по отношению к базису отсчета имеет вид ^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

где - деформация сдвига. Следовательно, левый тензор деформации Коши - Грина имеет вид${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Сжимаемый неогукевский материал [ править ]

В этом случае . Следовательно, . Сейчас же,${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=1}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

${\displaystyle \operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}(3+\gamma ^{2}){\boldsymbol {I}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {2}{3}}\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

Следовательно, напряжение Коши определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\tfrac {4C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

Несжимаемый неогукевский материал [ править ]

Используя соотношение для напряжения Коши для несжимаемого неогуковского материала, получаем

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}={\begin{bmatrix}2C_{1}(1+\gamma ^{2})-p&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &2C_{1}-p&0\\0&0&2C_{1}-p\end{bmatrix}}}$

Таким образом, неогуковское твердое тело показывает линейную зависимость касательных напряжений от деформации сдвига и квадратичную зависимость разности нормальных напряжений от деформации сдвига. Выражения для напряжения Коши для сжимаемого и несжимаемого неогуковского материала при простом сдвиге представляют собой одну и ту же величину и обеспечивают средства определения неизвестного давления .${\displaystyle p}$

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Гиперупругий материал
• Функция плотности энергии деформации
• Муни-Ривлин твердый
• Теория конечных деформаций
• Стрессовые меры